人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品当堂达标检测题

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1．平面
(1)平面的概念
生活中的一些物体通常给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等.几何里所说的“平
面”就是从这样的一些物体中抽象出来的.
(2)平面的画法
①与画出直线的一部分来表示直线一样，我们也可以画出平面的一部分来表示平面.我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
②当平面水平放置时，如图(1)所示，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，如图(2)所
示，常把平行四边形的一边画成竖向.
(3)平面的表示方法
平面一般用希腊字母 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 表示，也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶
点的大写英文字母作为这个平面的名称.如图中的平面可以表示为：平面 SKIPIF 1 < 0 、平面ABCD、平面AC或平面BD.
2．点、直线、平面的位置关系的符号表示
点、直线、平面的位置关系通常借助集合中的符号语言来表示，点为元素，直线、平面都是点构成的
集合.点与直线(平面)之间的位置关系用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”“ SKIPIF 1 < 0 ”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“ SKIPIF 1 < 0 ”“ SKIPIF 1 < 0 ”表示.点、直线、平面之间位置关系的符号表示举例如下：

3．三个基本事实及基于基本事实1和2的三个推论
(1)三个基本事实及其表示
(2)三个基本事实的作用
基本事实1：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面.
基本事实2：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面.
基本事实3：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点.
(2)基本事实1和2的三个推论
4．空间中直线与直线的位置关系
(1)三种位置关系
我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.于是，空间两条直线的位置关系有三种：
(2)异面直线的画法
为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示.
5．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有且只有三种，具体如下：
6．空间中平面与平面的位置关系
(1)两种位置关系
两个平面之间的位置关系有且只有以下两种，具体如下：
(2)两种位置关系
平行平面的画法技巧
画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.
7．平面分空间问题
一个平面将空间分成两部分，那么两个平面呢?三个平面呢?
(1)两个平面有两种情形：
①当两个平面平行时，将空间分成三部分，如图(1)；
②当两个平面相交时，将空间分成四部分，如图(2).
(2)三个平面有五种情形：
①当三个平面互相平行时，将空间分成四部分，如图8(1)；
②当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分，如图(2)；
③当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分，如图(3)；
④当三个平面相交于三条直线，且三条交线相交于同一点时，将空间分成八部分，如图(4)；
⑤当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分，如图(5).
【题型1 平面的基本性质及推论】
【方法点拨】
根据平面的基本性质及其推论，结合题目条件，进行求解即可.
【例1】（2023·高一课时练习）下列命题中，正确命题的个数是（ ）
①四边相等的四边形为菱形；
②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；
③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；
④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据空间四边形可判断①②错误，有平面的基本性质可判断③④正确.
【解答过程】由空间四边形可判断①②错误.
“平面不经过直线”即直线与平面相交或者平行，所以③正确.
由平面的基本性质，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可判断④正确.
故选：B.
【变式1-1】（2022春·上海浦东新·高二期末）如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必通过（ ）
A．点AB．点C．点但不过点D．点和点
【解题思路】利用点线面的位置关系证得与，从而得到，据此解答即可.
【解答过程】对于AB，易得，故必不在与的交线上，故AB错误；
对于CD，因为过三点的平面记作，所以面与是同一个面，
因为直线，所以面，则，
又面，则，所以；
因为，，所以，又，所以，
所以，
所以与的交线必通过点和点，故C错误，D正确.
故选：D．
【变式1-2】（2022·高一课时练习）已知、为平面，、、、为点，为直线，下列推理中错误的是（ ）
A．，，，，则
B．，，，，则直线，直线
C．，，则
D．、、，、、，且、、不共线，则、重合
【解题思路】利用基本事实2可判断AB选项；利用基本事实3可判断C选项；利用基本事实1可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，，，，，由基本事实2可知，A对；
对于B选项，，，则直线，同理可知，直线，B对；
对于C选项，，，则为平面、的一个公共点，
但平面、相交于过点的一条直线，而不是点，C错；
对于D选项，、、，且、、不共线，则、、可确定平面，
同理可知，、、可确定平面，故、重合，D对.
故选：C.
【变式1-3】（2022·上海·高二专题练习）下列命题中
①空间中三个点可以确定一个平面.
②直线和直线外的一点，可以确定一个平面.
③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面.
④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面.
⑤如果两个平面有无数个公共点，那么这两个平面重合.
真命题的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解题思路】根据空间位置关系可直接判断各命题.
【解答过程】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误；
命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确；
命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误；
命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误；
命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误；
故选：A.
【题型2 点共线、点线共面问题】
【方法点拨】
证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3.
证明点、线共面的主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论，常用的方法有：
(1)辅助平面法，先证明有关点、线确定平面 SKIPIF 1 < 0 ，再证明其余点、线确定平面 SKIPIF 1 < 0 ，最后证明平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 重合；
(2)纳入平面法，先由条件确定一个平面，再证明有关的点、线在此平面内.
【例2】（2022秋·上海虹口·高二阶段练习）如图，在长方体中，、分别是和的中点．
(1)证明：、、、四点共面；
(2)对角线与平面交于点，交于点，求证：点共线；
(3)证明：、、三线共点．
【解题思路】（1）证明，即可说明、、、四点共面.
（2）先证明点面和面，即点在面与面的交线上在证明面 面 ，即点 ，即可得到答案.
（3）延长交于,由于面 面 ，则在交线上.
【解答过程】（1）连接，
在长方体中，
，
、分别是和的中点，
，
，
、、、四点共面；
（2），
确定一个平面，
面，
面，
对角线与平面交于点，
面，
在面与面的交线上，
，
面且面，
面 面 ，
，
即点共线.
（3）延长交于，
面，
，
面，
面，
，
面，
面 面 ，
，
、、三线共点.
【变式2-1】（2022秋·吉林四平·高二阶段练习）如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.
【解题思路】（1）根据已知条件，可得以及，所以，进而得出四点共面；
（2）因为是平面和平面的交线，只需证明点是平面和平面的交点，即可证得，进而得到三点共线.
【解答过程】（1）因为E，F分别为AB，AD的中点，所以.
在中，因为，所以，所以，
所以.
所以E，F，G，H四点共面.
（2）因为，所以.
由已知可得，，，平面ABC，平面ABC，
所以平面ABC，所以平面ABC.
同理，平面ADC，平面ADC.
所以为平面ABC与平面ADC的一个公共点.
又平面平面 ，所以，
所以P，A，C三点共线.
【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在正方体中，E，F分别是的中点．
(1)求证：三线交于点P；
(2)在（1）的结论中，G是上一点，若FG交平面ABCD于点H，求证：P，E，H三点共线．
【解题思路】（1）连接，，可得到且，则EC与相交，设交点为P，则能得到P平面ABCD，平面，结合平面平面，即可得证；
（2）可证明P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，即可得证
【解答过程】（1）
证明：连接，，
正方体中，E，F分别是的中点，
∴且，
∵且，
∴且，
∴EC与相交，设交点为P，
∵PEC，EC平面ABCD，∴P平面ABCD；
又∵，平面，∴平面，
∴P为两平面的公共点，
∵平面平面，∴，
∴三线交于点P；
（2）
在（1）的结论中，G是上一点，FG交平面ABCD于点H，
则FH平面，∴平面，又平面ABCD，
∴平面平面ABCD，
同理，平面平面ABCD，
平面平面ABCD，
∴P，E，H都在平面与平面ABCD的交线上，
∴P，E，H三点共线．
【变式2-3】（2022·高一课时练习）如图，在三棱锥中，作截面，，的延长线交于点M，，的延长线交于点N，，的延长线交于点K．判断M，N，K三点是否共线，并说明理由．
【解题思路】由点共面、面共线可得答案.
【解答过程】M，N，K三点共线．理由如下：
因为即在平面内又在平面内，
所以在平面与平面的交线上，
所以是平面与平面的交线，
即在平面内又在平面内，
所以在平面与平面的交线上，
所以是平面与平面的交线，
又平面与平面是同一平面，
所以与是同一条直线，即M，N，K三点共线．
【题型3 直线与直线的位置关系】
【方法点拨】
1.定义法：不同在任何一个平面内的两条直线异面.
2.推论法：一条直线上两点与另一条与它异面的直线上两点所连成的两条直线为异面直线.
3.证明立体几何问题的一种重要方法(反证法)：第一步，提出与结论相反的假设；第二步，由此假设推出与
已知条件或某一基本事实、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾的结果；第三步，推翻假设，从而证
明原结论是正确的.
【例3】（2022秋·上海静安·高二阶段练习）设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）.
A．相交B．平行C．异面D．无法确定
【解题思路】在长方体中，延长，，，即会得到直线和直线的位置关系.
【解答过程】
如图，延长使，
因为，，，为棱的中点，
所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交.
故选：A.
【变式3-1】（2023秋·上海浦东新·高二期末）已知三条直线，，满足且，则与（ ）
A．平行B．垂直C．共面D．异面
【解题思路】根据空间直线平行垂直的定义，结合等角定理进行判定.
【解答过程】若且，
根据空间直线垂直的定义，
可得，不平行，有可能共面，也有可能异面.
故选：B.
【变式3-2】（2023·上海·统考模拟预测）如图，P是正方体边上的动点，下列哪条边与边始终异面（ ）
A．B．C．D．
【解题思路】根据异面直线的知识确定正确答案.
【解答过程】在边上运动，则平面，
当运动到的中点时，与相交，A选项错误.
，四点共面，
平面，，所以与是异面直线，B选项正确.
当运动到点时，与相交，所以CD选项错误.
故选：B.
【变式3-3】（2022秋·湖南常德·高三期中）下图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列判断不正确的是（ ）
A．B．
C．D．直线与的夹角为
【解题思路】将正方体进行还原,再根据正方体中的平行垂直之间关系即可判断选项的正误.
【解答过程】解:由题知将正方体还原如图所示,
由图可知,,
故选项A错误,选项B正确;
,,
故选项C正确;
连接,,且为等边三角形,
,即直线与的夹角为,
故选项D正确.
故选:A.
【题型4 直线与平面的位置关系】
【方法点拨】
判断空间中直线与平面的位置关系，一般先作出几何图形，直观判断，然后依据基本事实给出证明.另外，
借助模型(如正方体、长方体)举反例也是解决这类问题的有效方法.
【例4】（2022春·浙江宁波·高二学业考试）如图， 在正方体中， 直线与平面的位置关系为（ ）
A．直线在平面内B．直线与平面相交但不垂直
C．直线与平面相交且垂直D．直线与平面平行
【解题思路】根据正方体性质判断直线与面的位置关系即可.
【解答过程】由正方体的性质知：面即为面，而直线与面交于，但不垂直.
故选：B.
【变式4-1】（2023·陕西榆林·统考一模）若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【解题思路】根据空间中直线与平面的位置关键逐项判断即可
【解答过程】解：对于A，若，则或，故A不正确；
对于B，若，则或，故B不正确；
对于C，若，则或，故C不正确；
对于D，若，则，故D正确.
故选：D.
【变式4-2】（2023·全国·高一专题练习）、是空间两条直线，是平面，以下结论正确的是（ ）．
A．如果 ， ，则一定有 ．
B．如果，，则一定有．
C．如果，，则一定有 ．
D．如果， ，则一定有．
【解题思路】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案．
【解答过程】对于A，若 ， ，则有 或与相交或与异面，故错误；
对于B、C，如果⊥，⊥，则有 或⊂，故B、C错误；
对于D，如果⊥，则垂直内的所有直线，又 ，则过与相交的平面交于，则 ，
∴⊥，故D正确．
故选：D ．
【变式4-3】（2022春·广东广州·高一期中）如图， 在正方体中， 点分别为的中点， 设过点的平面为， 则下列说法正确的是（ ）
A．在正方体中， 存在某条棱与平面平行
B．在正方体 中， 存在某条面对角线与平面平行
C．在正方体 中， 存在某条体对角线与平面平行
D．平面截正方体所得的截面为五边形
【解题思路】根据题意可得 交平面于点， 交平面于点， 交平面于点，
故不存在某条棱与平面平行，即可以判断选项A错误；
由六个面的12条面对角线与平面都相交，即可判断选项B错误；
体对角线全部与面相交，即可判断选项C错误；
补全图形可得平面截正方体所得的截面为五边形，即可以判断选项D正确.
【解答过程】对于选项A，交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
交平面于点，平面，
都不与平面平行，
故A错误；
观察几何体可知六个面的12条面对角线与平面都相交，
故B错误；
四条体对角线全部与面都相交，
故C错误.
如下图，取中点为，易得，
取中点为，连接，易得，
再取中点为，连接，则，
，
是平面与正方体底面的交线，
延长，与的延长线交于，连接，交于，
则可得五边形即为平面交正方体的截面，
故D正确；
故选：D.
【题型5 平面与平面的位置关系】
【方法点拨】
两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行和相交.判断两个平面之间的位置关系的主要依据是两个平面
之间有没有公共点.解题时要善于将自然语言或符号语言转换成图形语言，借助空间图形进行判断.
【例5】（2023·高一课时练习）平面上有三个不共线点到平面距离相等，则平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行
【解题思路】根据面面关系结合图形来分析判断.
【解答过程】如图1，若 ，则平面上任一点到平面距离相等，故平面上一定存在三个不共线点到平面距离相等；
如图2，若与相交，则平面上一定存在位于异侧的三个不共线点到平面距离相等；
故平面与平面的位置关系是相交或平行.
故选：D.
【变式5-1】（2022·全国·高一专题练习）在四棱台中，平面与平面的位置关系是（ ）
A．相交B．平行
C．不确定D．异面
【解题思路】根据棱台的定义即可得出结果.
【解答过程】解：如图所示，由棱台的定义可知，平面与平面一定相交.
故选：A.
【变式5-2】（2022·黑龙江·高二学业考试）设l、m是不同的直线，、是不同的平面，下列命题中的真命题为（ ）
A．若l∥，m⊥，l⊥m，则⊥B．若l∥，m⊥，l⊥m，则∥
C．若l∥，m⊥，l∥m，则⊥D．若l∥，m⊥，l∥m，则∥
【解题思路】在A中，与相交或平行；在B中，与β相交或平行；在C中，由面面垂直的判定定理得⊥；在D中，由面面垂直的判定定理得⊥．
【解答过程】解：由l、m是不同的直线，、是不同的平面，知：
在A中，若l∥，m⊥，l⊥m，则与相交或平行，故A错误；
在B中，若l∥，m⊥，l⊥m，则与相交或平行，故B错误；
在C中，若l∥，m⊥，l∥m，则由面面垂直的判定定理得⊥，故C正确；
在D中，若l∥，m⊥，l∥m，则由面面垂直的判定定理得⊥，故D错误．
故选：C．
【变式5-3】（2022·高一课时练习）给出下列三个命题：
①若平面平面，平面，则；
②若平面平面，平面，则；
③若平面平面，平面，则．
其中真命题的个数是．
A．1B．2C．3D．4
【解题思路】由面面平行及面面垂直的性质进行判断即可
【解答过程】两平行平面中的一个平面和一平面垂直，则另一平面也和这个平面垂直，①正确；
由平行平面的递推性可知②正确；
若平面平面，平面，则或，故③错误；
故选B.
【题型6 平面分空间问题】
【方法点拨】
掌握平面分空间的几种情况，根据题目条件，进行求解即可.
【例6】（2022秋·上海浦东新·高二阶段练习）三个平面不可能将空间分成（ ）个部分
A．5B．6C．7D．8
【解题思路】分三个平面互相平行，三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，三个平面交于一条直线，三个平面两两相交且三条交线平行，三个平面两两相交且三条交线交于一点，六种情况讨论即可.
【解答过程】若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6个部分；
若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8部分
故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5.
故选：A.
【变式6-1】（2022·高一课时练习）空间中两个平面将空间分成的部分数为（ ）
A．2B．3C．4D．3或4
【解题思路】两个平面相交时，可以将空间分成4个部分；两个平面不相交时将空间分成3个部分．
【解答过程】当两个平面平行时，将空间分成3部分；
当两个平面相交时，将空间分成4部分.
故选：D.
【变式6-2】（2022·高一课前预习）空间的4个平面最多能将空间分成（ ）个区域．
A．13B．14C．15D．16
【解题思路】根据平面的性质进行归纳推理．前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，而每一部分就是第四个平面与前三个平面所分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，由此可得4个平面最多能将空间分成的区域数．
【解答过程】一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分面4部分，3个平面最多把空间分布8个部分，前三个平面与第4个平面相交，最多有三条交线，这三条交线把第四个平面，最多分成7部分，这里平面的每一部分就是第四个平面与前三个平面分空间部分的截面，这个截面把所在空间部分一分为二，这样所有空间部分的个数为．
故选：C．
【变式6-3】（2022春·江西·高一阶段练习）三棱柱各面所在平面将空间分为（ ）
A．部分B．部分C．部分D．部分
【解题思路】把一个三棱柱的俯视图，延长三边，可把平面分成7部分，还原为三棱柱，空间被两个底面分成上下3层，每层都有7部分，即可求解.
【解答过程】想象一个没有上下底的三棱柱（上下两边无限延伸），将三棱柱的侧面延伸出来，
俯视图如图所示，
分成个区域.
拿两个水平的平面去截（其实就是三棱柱上下底面所在平面），
分成上中下三个大块，每个大块个区域，共个区域.
故选：C.