新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】综合检测试卷(一)

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综合检测试卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．命题“∃x∈R，x3－x2＋1>0”的否定是(　　)
A．∃x∈R，x3－x2＋1<0
B．∀x∈R，x3－x2＋1≤0
C．∃x∈R，x3－x2＋1≤0
D．不存在x∈R，x3－x2＋1>0
答案　B
2．如果a A.< B．ab C．－ab<－a2 D．－<－
答案　D
解析　由于a 可得＝－，＝－1，∴>，故A不正确．
可得ab＝2，b2＝1，∴ab>b2，故B不正确．
可得－ab＝－2，－a2＝－4，∴－ab>－a2，故C不正确．
3．已知a＝log0.22，b＝20.3，c＝0.20.3，则(　　)
A．a C．c 答案　A
解析　∵a＝log0.22 b＝20.3>20＝1，
0<0.20.3<1，∴a<0，b>1,0 ∴a 4．已知角α终边上一点M的坐标为(1，)，则sin 2α等于(　　)
A．－ B.
C．－ D.
答案　D
解析　由角α终边上一点M的坐标为(1，)，
得sin α＝，cos α＝，
故sin 2α＝2sin αcos α＝.
5．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C取决于信道带宽W，信道内信号的平均功率S，信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫作信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比从1 000提升到8 000，则C大约增加了(lg 2≈0.3)(　　)
A．10% B．20% C．30% D．50%
答案　C
解析　当＝1 000时，C1＝Wlog21 000，当＝8 000时，C2＝Wlog28 000，
∴＝＝＝≈1.3，
∴大约增加了30%.
6．若函数y＝a|x|＋m－1(0 A．[1，＋∞) B．(0,1)
C．(－∞，1) D．[0,1)
答案　D
解析　函数y＝a|x|＋m－1(0 等价于函数y＝a|x|的图象与y＝1－m的图象有交点，
0 即0<1－m≤1，解得0≤m<1，即实数m的取值范围是[0,1)．
7．已知函数f(x)＝，若f(2a2－5a＋4) A.∪(2，＋∞)
B．[2,6)
C.∪[2,6)
D．(0,6)
答案　C
解析　易知函数f(x)＝的定义域是[2，＋∞)，在定义域内是增函数，
所以由f(2a2－5a＋4) 解得0 8．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3sin(－β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由α为锐角，
且2tan(π－α)－3sin(－β)＋5＝0，
可得2tan α－3sin β－5＝0.①
由tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，
可得tan α－6sin β－1＝0.②
①×2－②得3tan α－9＝0，
∴tan α＝3，即＝3.
∵sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α＝.
又α为锐角，
∴sin α>0，∴sin α＝.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列四个命题：其中不正确的命题是(　　)
A．函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为增函数，则f(x)在R上是增函数
B．若函数f(x)＝ax2＋bx＋2与x轴没有交点，则b2－8a<0且a>0
C．当a>b>c时，则有bc>ac成立
D．y＝1＋x和y＝不表示同一个函数
答案　ABC
解析　f(x)＝满足在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0]上为增函数，但f(x)在R上不是增函数，A错；
a＝b＝0时，f(x)＝2，它的图象与x轴无交点，不满足b2－8a<0且a>0，B错；
当a>b>c，但c＝0时，ac＝bc，不等式bc>ac不成立，C错；
y＝＝|x＋1|，与y＝x＋1的对应关系不相同，值域也不相同，不是同一个函数，
D正确．
10．已知0 A.a>b B．ln a>ln b
C.> D.>
答案　ACD
解析　因为0 所以a>b，故A正确；
因为0 所以ln a 又因为y＝在区间(－∞，0)上为减函数，
在区间(0，＋∞)上也为减函数，
所以>，同理可得>，故C，D正确．
11．给出下列四个结论，其中正确的结论是(　　)
A．sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是角α是锐角
B．若cos(nπ－α)＝(n∈Z)，则cos α＝
C．若α≠(k∈Z)，则tan＝－
D．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα＝1
答案　CD
解析　由诱导公式，知α∈R时，
sin(π＋α)＝－sin α，
所以A错误．
当n＝2k(k∈Z)时，
cos(nπ－α)＝cos(－α)＝cos α，
此时cos α＝，
当n＝2k＋1(k∈Z)时，
cos(nπ－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，
此时cos α＝－，所以B错误．
若α≠(k∈Z)，
则tan＝＝＝－，
所以C正确．
将等式sin α＋cos α＝1两边平方，
得sin αcos α＝0，
所以sin α＝0或cos α＝0.
若sin α＝0，则cos α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1；
若cos α＝0，则sin α＝1，此时sinnα＋cosnα＝1，
故sinnα＋cosnα＝1，所以D正确．
12．已知y＝f(x＋2)为奇函数，且f(3＋x)＝f(3－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x＋log4(x＋1)－1，则(　　)
A．f(x)的图象关于(－2,0)对称
B．f(x)的图象关于(2,0)对称
C．f(2 022)＝0
D．f(2 022)＝3＋log43
答案　ABC
解析　因为f(x＋2)为奇函数，
所以f(－x＋2)＝－f(x＋2)，
即f(2＋x)＝－f(2－x)，
所以f(x)的图象关于(2,0)对称．
故选项B正确；
由f(2＋x)＝－f(2－x)，
可得f(4＋x)＝－f(－x)，
由f(3＋x)＝f(3－x)，
可得f(－x)＝f(6＋x)，
所以－f(4＋x)＝f(6＋x)，
可得f(x＋2)＝－f(x)，
所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，
所以f(x)周期为4，
所以f(x)的图象关于(－2,0)对称，故选项A正确；
f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝－f(0)
＝－(20－1)＝0.
故选项C正确，D不正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．lg 4＋lg 25－(0.5－2－2)×的值是________．
答案　－
解析　原式＝lg 100－2×＝2－＝－.
14．设α为锐角，若cos＝，则cos的值为________．
答案　
解析　∵α为锐角，cos＝，
∴sin＝，
∴cos＝cos
＝sin＝.
15．已知a>0，b>0，a＋2b＝4，则a＋的最小值为________，＋的最小值为________．
答案　2　
解析　a＋≥2＝2，
当且仅当a＝，即a＝1时“＝”成立；
＋＝(a＋2b)
＝≥
＝.
当且仅当＝且a＋2b＝4，
即时“＝”成立．
16．已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)，若∃x1，x2∈R，使得f(x1)·f(x2)＝－2，且|x2－x1|的最小值为，则ω的值为________，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后所得函数图象关于直线x＝对称，则f(x)在区间上的最小值为________．
答案　2　－
解析　因为f(x)＝cos(ωx＋φ)的最大值和最小值分别为和－，
又f(x1)f(x2)＝－2，所以f(x1)，f(x2)中一个为最大值，一个为最小值，
因为|x2－x1|的最小值为，
所以f(x)的最小正周期T满足＝，
所以T＝π，故ω＝＝2.
将f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，
所得图象对应的函数为
g(x)＝cos，
由题意可知，直线x＝是g(x)图象的一条对称轴，
所以＋φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，令k＝1，则φ＝，
所以f(x)＝cos.
因为x∈，所以2x＋∈，
所以f(x)在区间上为减函数，
故最小值为f ＝－.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，在这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．
问题：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．
(1)当a＝2时，求A∩B；
(2)若________，求实数a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解　(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1 所以B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1 当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，
所以A∩B＝{x|2≤x<3}．
(2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，
所以
解得－1 若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，
所以A⊆B，
所以
解得－1 若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，所以A⊆B，
所以
解得－1 18．(12分)已知函数f(x)＝2sin＋a，且f ＝3.
(1)求a的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解　(1)因为f ＝3，
所以2sin＋a＝3，
所以2sin ＋a＝3，即2＋a＝3，解得a＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2sin＋1，
则f(x)的最小正周期为T＝.
令2kπ－≤3x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得－≤x≤＋，k∈Z，
故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
19．(12分)已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ＝.
(1)试求函数f(x)的解析式；
(2)证明函数在定义域内是增函数．
(1)解　由f(0)＝0得b＝0，
由f ＝得a＝1，
所以f(x)＝.
(2)证明　任取x1，x2∈(－1,1)，令x1 则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
＝，
∵－1 ∴x1－x2<0，(1＋x)(1＋x)>0，
x1x2<1,1－x1x2>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1) ∴f(x)＝在定义域内是增函数．
20．(12分)已知函数f(x)＝ax＋b(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数．
(1)若函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1,3)，求函数y＝的值域；
(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[－1,1]，求a＋b的值．
解　(1)函数f(x)的图象经过点A(0,2)，B(1,3)，
所以解得
所以f(x)＝2x＋1，
因为2x>0,2x＋1>1，
即f(x)>1，所以y＝∈(0,1)，
故y＝的值域为(0,1)．
(2)利用指数函数的单调性建立关于a，b的方程组求解．
当a>1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,1]上是增函数，
由题意得
解得a＋b＝1，
当0 由题意得
解得a＋b＝－1.
综上，a＋b＝±1.
21.(12分)如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝k(k>0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，图象的最高点为B，且DF⊥OC，垂足为点F.

(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
解　(1)由图象，
可知A＝，ω＝＝＝，
将B代入y＝sin中，
得＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
即φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<，∴φ＝－，
故y＝sin.
(2)在y＝sin中，
令x＝4，得D(4,4)，从而得到曲线OD的方程为y＝2(0≤x≤4)，
则P，
∴矩形PMFE的面积为S＝×＝，
即儿童乐园的面积为.
22．(12分)已知函数f(x)＝log2(4x＋1)＋mx.
(1)若f(x)是偶函数，求实数m的值；
(2)当m>0时，关于x的方程f ＝1在区间[1,2]上恰有两个不同的实数解，求m的取值范围．
解　(1)f(x)＝log2(4x＋1)＋mx，
f(－x)＝log2(4－x＋1)－mx，
∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，
即log2(4x＋1)＋mx＝log2(4－x＋1)－mx，
化简得到2x＝－2mx，
∴m＝－1.
(2)m>0，函数f(x)＝log2(4x＋1)＋mx是增函数，且f(0)＝1，
f ＝1＝f(0)，
故8(log4x)2＋2log2＋－4＝0，
设log2x＝t，t∈，即－2t2＋2t＋4＝，画出y＝－2t2＋2t＋4的图象，如图所示，

根据图象知4≤<，
解得