【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件章末检测卷（八）

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章末检测卷(八)
(时间：120分钟　满分：150分)
第8章 函数应用
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.函数f(x)＝x＋ln x－1的零点为(　　)
B
解析　根据零点的定义，代入即可得零点为x＝1，故选B.
2.用二分法研究函数f(x)＝x3＋2x－1的零点时，第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________，以上横线应填的内容依次为(　　) A.(0，0.5)，f(0.25) B.(0，1)，f(0.25) C.(0.5，1)，f(0.75) D.(0，0.5)，f(0.125)
A
解析　∵f(0)<0，f(0.5)>0，且函数的图象在区间(0，0.5)上不间断，可得其中一个零点x0∈(0，0.5)，使得f(x0)＝0，根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算f(0.25).
3.若函数f(x)＝3kx＋1在(－1，1)上存在零点，则实数k的取值范围是(　　)
D
解析　当k＝0时，f(x)＝1，不存在零点；当k≠0时，f(x)是一次函数，必然单调，故只需f(－1)f(1)<0即可，即(－3k＋1)(3k＋1)<0，
4.用二分法求方程的近似解，求得f(x)＝x3＋2x－9的部分函数值数据如下表所示：
C
则当精确到0.1时，方程x3＋2x－9＝0的近似解可取为(　　)A.1.6 B.1.7 C.1.8 D.1.9解析　根据表中数据可知f(1.75)＝－0.14<0，f(1.812 5)＝0.579 3>0，由近似解精确到0.1可知1.75≈1.8，1.812 5≈1.8，故方程的一个近似解为1.8，选C.
5.某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg 2≈0.301 0)(　　) A.6年 B.7年 C.8年 D.9年
B
A.35 min B.30 min C.25 min D.20 min
C
解析　由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段；
把点(5，100)和点(15，60)的坐标代入解析式，
令y＝40，解得t＝25，∴最少需要的时间为25 min.故选C.
7.国家为保民生采取宏观调控对猪肉价格进行有效地控制.通过市场调查，得到猪肉价格在近四个月的市场平均价f(x)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：
A
C
都是单调函数，故不符合要求，所以选f(x)＝ax2＋bx＋c.由第二组数据(9，34)和第四组数据(11，34)，可得f(x)的图象关于x＝10对称，故x＝12时，f(12)＝f(8)＝28.故选A.
8.设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是关联函数，[a，b]称为关联区间.若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是关联函数，则实数m的取值范围是(　　)
B
解析　∵f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是关联函数，故函数y＝h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有两个不同的零点，
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)9.若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点 C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点
AC
10.已知狄利克雷函数f(x)满足：当x取有理数时，f(x)＝1；当x取无理数时，f(x)＝0.则下列选项成立的是(　 　)A.f(x)≥0 B.f(x)≤1C.f(x)－x3＝0有1个实数根 D.f(x)－x3＝0有2个实数根
ABC
11.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案每天的回报如图所示(横轴为投资时间，纵轴为每天的回报). 根据以上信息，若使回报最多，则下列说法正确的是(　 　)
ABC
A.投资3天以内(含3天)，采用方案一B.投资4天，不采用方案三C.投资8天，采用方案二D.投资12天，采用方案二
解析　若投资3天以内(含3天)，因为每天的回报均是方案一的回报最大，故采用方案一；投资4天，方案三的总回报是最小的，故不采用该方案；投资8天，由图可得方案三的每天回报均低于方案二的每天回报，计算可以得到方案一的总回报为320；方案二的总回报为10＋20＋30＋40＋50＋60＋70＋80＝360，故采用方案二；投资12天时，采用方案三.故选A，B，C.
12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石.布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E. J. Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数.下列为“不动点”函数的是(　 　)
BCD
解析　根据定义可知，若f(x)有不动点，则f(x)＝x有解.A中，令2x＋x＝x，所以2x＝0，此时无解，故f(x)不是“不动点”函数；B中，令x2－x－3＝x，所以x＝3或x＝－1，所以f(x)是“不动点”函数；
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)
－3
解析　令f(x)＝2x－0.2，∵f(－3)＝2－3－0.2<0，f(－2)＝2－2－0.2>0，∴k＝－3.
200
当0≤x<300时，L(x)max＝L(200)＝10 000，当x≥300时，L(x)max＝L(300)＝5 000，所以总利润最大时店面经营天数是200.
16.将初始温度为0 ℃的物体放在室温恒定为30 ℃的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n次测量得到的物体温度记为tn，t1＝0 ℃，已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为k). (1)给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为________(填写模型对应的序号).
②
>
解析　(1)由题意，将第n次测量得到的物体温度记为tn，则两次的物体温度变化为tn＋1－tn，又由物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比(比例系数为k)，所以tn＋1－tn＝k(30－tn)，
四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x.
解　(1)f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－2x，
(2)若关于x的方程f(x)－m＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围.
解　函数f(x)是定义在R上的偶函数，故关于x的方程f(x)－m＝0有四个不同的实数解，只需x>0时，f(x)＝m有两个解.当x≥0时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以－119.(12分)已知函数f(x)＝ax2＋x＋1＋a. (1)若函数y＝f(x)＋x有唯一的零点，求实数a的值；
解　函数y＝f(x)＋x有唯一的零点，等价于ax2＋2x＋a＋1＝0有唯一实根.
(2)设a>0，若对任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f(x)恒成立，求实数a的取值范围.
解　设a>0，若对任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f(x)恒成立等价于ax2－x＋a＋1≥0恒成立，设g(x)＝ax2－x＋a＋1，
20.(12分)2018年10月24日世界上最长的跨海大桥—港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到220辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为100千米/时；研究表明：当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤220时，求函数v(x)的表达式；
解　(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝100；当20≤x≤220时，设v(x)＝ax＋b(a≠0)，
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大？并求出最大值.
当0≤x≤20时，f(x)的最大值为f(20)＝2 000，
f(x)的最大值为f(110)＝6 050，∴当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6 050辆/时.
解　依题意知函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合，
经检验，当x＝2 020和x＝2 021时也符合.
(2)若不加以控制任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
综上，从2024年开始该城市的包装垃圾将超过40万吨.
(2)判断函数g(x)是否具有性质M？并说明理由；
解　函数g(x)不具有性质M.证明如下：函数g(x)＝ln x的定义域为(0，＋∞)，方程g(t＋1)＝g(t)＋g(1)⇔ln(t＋1)＝ln t＋ln 1⇔ln(t＋1)＝ln t⇔t＋1＝t，而方程t＋1＝t无解，所以不存在实数t∈(0，＋∞)，使得g(t＋1)＝g(t)＋g(1)成立，所以函数g(x)不具有性质M.
(3)证明：函数f(x)具有性质M.
证明　由(1)知f(x)＝2x－3x2，定义域为R，方程f(t＋1)＝f(t)＋f(1)⇔2t＋1－3(t＋1)2＝2t－3t2＋2－3⇔2t－6t－2＝0.设G(t)＝2t－6t－2，则G(0)＝20－2＝－1<0，G(－1)＝2－1－6×(－1)－2>0，即G(－1)G(0)＜0，又函数G(t)的图象连续，所以函数G(t)在区间(－1，0)上存在零点，所以存在实数t使得f(t＋1)＝f(t)＋f(1)成立，所以函数f(x)具有性质M.