数学必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行习题ppt课件

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一、三种平行的定义二、三种平行关系之间的转化
①平行线的定义以及平面几何中判定两直线平行的定理
③直线与平面平行的判定定理
④直线与平面平行的性质定理
⑤两个平面平行的判定定理
⑦两个平面平行的性质定理
α//β，γ∩α=a，γ∩β=b⇒a//b
α//β，a⊂α⇒a//β
例题 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AD1，BD的中点，求证：EF//平面CD1．
证法一：连接AC， ∵ 底面ABCD为正方形，点F是BD中点， ∴ AC与BD交于点F，且点F是AC中点．连接CD1，则有EF//CD1．∵ EF 平面CD1，CD1⊂平面CD1，∴ EF//平面CD1．
证法二：取DD1中点M，CD中点N，连接EM，MN，NF，∵ EM是ΔADD1中位线，∴ EM//AD，且EM= AD．同理FN//BC，且FN= BC， ∴ EM//FN，且EM=FN， ∴ 四边形EFNM为平行四边形．
∴ EF//MN． ∵ MN⊂平面CD1，EF 平面CD1， ∴ EF//平面CD1．
证法三：取棱AD的中点P，连接EP，FP．∵ E为AD1中点，∴ EP是ΔADD1的中位线，∴ EP//DD1，同理FP//AB．又∵ AB//CD， ∴ FP//CD．∵ EP 平面CD1，DD1⊂平面CD1，∴ EP//平面CD1，同理FP//平面CD1．
证法三：（接上页）∵ EP与FP交于点P，且均在平面EFP内，∴ 平面EFP//平面CD1． ∵ EF⊂平面EFP，∴ EF//平面CD1．
总结：第一和第二种方法，利用了线面平行的判定定理及逆向思考的方法，过EF作与平面CD1相交的平面，我们分别作了三角形和平行四边形，用两种方法得到了交线．第三种方法是利用面面平行得出线面平行，因此需要构造一个与平面CD1平行的平面．本题利用了线面平行的判定定理和面面平行的定义和判定定理，并且多次进行了平行关系的转化．
例题 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
例题 如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；③水面EFGH所在四边形的面积为定值；④棱A1D1始终与水面所在平面平行；⑤当容器倾斜如右图所示时，BE×BF是定值．其中所有正确命题的序号是_____，为什么？
①有水的部分始终呈棱柱形；②没有水的部分始终呈棱柱形；
分析：如何判断有水部分呈棱柱形？棱柱的定义是什么？
一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
有水部分有两个面平行吗？
边形吗？相邻四边形的公共边互相平行吗？
解析：显然有水的部分左右两个面平行，
因为棱BC在地面上，所以BC与水面平行．因此BC//FG． 因为前后两面平行，且与水面分别交于FG，EH，所以FG//EH．所以AD//EH． 因此有水部分呈棱柱形．易得没水部分也是棱柱．
由于棱BC在地面上，所以BC始终与水面平行，由线面平行的性质定理可得：BC//FG，BC//EH，因此FG//EH．所以有水部分始终呈棱柱形．没有水部分容易判断出也是呈棱柱形．因此命题①，②正确．
解析：当有水部分如右图所示时，
③水面EFGH所在四边形的面积为定值；
所以两个侧面与水面的交线平行，因此四边形EFGH为平行四边形．因为BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥EF，所以FG⊥EF，因此四边形EFGH为矩形．故水面EFGH的面积随GH的变化而变化．因此命题③错误．
解析：因为长方体的左右两个侧面平行，
④棱A1D1始终与水面所在平面平行；
解析：因为BC//FG，根据基本事实4可得，FG//A1D1，又因为A1D1不在平面EFGH内，FG在平面EFGH内，所以棱A1D1始终与水面所在平面平行，所以命题④正确；
⑤当容器倾斜如右图所示时，BE×BF是定值．
解析：前面已得“有水部分的几何体为直棱柱”，由于水的体积没有发生变化，且该直棱柱的高BC是定值，因此底面BEF的面积是定值．所以命题⑤正确．
综上所述，正确的命题有①②④⑤．
可以将上述问题归结为：过平面BB1C1C内平行于BC的一条线段FG作截面，研究截得的几何体的性质问题．
(1)有水部分的几何体还是棱柱吗？
(2)四边形EFGH还是平行四边形吗？ 请说明理由．
变式：如果长方体底面顶点D着地，其它顶点均离开地面，且水面均与四条侧棱相交．
解析：这个变式相当于过棱DD1上一点H作与底面不平行的截面，截面与四条侧棱都相交．由于棱DA和DC与截面均不平行，所以DA与EH，DC与GH，AB与EF，BC与FG均不平行，因此不满足棱柱的定义，所以有水部分的几何体不是棱柱．
(1)有水部分的几何体是棱柱吗？
总结：本题是一道利用线线、线面、面面平行的判定和性质解决的实际问题，我们用到了棱柱的定义，还有基本事实4、线面平行的判定定理和性质定理，以及面面平行的性质定理．在解题过程中，我们不断进行平行关系的转化，大家要掌握好转化的方法．
例题 探究性问题：直线和平面作为空间中的几何元素，我们考虑三个几何元素的平行关系．命题：“如果有两组几何元素均具备平行关系，那么第三组几何元素也具备平行关系”，该命题正确吗？如果命题不正确，请举反例；如果命题正确，请证明．
解析：我们一共能生成几个命题？
三条直线（一个）；两条直线和一个平面（两个）；一条直线和两个平面（两个）；三个平面（一个）．
解析：命题1 如果两条直线均与第三条直线平行，那么这两条直线也平行．
由基本事实4可知该命题正确．
已知： 求证：b//α．
命题2 平面外的两条平行的直线，如果其中一条直线平行于这个平面，那么另一条也平行于这个平面．
证明：过直线a作平面β交平面α于直线a′ ，∵ a//α，∴ a//a′．∵ a//b， ∴ b//a′．
∵ ，
总结：此题通过线面平行得出线线平行，再由基本事实4得出另一组线线平行，最后得到线面平行．方法是通过“由已知想可知，由求证想需知”来实现线线平行与线面平行关系的转化．
命题3 如果两条直线同时与一个平面平行，那么这两条直线平行．
例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱CC1，DD1的中点．
B1C1 与A1B1相交；
B1C1 与A1D1平行；
命题4 一条直线在两个平行平面外，如果这条直线与其中一个平面平行，那么它与另一个平面也平行．
已知：α//β，l//α，l β，求证：l//β．
证明：过直线l作平面γ分别交平面α、平面β于直线l′，l′′，∵ l//α，∴ l//l′．∵ α//β，∴ l′//l′′ ．∴ l//l′′．
∵ l β，l′′⊂β，
总结：此题根据线面和面面平行的性质定理得出两组线线平行，再由基本事实4和线面平行判定定理得出结论．证明中用到线线、线面、面面平行关系转化，并根据“由已知想可知，由求证想需知”寻求解题思路．
命题5 如果两个平面同时与一条直线平行，那么这两个平面平行．
例如：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱CC1，DD1的中点，与EF都平行的两个平面可能平行还可能相交．
命题6 如果两个平面均与第三个平面平行，那么这两个平面平行．
已知：α//γ，β//γ，求证：α//β．
证明：∵ α//γ，β//γ，过γ内的一条直线a作平面σ ，分别与α和β交于直线a′ ，a′′ ，则有a//a′ ， a//a′′ ，∴ a′//a′′．
∵ a′ β ， a′′ β，
∴ a′//β．
证明：(接上页）在平面γ内作一条与直线a相交的直线b，再过直线b作平面τ，分别与α和β交于直线b′ ，b′′ ，同理可得出b′//β．∵ a与b相交，∴ a′与b′相交．∵ a′ ⊂α ， b′ ⊂α ，∴ α //β．
总结：此题要证面面平行，我们用到了面面平行的判定定理以及线面平行的判定定理．已知面面平行，我们通过面面平行的性质定理可以得出线线平行，进而得到解题思路．总之，运用“由已知想可知，由求证想需知”的方法能更好地进行平行关系的转化．
练习：a，b是异面直线，a⊂α，b⊂β，a//β，b//α．求证：α//β．
证明：过直线b作平面γ，交平面α于直线b′ ，∵ b//α，∴ b//b′ ．∵ b⊂β， b′ β，∴ b′//β ．∵ a，b是异面直线，∴ b′与a相交．又∵ a⊂α，a//β，∴ α//β ．
总结：该题运用了线面平行的性质定理和判定定理以及面面平行的判定定理，大家要结合已知和求证，用好“由已知想可知，由求证想需知”的方法，顺利实现平行关系的转化．
本节课我们研究了空间中平行关系的证明，大家思考：
（1）在平行关系证明过程中运用了哪些知识？
（2）在平行关系证明过程中怎样寻求解题思路？
（3）在本节课中，通过平行关系证明思路的寻求和严谨证明，有助于大家提升哪些能力和素养？
我们在证明平行位置关系时，需要利用线线、线面、面面平行的定义、判定定理和性质定理，以及基本事实4和平面几何知识，熟练掌握这些知识是证明平行关系的基础．为了使平行关系转化过程方向明确，我们用好“由已知想可知，由求证想需知”的方法，捋清解题思路，就可以轻松解决平行关系证明问题．通过本节课的学习，有助于我们提升逻辑推理和直观想象的核心素养．