高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行优秀学案设计

8.5　空间直线、平面的平行

8.5.1　直线与直线平行

知识点1　直线与直线平行

1．已知在棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′中，M，N分别为CD，AD的中点，则MN与A′C′的位置关系是________．

平行　[如图所示，∵M，N分别为CD，AD的中点，MNAC，

由正方体的性质可得ACA′C′，

∴MNA′C′，

即MN与A′C′平行．]

知识点2　空间等角定理

(1)文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

(2)符号语言：如图①②所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，OA∥O′A′，OB∥O′B′，则∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°．

图①　　　　　　图②

(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且方向相同(或相反)，那么这两个角相等；

(2)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，并且一边的方向相同，另一边的方向相反，那么这两个角互补．

2．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)

A．30°　　　　　　  B．30°或150°

C．150°   D．以上结论都不对

B　[因为AB∥PQ，BC∥QR，

所以∠PQR与∠ABC相等或互补．

因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°．]

类型1　平行线传递性的应用

【例1】　在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别是BC，A1D1的中点．求证：四边形B1EDF是菱形．

[证明]　取B1C1的中点G，连接GD1，GE，

则GE∥C1C∥D1D，GE＝C1C＝D1D，

∴四边形GEDD1是平行四边形，GD1∥ED，GD1＝ED．

∵FD1∥B1G，FD1＝B1G，

∴四边形FB1GD1是平行四边形，

∴B1F∥GD1，B1F＝GD1，∴B1F∥ED，B1F＝ED，

∴四边形B1EDF是平行四边形，

又B1E＝＝BB1，B1F＝

＝A1B1，A1B1＝BB1，∴B1E＝B1F，

∴四边形B1EDF是菱形．

空间两条直线平行的证明

判断两条直线平行，除了平面几何中常用的判断方法以外，基本事实4，即平行线的传递性，也是判断两直线平行的重要依据．解题时要注意中位线的作用．

1．如图，E，F分别是长方体ABCD­A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．

[证明]　如图所示，取DD1的中点Q，连接EQ，QC1．

∵E是AA1的中点，∴EQA1D1．

∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，∴EQB1C1，

∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1EC1Q．

又Q，F分别是D1D，C1C的中点，∴QDC1F，

∴四边形DQC1F为平行四边形，∴C1QFD．

又B1EC1Q，∴B1EFD，

故四边形B1EDF为平行四边形．

类型2　等角定理的应用

【例2】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．

[证明]　(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM．

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，

∴∠BMC＝∠B1M1C1．

法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1＝BM．

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1＝CM．

又∵B1C1＝BC，

∴△BCM≌△B1C1M1，

∴∠BMC＝∠B1M1C1．

证明两角相等的方法有哪些？

[提示]　证明角相等，利用空间等角定理是常用的思考方法；另外也可以通过证明两个三角形全等或相似来证明两角相等．在应用等角定理时，应注意当两个角的两边分别对应平行且方向都相同或相反时，这两个角相等，否则这两个角互补．因此，在证明两个角相等时，只说明两个角的两边分别对应平行是不够的．

2．如图，已知三棱锥A­BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．

求证：△EFG∽△BCD．

[证明]　∵在△ABC中，EF∥BC，∴＝．又FG∥CD，∴＝．∴＝，∴EG∥BD．

∵∠EFG与∠BCD的两条边分别对应平行，且方向相同，

∴∠EFG＝∠BCD．

同理∠FGE＝∠CDB．∴△EFG∽△BCD．

1．若直线a，b，c满足a∥b，a，c异面，则b与c(　　)

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

C　[若b∥c，由a∥b，知a∥c，这与a，c异面相矛盾，则b与c不可能平行，故选C．]

2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1方向相同，则下列结论正确的是(　　)

A．OB∥O1B1，且方向相同

B．OB∥O1B1，方向可能不同

C．OB与O1B1不平行

D．OB与O1B1不一定平行

D　[当∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1时，OA与O1A1的方向相同，OB与O1B1不一定平行，如图所示，故选D．

]

3．如图所示，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，若BD＝2，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________．

6　[⇒EH＝FG＝BD＝1．

同理EF＝GH＝AC＝2，

所以四边形EFGH的周长为6．]

4．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是________．

平行　[在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC．又BC∥B1C1，

所以EF∥B1C1．]

回顾本节知识，自我完成以下问题：

(1)基本事实4的内容是什么？有什么作用？

(2)如何证明两直线平行？

(3)空间等角定理的内容是什么？有什么作用？

(4)证明空间角相等的方法有哪些？