【同步导学案】高中数学人教A版(2019)必修第二册--8.5 空间直线、平面的平行 导学案（原卷版+解析版）

第八章 立体几何初步

8.5 空间直线、平面的平行

一、基本事实4

1.平行于同一条直线的两条直线     ．这一性质通常叫做平行线的      ．

符号表示：a∥b,b∥c⇒a∥c.

2.定理

【答案】平行  传递性 相等 互补

二、直线与平面平行的判定定理

注意：用该定理判断直线a和平面α平行时，必须同时具备三个条件：

(1)直线a在平面α外，即a⊄α.

(2)直线b在平面α内，即b⊂α.

(3)两直线a，b平行，即a∥b.

【答案】平面外 此平面内  平行  a⊄α，b⊂α，且a∥b

三、直线与平面平行的性质定理

注意：线面平行的性质定理成立的条件有三个, 缺一不可：

(1)直线a与平面α平行，即a∥α；

(2)平面α，β相交于一条直线，即α∩β＝b；

(3)直线a在平面β内，即a⊂β.

【答案】该直线 交线  a⊂β，α∩β＝b

四、平面与平面平行的判定

(1)文字语言：如果一个平面内的两条       直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．

(2)符号语言：a⊂β，b⊂β，       ，a∥α，b∥α⇒β∥α.

(3)图形语言：如图所示．

注意：等价转化思想，即把面面平行转化为线面平行．

【答案】相交  a∩b＝P

五、平面与平面平行的性质定理

(1)文字语言：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线     ．

(2)符号语言：α∥β，α∩γ＝a，       ⇒a∥b.

(3)图形语言：如图所示．

(4)作用：证明两直线     ．

【答案】平行   β∩γ＝b  平行

一、单选题

1．若 为异面直线，直线 ,则c与b的位置关系是(　　) 

A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交

【答案】D

【解析】解：根据空间中，直线间的位置关系易知，当a、b为异面直线，直线c//a，则直线c与b异面或相交.
故答案为：D

2．平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为(　　)

A．平行 B．相交 C．可能重合 D．平行或相交

【答案】D

【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，

若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．

故答案为：D．

3．如图，在三棱锥S－ABC中，E，F分别是SB，SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)

A.EF与BC相交 B.EF∥BC

C.EF与BC异面 D.以上均有可能

【答案】B

4．三棱柱 中，点 在 上，且 ，若 平面 ，则 （　　） 

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，连接AC1，交A1C于O，连接OM，

∵BC1//平面A1MC，，平面A1MC∩平面ABC1=OM，
∴BC1//OM
∵△ABC1中，O是AC1的中点，
∴M为AB的中点，
∵AM=λAB
∴
5．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是 (　　)

A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′

C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′

【答案】D

【解析】长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，

故答案为：D．

6．已知两直线m，n，两平面 ， ，若 ， ， ，则m与n的位置关系是（　　）  

A．平行 B．相交 C．异面 D．平行或异面

【答案】D

【解析】解： ， 与 没有公共点，

又 ， ， 与 没有公共点，

则 与 的关系为平行或异面．

故答案为：D．

二、填空题

7．若空间三条直线 ， ，则 ， 的位置关系是　                 　. 

【答案】平行，相交或异面

【解析】解：因为空间三条直线 ， ，所以 与 的位置关系是平行，相交或异面；

故答案为： 平行，相交或异面

8．如图， ， ， ， ，则CD与EF的位置关系为　     　． 

【答案】

【解析】∵ ， ， ，

∴ ，又 ， ，

∴ ，又 ， ，

∴ 。

故答案为： 。

三、解答题

9．如图，梯形 中， ，E是 的中点，过 和点E的平面与 交于点F.求证： . 

【答案】证明：∵ ， 平面 ， 平面 ，  

∴ 平面 ，

∵ 平面 ，平面 平面 ，

∴

【解析】由题意可得 平面 ， ∵ 平面 ，平面 平面 ， 由线面平行的性质定理可得 。

10．已知正方体 ，求证：平面 平面 . 

【答案】证明：在正方体中，连结AD1，AB1，B1D1，BC1，DC1，BD， 

则根据正方体的性质可知BD∥B1D1，BD⊂平面C1BD，B1D1⊄平面C1BD，

所以B1D1∥平面C1BD．

同理可证AD1∥平面C1BD．

又因为AD1∩D1B1＝D1，

所以平面AB1D1∥平面C1BD．

【解析】利用正方体的性质可知BD∥B1D1，由线面平行的判定定理可得B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1，进而由面面平行的判定定理，可得答案.