高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行一等奖ppt课件

 直线与直线平行

【教学重点】

基本事实4和等角定理．

【教学难点】

利用基本事实4和等角定理解决简单的相关问题．

【教学目标】

1.正确理解基本事实4和等角定理；

2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题．

一．情境引入

在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，重点研究了两条直线平行，得到了这种特殊位置关系的性质，以及判定两条直线平行的定理，我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行，在空间中，是否也有类似的结论？

设计意图：通过类比，引出课题．

二．探究新知

问题1：在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB ，则DC 与A1B1平行吗？

观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？

答案：通过观察，可以发现，DC// A1B1,，同样在教室中也能找到类似的实例，黑板边所在直线AA'和门框所在直线CC'都平行于墙与墙的交线BB'，那么CC'//AA'．这说明空间中的平行直线具有与平面内的平行直线类似的性质．我们把它作为基本事实．

设计意图：培养学生的观察能力，思考能力以及语言表达能力．

基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行．

符号表示：  a//b，b//c ⇒ a//c．

图象表示：

基本事实4表明，空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行．

基本事实4的作用：它是判断空间两条直线平行的依据．

例1：如图，空间四边形ABCD中， E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：EFGH是平行四边形．

分析：要证明四边形EFGH是平行四边形，只需证明它的一组对边平行且相等，而EH，FG分别是△ABD和△CBD的中位线，从而它们都与BD平行且等于BD的一半，应用基本事实4，即可证明EH与FG平行且相等．

　　证明：连接BD．

是的中位线，

∥，且.

同理∥ ，且 .

∥且．

∴四边形EFGH为平行四边形．

总结：基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

设计意图：培养学生应用基本事实解决问题的能力．

问题２：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．在空间中，这一结论是否仍然成立呢？

答案：与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置．

对于图（1），可以构造两个全等三角形，使 和是它们的对应角，从而证明．

如下图，分别在 和的两边上截取AD，AE和，，使得，．连接，，，，．

∵∥且，

∴四边形是平行四边形．

∴∥且．

同理可证 ∥．

∴∥且．

∴四边形 是平行四边形．

∴．

∴．

∴．

对于图（2），同理可证．

总结：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补注意观察两角的方向是否相同，若相同，则两角相等；若不同，则两角互补．

这样，我们就能够得出以下定理：

定理  如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

说明：等角定理实质上是由以下两个结论合成的：

①       若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等；

②       若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．

例２：如图，在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．

解：(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM．

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1．

法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM．

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM．

又∵B1C1＝BC，

∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1．

设计意图：培养学生的知识迁移能力，空间想象能力，加深学生对空间的两条直线平行关系的理解．

四．归纳总结

1.基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2.等角定理:  如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．