新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】综合检测试卷(二)

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综合检测试卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知集合A＝，B＝{x|1－2x>0}，则(　　)
A．A∩B＝
B．A∩B＝∅
C．A∪B＝
D．A∪B＝R
答案　A
解析　由1－2x>0得x<，
所以A∩B＝∩＝.
2．设a>0，则“b>a”是“b2>a2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案　A
解析　由于a>0，当b>a时，b2>a2.当b2>a2时，b可能是负数，因此不能得出b>a.故“b>a”是“b2>a2”的充分不必要条件．
3．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．b 答案　A
解析　a＝log72<，b＝log0.70.2>log0.70.7＝1,0.7 4．设函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　A
解析　由题意得，f(1)＝log21＝0，
∴f(f(1))＝f(0)＝40－1＝0.
5．下列四个函数：①y＝x＋1；②y＝；③y＝2x－1；④y＝lg(1－x)，其中定义域与值域相同的函数的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　B
解析　对于①，根据一次函数的性质可得定义域和值域都是R；
对于②，y＝＝＝1＋，根据反比例函数性质可得定义域和值域都为{x|x≠1}；
对于③，根据指数函数性质可得定义域为R，值域为(－1，＋∞)；
对于④，根据对数函数性质可得定义域为(－∞，1)，值域为R.
6．在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a>0且a≠1)的图象可能是(　　)


答案　D
解析　当01时，函数y＝ax过定点(0,1)且为增函数，则函数y＝过定点(0,1)且为减函数，函数y＝loga过定点且为增函数，各选项均不符合．
7．将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的单调递减区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案　B
解析　将f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，
得到g(x)＝2sin＝－2sin 2x，
由－＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以g(x)的单调递减区间是(k∈Z)．
8．设函数f(x)＝的最大值是a.若对于任意的x∈[0,2)，a>x2－x＋b恒成立，则b的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B.
C. D．(－∞，－2)
答案　C
解析　当x＝0时，f(x)＝0；
当x<0时，f(x)<0，
当x>0时，
f(x)＝＝≤＝，
当且仅当x＝，即x＝3时取等号，
综上可得，f(x)max＝，即a＝.
由题意知x2－x＋b<在x∈[0,2)上恒成立，
即x2－x＋b－<0在x∈[0,2)上恒成立．
令φ(x)＝x2－x＋b－，x∈[0,2)，
则φ(x)<φ(2)，即φ(2)＝4－2＋b－≤0，
即b≤－.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的是(　　)
A．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点
B．f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点
C．f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点
D．f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点
答案　ABD
解析　由题意知f(0)·f(1)<0，
所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0,1)上一定有零点，
又f(1)·f(2)>0，
因此无法判断f(x)在区间(1,2)上是否有零点．
10．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，则下列结论正确的是(　　)
A．a>0 B．b>0
C．c>0 D．a＋b＋c>0
答案　BCD
解析　因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；
易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1<0，－＝>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；易知f(1)＝a＋b＋c>0，故D正确．
11．设函数f(x)＝4sin＋1的图象为C，则下列结论中正确的是(　　)
A．图象C关于直线x＝－对称
B．图象C关于点对称
C．函数f(x)在区间内为增函数
D．把函数f(x)＝4sin＋1的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到图象C
答案　AC
解析　对于A，函数f(x)＝4sin＋1的对称轴方程为2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得x＝＋(k∈Z)，
当k＝－1时可得x＝－，
所以图象C关于直线x＝－对称，正确．
对于B，函数f(x)＝4sin＋1的对称中心的横坐标为2x＋＝kπ(k∈Z)，
解得x＝－＋(k∈Z)，
当k＝0时可得x＝－，
所以图象C关于点对称，而不是关于点对称，故B选项不正确．
对于C，由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得 kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
当k＝0时，－≤x≤，所以函数f(x)在区间内为增函数，正确．
对于D，把函数f(x)＝4sin＋1的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)可以得到函数f(x)＝4sin＋1的图象，不是图象C，故D选项不正确．
12．已知函数f(x)＝若x1 A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1 答案　BCD
解析　画出函数f(x)的大致图象，如图，

得出x1＋x2＝－2，
－log2x3＝log2x4，
则x3x4＝1，
故A错误，B正确；
由图可知1 因为－2 x1x2＝x1(－2－x1)＝－x－2x1
＝－(x1＋1)2＋1∈(0,1)，
所以x1x2x3x4＝x1x2∈(0,1)，故D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．设α∈，使y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上为减函数的α值为______．
答案　－1
解析　因为y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，
所以α<0 ，
当α＝－2时，y＝x－2，
f(－x)＝(－x)－2＝x－2＝f(x) 是偶函数，
当α＝－时，y＝，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，
当α＝－1时，y＝x－1，f(－x)＝(－x)－1＝－x－1＝－f(x)是奇函数．
14．已知函数f(＋1)＝x－4，则f(x)的解析式为________________________．
答案　f(x)＝x2－2x－3(x≥1)
解析　令t＝＋1≥1，则x＝(t－1)2，
故f(t)＝(t－1)2－4＝t2－2t－3(t≥1)．
15．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.
答案　1
解析　∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，
∴f(－1)－g(－1)＝－1＋1＋1＝1，
又∵f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，∴f(1)＝f(－1)，g(1)＝－g(－1)，
∴f(－1)－g(－1)＝f(1)＋g(1)，
∴f(1)＋g(1)＝1.
16．已知不等式x2－(a＋1)x＋a<0.
(1)若不等式在(1,3)上有解，则实数a的取值范围是________；
(2)若不等式在(1,3)上恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案　(1)(1，＋∞)　(2)[3，＋∞)
解析　(1)原不等式变为(x－1)(x－a)<0，
当a＝1时，解集为∅，
当a>1时，解集为(1，a)，
当a<1时，解集为(a,1)，
若不等式在(1,3)上有解，则a>1.
(2)若不等式在(1,3)上恒成立，
则由(1)可知(1,3)⊆(1，a)，所以a≥3.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)求下列各式的值：
(1)
(2)lg 45－2lg 6－3lg ＋log43·log916.
解　(1)原式＝
＝＋2＋4－2＝.
(2)原式＝lg(5×32)－2lg(2×3)－3lg 2－1＋
＝lg 5＋2lg 3－2lg 2－2lg 3＋3lg 2＋1
＝lg 5＋lg 2＋1＝lg 10＋1＝2.
18．(12分)在①∃x∈[－2,0]，②∀x∈[－2,0]这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题．已知函数f(x)＝x2＋2x－a.
(1)若命题“__________，f(x)≥0”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)当a>1时，求关于x的不等式f(x)≥(a＋1)x2＋(1－a)x－a＋1的解集．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)由f(x)≥0，得x2＋2x－a≥0，
即a≤x2＋2x.
设g(x)＝x2＋2x，
则g(x)＝(x＋1)2－1在[－2,0]上的最小值为g(－1)＝－1，
最大值为g(－2)＝g(0)＝0.
选择条件①，则a≤x2＋2x在[－2,0]上成立，
所以a≤0，故实数a的取值范围是(－∞，0]．
选择条件②，则a≤x2＋2x在[－2,0]上恒成立，所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]．
(2)由f(x)≥(a＋1)x2＋(1－a)x－a＋1，可得ax2－(a＋1)x＋1≤0，
即(ax－1)(x－1)≤0，
因为a>1，所以(x－1)≤0.
因为<1，
所以不等式的解集为.
19．(12分)某厂每年生产某种产品x万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分．已知每年固定成本为20万元，浮动成本k(x)＝若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡．
(1)设年利润为f(x)(万元)，试求f(x)与x的关系式；
(2)年产量x为多少万件时，该厂所获利润f(x)最大？并求出最大利润．
解　(1)由题意f(x)＝40x－k(x)－20
＝
(2)当0 f(x)＝－x2＋20x－20＝－(x－10)2＋80，
x＝10时，f(x)max＝80，
当x>25时，
f(x)＝－＋180在(25,40]上为增函数，在[40，＋∞)上为减函数，当x＝40时，f(x)max＝100，
综上，当产量x＝40(万件)时，该厂所获利润f(x)最大为100万元．
20．(12分)已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上．
(1)求f(x)的表达式；
(2)设g(x)＝f(x)－x－2，求函数y＝g(x)的零点，推出函数y＝g(x)的另外一个性质(只要求写出结果，不要求证明)，并画出函数y＝g(x)的简图．
解　(1)因为f(x)为幂函数，
所以设f(x)＝xa，
又(，2)在f(x)的图象上，
所以()a＝2⇒a＝2，
所以f(x)＝x2.
(2)由(1)知f(x)＝x2，故g(x)＝x2－，
令g(x)＝0，
解得x＝1或x＝－1，
故函数y＝g(x)的零点为±1.
g(x)＝x2－，
故其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R，
又g(－x)＝(－x)2－＝x2－＝g(x)，
故g(x)为偶函数，根据单调性的性质可知g(x)在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数．(以上性质任选其一即可)
函数y＝g(x)的图象如图．

21．(12分)已知函数f(x)＝2sin(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；
(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．
解　(1)因为f(x)＝2sin，
所以T＝π，又x∈，
所以2x＋∈，即f(x)∈[－1,2]，即最大值为2，最小值为－1.
(2)由题意sin＝，
而x0∈，
所以2x0＋∈，
所以cos＝－＝－，
所以cos 2x0＝cos
＝－×＋×＝.
22．(12分)定义在[－4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－4,0]时，f(x)＝＋(a∈R)．
(1)求f(x)在[0,4]上的解析式；
(2)当x∈[－2，－1]时，不等式f(x)≤－恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)因为f(x)是定义在[－4,4]上的奇函数，x∈[－4,0]时，f(x)＝＋，
所以f(0)＝＋＝0，解得a＝－1，
所以x∈[－4,0]时，f(x)＝－，
当x∈[0,4]时，－x∈[－4,0]，
所以f(－x)＝－＝4x－3x，
又f(－x)＝－f(x)，
所以－f(x)＝4x－3x，f(x)＝3x－4x，
即f(x)在[0,4]上的解析式为f(x)＝3x－4x.
(2)由(1)知，x∈[－2，－1]时，
f(x)＝－，
所以f(x)≤－可化为－≤－，
整理得m≥＋＝x＋2·x，
令g(x)＝x＋2·x，根据指数函数单调性可得，y＝x与y＝x都是减函数，
所以g(x)也是减函数，
因为当x∈[－2，－1]时，
不等式f(x)≤－恒成立，
等价于m≥g(x)在x∈[－2，－1]上恒成立，
所以只需m≥g(x)max＝g(－2)＝4＋2×＝.即实数m的取值范围是.