数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行精品习题

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1．直线与直线平行
(1)基本事实4
①自然语言：平行于同一条直线的两条直线平行.
②符号语言：a,b,c是三条不同的直线，若a∥b，b∥c，则a∥c.
③作用：判断或证明空间中两条直线平行.
(2)空间等角定理
①自然语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
②符号语言：如图(1)(2)所示，在∠AOB与∠A'O'B'中，OA∥O'A'，OB∥O'B'，则∠AOB=∠A'O'B'
或∠AOB+∠A'O'B'= SKIPIF 1 < 0 .

2．直线与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
②图形语言
③符号语言
SKIPIF 1 < 0 .
该定理可简记为“若线线平行，则线面平行”.
(2)性质定理
①自然语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
②图形语言
③符号语言
SKIPIF 1 < 0 .
该定理可简记为“若线面平行，则线线平行”.
(3)性质定理的作用
①作为证明线线平行的依据.当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行.
②作为画一条与已知直线平行的直线的依据.如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线.
3．平面与平面平行
(1)判定定理
①自然语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语售
SKIPIF 1 < 0 .
该定理可简记为“若线面平行，则面面平行”.
(2)判定定理的推论
①自然语言
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行.
②图形语言
③符号语言
SKIPIF 1 < 0 .
(3)性质定理
①自然语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
②图形语言
③符号语言
SKIPIF 1 < 0 .
该定理可简记为“若面面平行，则线线平行”.
(4)两个平面平行的其他性质
①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面.
②平行直线被两个平行平面所截的线段长度相等.
③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
④两条直线同时被三个平行平面所截，截得的线段对应成比例.
⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
4．平行关系的相互转化及综合应用
(1)证明线线平行的常用方法
①利用线线平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线.
②利用基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
③利用三角形的中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半.
④利用平行线分线段成比例定理.
⑤利用线面平行的性质定理.
⑥利用面面平行的性质定理.
⑦利用反证法：假设两条直线不平行，然后推出矛盾，进而得出两条直线是平行的.
(2)证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义：直线与平面没有公共点.
②利用直线与平面平行的判定定理：a SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，a∥b，b SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则a∥ SKIPIF 1 < 0 .使用定理时，一定要说明“平面外
一条直线与此平面内的一条直线平行”，若不注明，则证明过程不完整.因此，要证明a∥ SKIPIF 1 < 0 ，则必须在平面 SKIPIF 1 < 0 内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的，这三个条件缺一不可.
③利用面面平行的性质：若平面 SKIPIF 1 < 0 ∥平面 SKIPIF 1 < 0 ，直线a SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则a∥ SKIPIF 1 < 0 .
④利用反证法.这时“平行”的否定有“在平面内”和“与平面相交”两种，只有在排除“直线在平面内”和“直线与平面相交”这两种位置关系后才能得到“直线与平面平行”的结论，在这一点上往往容易出错，应引起重视.
(3)平面与平面平行的判定方法
①根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难.
②根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行
于另一个平面，则这两个平面平行.
③根据判定定理的推论：在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行，
则这两个平面平行.
④根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面平行.
⑤利用反证法.
(4)平行关系的相互转化
常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种关系不是孤立的，而是相互联系、相互转
化的，如图所示.
【题型1 证明线线平行】
【方法点拨】
掌握线线平行的判定方法，结合题目条件，进行求解，即可证明线线平行.
【例1】（2023·上海·高二专题练习）若，且，与方向相同，则下列结论正确的有（ ）
A．且方向相同B．，方向可能不同
C．OB与不平行D．OB与不一定平行
【解题思路】画出图形，当满足题目中的条件时，出现的情况有哪些，即可得出结论．
【解答过程】解：如图，
；
当∠AOB=∠A1O1B1时，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，
OB与O1B1是不一定平行．
故选：D．
【变式1-1】（2022·全国·高一专题练习）如图，在正方体中，直线平面，且直线与直线不平行，则下列一定不可能的是（ ）
A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD平行
【解题思路】假设，通过平行线的传递性推出与题中条件相反的结论来说明直线与直线一定不平行；当与平行时，选项C正确；当与平行时，选项D正确.
【解答过程】假设，则由，知，
这与直线与直线不平行矛盾，
所以直线与直线不平行.
故选：A.
【变式1-2】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（ ）
A．3条B．4条
C．5条D．6条
【解题思路】由E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，结合正方体的结构特征，即可求解.
【解答过程】由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，
因为与棱B1C1平行的棱还有3条：AD, BC，A1D1，所以共有4条.
故选：B.
【变式1-3】（2022春·高一课时练习）如图，在三棱锥中，分别为线段的中点，则下列说法正确的是
A．B．C．D．
【解题思路】由平行公理即可得解.
【解答过程】由题意结合三角形中位线的性质可得：，
由平行公理可得：.
故选C.
【题型2 直线与平面平行的判定】
【方法点拨】
使用直线与平面平行的判定定理时，关键是在平面内找到一条与已知直线平行的直线，具体操作中，我们
可以利用几何体的特征，合理利用中位线定理，或者构造平行四边形等证明两直线平行.
【例2】（2023·高一课时练习）已知A、B、C、D是不共面四点，M、N分别是、的重心．以下平面中与直线平行的是（ ）
①平面； ②平面； ③平面； ④平面．
A．①③B．①②C．①②③D．①②③④
【解题思路】由已知以及重心定理可推得，进而得到，根据线面平行的判定定理可得①②正确；进而可判断直线与平面以及平面相交，即可得出③④错误.
【解答过程】
如图，取中点为，连结、.
由已知以及重心定理可得，，，则，.
所以，所以.
因为平面，平面，所以平面，故①正确；
因为平面，平面，所以平面，故②正确；
因为平面，平面，所以与平面不平行，故③错误；
因为平面，平面，所以与平面不平行，故④错误.
故选：B.
【变式2-1】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高二期中）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用线面平行判定定理可知B，C，D均不满足题意，A选项可证明出直线AB与平面MNQ不平行，从而可得答案.
【解答过程】对于选项B，如图1，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因为平面，平面，所以AB平面MNQ，
B选项不满足题意；
对于选项C，如图2，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDMQ，
由于ABCD，所以ABMQ，
因为平面，平面，所以AB平面MNQ，
C选项不满足题意；
对于选项D，如图3，连接CD，
因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CDNQ，
由于ABCD，所以ABNQ，
因为平面，平面，所以AB平面MNQ，
可知D不满足题意；
如图4，取BC的中点D，连接QD，
因为Q是AC的中点，
所以QDAB，
由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，
A正确.
故选：A.
【变式2-2】（2022秋·广东湛江·高三统考阶段练习）如图，在长方体中，M是棱的中点，则（ ）
A．平面B．平面BDM
C．平面D．平面
【解题思路】作出过点的正方体的截面判断A；作出过点的正方体的截面判断B；作出过点的正方体的截面判断C；作出过点的正方体的截面判断D作答.
【解答过程】在长方体中，M是棱的中点，
对于A，取中点N，连接，如图，
正方体的对角面是矩形，，即平面，
而与BN相交，则与平面有公共点，A不正确；
对于B，取中点P，连接，如图，
正方体的对角面是矩形，，而，
又都在平面内，则与MP相交，因此与平面有公共点，B不正确；
对于C，取中点Q，连接，如图，
，则，四边形是平行四边形，
因此，又平面，则BM与平面相交，C不正确；
对于D，取中点Q，中点O，连接，如图，
正方形中，，则四边形是平行四边形，有，
正方形中，，即四边形是平行四边形，有，
又，四边形是平行四边形，则，
因平面，平面，平面，D正确.
故选：D.
【变式2-3】（2022秋·四川·高二阶段练习）如图，正方体中，E为的中点，则下列直线中与平面AEC平行的是（ ）
A．B．C．D．EO
【解题思路】根据线面平行的判定定理即可得出答案.
【解答过程】解：对于A，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；
对于B，因为直线与平面AEC交于点，故不平行；
对于C，在正方体中，
因为E为的中点，为的中点，
所以，
又平面AEC，平面AEC，
所以平面AEC；
对于D，因为平面AEC，故不平行.
故选：C.
【题型3 平面与平面平行的判定】
【方法点拨】
第一步：在一个平面内找出两条相交直线；
第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面；
第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，若平面平面，平面，则平面，
由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；
对于B选项，如下图所示，连接，
因为、分别为、的中点，则，
在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件；
对于C选项，如下图所示：
在正方体中，若平面平面，且平面平面，
则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾，
因此，平面与平面不平行，C不满足条件；
对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：
因为且，则四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，，所以，平面平面，
若平面平面，则平面平面，
这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.
故选：B.
【变式3-1】（2022秋·北京海淀·高二期中）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F，G，H分别是棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则必有（ ）
A．BD1∥GH
B．BD∥EF
C．平面EFGH∥平面ABCD
D．平面EFGH∥平面A1BCD1
【解题思路】根据题意，结合图形，分别判断选项中的命题是否正确即可．
【解答过程】易知GH∥D1C，因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以BD1，GH不可能互相平行，故选项A错误；
易知EF∥A1B，与选项A同理，可判断选项B错误；
因为EF∥A1B，而直线A1B与平面ABCD相交，故直线EF与平面ABCD也相交，所以平面EFGH与平面ABCD相交，选项C错误；
对于，平面平面，理由是：
由，，，分别是棱，，，的中点，
得出，，
所以平面，平面，
又，所以平面平面．
故选：．
【变式3-2】（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在正方体中，点，，，分别为棱，，，上的中点，下列判断正确的是（ ）
A．直线平面B．直线面
C．平面平面D．平面平面
【解题思路】根据平面的基本性质做出截面，如图所示，然后根据线面平行的定义否定AB,根据面面平行的定义否定C,利用面面平行的判定定理证得D.
【解答过程】过点，，的截面如图所示(，，均为中点)，
所以直线与其相交于点，
故A项错误；
直线与直线在平面必定相交，故B项错误；
直线与直线相交，
故平面与平面不平行，C项错误；
易得直线直线，直线直线，
又∵,所以平面平面.
故选:D.
【变式3-3】（2022春·湖北·高二阶段练习）如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（ ）
A．B．
C．D．
【解题思路】延拓过点三点的平面，再根据平面与平面的判定定理，即可容易判断选择.
【解答过程】由题意可知经过P、Q、R三点的平面即为平面，如下图所示：
对选项：可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；
对：MC1与是相交直线，所以A不正确；
对：因为//，，//，
又容易知也相交，
平面；平面，
故平面//平面
故选：.
【题型4 线面平行性质定理的应用】
【方法点拨】
应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行.还
可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内，所有与交线平行的
直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面.
【例4】（2022春·浙江·高一期中）下列命题中正确的是（ ）
A．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B．平面内有不共线的三个点A，B，C到平面的距离相等，则
C．，，则
D．，，，则
【解题思路】根据线面平行的判断和性质理解辨析.
【解答过程】对于A：若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内的无数条直线平行，但不是任意一条，A错误；
对于B：由题意可得：或与相交，B错误；
对于C：根据题意可得：或，C错误；
对于D：∵，则，使得，则，
∴，
，
∴，D正确；
故选：D.
【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）已知直三棱柱 的侧棱和底面边长均为 分别是棱 上的点， 且 ， 当 平面 时， 的值为（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】过作交于，利用线面平行的性质可得 ，进而可得四边形为平行四边形，，即得.
【解答过程】过作交于，连接，
因为，∴，故共面,
因为 平面 ，平面平面 ，平面，
所以 ，又,
∴四边形为平行四边形，
又，
∴，
所以.
故选：B．
【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）若直线平面，，且直线与点位于的两侧，，，，分别交平面于点，，若，，，则的长为（ ）
A．3B．C．D．
【解题思路】根据线面平行可得线线平行，从而可求.
【解答过程】∵，平面，平面，
∴，∴，即，∴.
故选：B.
【变式4-3】（2022春·江西南昌·高二阶段练习）如图，在三棱锥中，点D，E分别为棱的中点，点G为的交点，若点F在线段上，且满足平面，则的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【解题思路】结合线面平行的性质定理证得，结合三角形的重心求得.
【解答过程】由于平面，平面，平面平面，
根据线面平行的性质定理可知.
由于点D，E分别为棱的中点，点G为的交点，
所以是三角形的重心，
所以.
故选：C.
【题型5 面面平行性质定理的应用】
【方法点拨】
应用面面平行的性质定理时，找出一个平面中的一条直线，则该直线与另一个平面平行，据此可解题.
【例5】（2022·高一课时练习）如图，在四棱柱中，平面平面，且，则四边形的形状是（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
【解题思路】根据平行关系可知四点共面，由面面平行的性质可证得，由此可得结论.
【解答过程】，四点共面；
平面平面，平面平面，平面平面，，
四边形为平行四边形.
故选：A.
【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，已知平面平面，点为，外一点，直线，分别与，相交于，和，，则与的位置关系为（ ）
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
【解题思路】由题设知，，，，共面，根据面面平行的性质，可证与的位置关系.
【解答过程】解：由题意知，，，，在同一平面内，且平面平面，平面平面，且，∴，
故选：A．
【变式5-2】（2022春·四川成都·高二期末）若平面平面，直线，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．在内D．无法判定
【解题思路】由面面平行可直接得到结果.
【解答过程】由面面平行的性质可知：当平面平面，直线时，.
故选：B.
【变式5-3】（2022·高一课时练习）如图，平面平面，，是内不同的两点，，是内不同的两点，，分别是线段，的中点，则下列所有正确判断的编号是（ ）
①当，共面时，直线
②当时，，两点不可能重合
③当，是异面直线时，直线一定与平行
④可能存在直线与垂直
A．①③B．②④C．①②D．③④
【解题思路】对于①，由面面平行的性质定理判断即可，对于②，如图判断，对于③④，连接，取的中点，连接，则可得平面与平面都平行，从而可进行判断
【解答过程】解：对于①，当，共面时，则平面平面，平面平面，因为平面平面，所以，所以①正确；
对于②，如图，当时，成立，而此时，两点重合，所以②错误；
对于③，如图，连接，取的中点，连接，因为，分别是线段，的中点，所以∥，∥，因为，，所以∥，∥，因为平面平面，所以∥，因为，所以平面∥，平面∥，因为平面，所以直线一定与平行，所以③正确，
对于④，由①可知，当，共面时，∥，因为，所以∥，由③可知，当，是异面直线时，直线一定与平行，综上，∥，所以④错误，
故选：A.
【题型6 平行问题的综合应用】
【方法点拨】
在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互
联系，并且可以相互转化的.所以要解决平行关系的综合问题，必须要灵活运用三种平行关系的相互转化.
【例6】（2022秋·陕西渭南·高一期末）如图，在三棱柱中，分别为的中点，．求证：
(1)平面；
(2)平面平面．
【解题思路】（1）根据线面平行的判定定理证得平面；
（2）根据面面平行的判定定理证得平面平面．
【解答过程】（1）在三棱柱中，分别为的中点，
，
平面平面，
平面．
（2）平面，平面，
平面．
分别为的中点，，
，且．
四边形是平行四边形．
．
又平面平面，
平面．
又平面，
平面平面．
【变式6-1】（2022秋·河北唐山·高二阶段练习）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【解题思路】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.
【解答过程】（1）
如图，连接，∵分别是的中点，∴ .
又∵平面，平面，∴直线平面.
（2）连接SD，∵分别是 的中点，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，
∴平面∥平面.
【变式6-2】（2022春·山东聊城·高一期中）如图：在正方体中，为的中点.
(1)求证： 平面；
(2)若为的中点，求证：平面 平面.
【解题思路】（1）设，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；
（2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得 平面，再根据面面平行的判定定理即可得证.
【解答过程】（1）证明：设，接，
在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面平面
平面；
（2）证明：为的中点，为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
又平面平面 平面，
由（1）知 平面平面平面，
平面 平面.
【变式6-3】（2022春·山东聊城·高一期中）由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面∥平面；
(3)设平面与底面的交线为l，求证：．
【解题思路】（1）取的中点，连接，结合四棱柱的几何性质，由线线平行证明即可；
（2）由线线平行证平面，结合平面即可证平面平面；
（3）由线面平行证线线平行即可.
【解答过程】（1）取的中点，连接，
∵是四棱柱，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
又平面平面，∴平面．
（2）∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面平面，∴平面，
由（1）得平面且，平面，
∴平面平面．
（3）由（2）得：平面，
又平面，平面平面，∴．