新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】章末检测试卷(三)

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章末检测试卷(三)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1 A．{x|－1 C．{x|1 答案　A
解析　∵A＝{x|－1 ∴A∪B＝{x|－1 2．若a<1，b>1，则下列命题中正确的是(　　)
A.> B.>1
C．a2 答案　D
解析　由a<1，b>1，得a－1<0，b－1>0，
所以(a－1)(b－1)<0，即ab 3．函数y＝x2－ax的两零点间的距离为1，则a的值为(　　)
A．0 B．1
C．0或2 D．－1或1
答案　D
解析　函数y＝x2－ax的两零点间的距离为1，而两零点分别是0，a，
∴|a|＝1⇒a＝－1或1.
4．设A＝＋，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(　　)
A．A≥B B．A>B
C．A 答案　B
解析　∵a，b都是正实数，且a≠b，
∴A＝＋>2＝2，即A>2，
B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2
＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，∴A>B.


5．若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)
A. B.
C．5 D．6
答案　C
解析　由已知可得＋＝1，
则3x＋4y＝(3x＋4y)
＝＋＋＋
≥＋＝5，
当且仅当x＝1，y＝时等号成立，
所以3x＋4y的最小值是5.
6．已知x>1，则的最小值是(　　)
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
答案　A
解析　∵x＞1，∴x－1＞0.
∴＝
＝
＝
＝x－1＋＋2≥2＋2，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立．
∴的最小值是2＋2.
7．已知一元二次方程x2＋(m＋1)x＋1＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0 A．－4 B．－5
C．－6 D．－7
答案　A
解析　∵一元二次方程x2＋(m＋1)x＋1＝0(m∈Z)有两个实数根x1，x2，且0 令y＝x2＋(m＋1)x＋1，
则由题意可得
解得－ 8．若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－2,0)
B．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C．(－4,2)
D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
答案　C
解析　对任意a，b∈(0，＋∞)，＋≥2＝8，当且仅当＝时，等号成立，所以只需x2＋2x<8，即(x－2)(x＋4)<0，解得x∈(－4,2)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列选项中，关于x的不等式ax2＋(a－1)x－2>0有实数解的充分不必要条件有(　　)
A．a＝0 B．a≥－3＋2
C．a>0 D．a≤－3－2
答案　AC
解析　a≥0时必有解；当a<0时，Δ＝(a－1)2＋8a>0⇒a<－3－2或－3＋2 故AC符合题意．
10．下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
答案　BCD
解析　选项A，当c＝0时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B，⇒a2>ab，
⇒ab>b2，
∴a2>ab>b2，
∴本命题是真命题；
选项C，a>b>0⇒a2>b2>0⇒0<<.
∵c<0，∴>，
∴本命题是真命题；
选项D，>⇒－>0⇒>0.
∵a>b，∴b－a<0，
∴ab<0，
∴本命题是真命题．故选BCD.
11．下列说法中正确的有(　　)
A．不等式a＋b≥2恒成立
B．存在a，使得不等式a＋≤2成立
C．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
D．若正实数x，y满足x＋2y＝1，则＋≥8
答案　BCD
解析　不等式a＋b≥2恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式a＋≤2成立，故B正确；由基本不等式可知C正确；＋＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝，y＝时取等号，故D正确．
12．已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　)
A．a2－b2≤4
B．a2＋≥4
C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0
D．若不等式x2＋ax＋b 答案　ABD
解析　因为y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，故可得Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b>0.
对于A，a2－b2≤4等价于b2－4b＋4≥0，显然(b－2)2≥0，故A正确；
对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当b＝时等号成立，故B正确；
对于C，因为不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，故可得x1x2＝－b<0，故C错误；
对于D，因为不等式x2＋ax＋b 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．a，b∈R，a>b和<同时成立的条件是________．(答案不唯一，写出一个即可)
答案　a>b>0(或0>a>b)
解析　－＝<0，因为a>b，即b－a<0，
所以ab>0，所以a>b>0或0>a>b.
14．一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为{x|x<－3或x>1}，则一元一次不等式ax＋b<0的解集为________．
答案　
解析　由题意知，－3和1是方程x2＋ax＋b＝0的两根，
所以解得
不等式ax＋b<0即为2x－3<0，所以x<.
15．某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为：F＝.
(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/时；
(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/时．
答案　(1)1 900　(2)100
解析　(1)F1＝≤＝1 900，
当且仅当v＝，
即v＝11时等号成立．
(2)F2＝≤＝2 000，
当且仅当v＝，
即v＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.
16．设a>0，若对于任意的正数m，n，都有m＋n＝8，则满足≤＋的a的取值范围是________．
答案　{a|a≥1}
解析　由m＋n＝8可得m＋n＋1＝9，
故＋＝(m＋n＋1)
＝≥×(5＋2)＝＝1，
当且仅当n＋1＝2m，即m＝3，n＝5时，等号成立，∴只需≤1，即a≥1.
故a的取值范围为{a|a≥1}．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知a<0，集合A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|2x2＋(2a＋5)x＋5a<0}．
(1)求B；
(2)若A∩B中有且仅有一个整数，求a的取值范围．
解　(1)原不等式分解为(x＋a)(2x＋5)<0，
因为a<0，所以－a>－，则B＝.
(2)易得A＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)，
A∩B中有且仅有一个整数，结合(1)中B＝，且－a>0，此整数为－2，
故只需－a≤3，即－3≤a<0.
18．(12分)设函数y＝mx2－2mx－3.
(1)若m＝1，解不等式y>0；
(2)若对一切实数x，y<0恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)当m＝1时，
不等式化为x2－2x－3>0，
即(x－3)·(x＋1)>0，解得x>3或x<－1，
即解集为{x|x>3或x<－1}．
(2)当m＝0时，y＝－3<0，符合题意，当m≠0时，由题意得
解得－3 综上所述，实数m的取值范围是－3＜m≤0.
19．(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3 (1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)当ax2＋bx＋3≥0的解集为R时，求b的取值范围．
解　(1)因为不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3 所以1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，
由根与系数的关系得
解得a＝3，
则不等式2x2＋(2－a)x－a>0，
即2x2－x－3>0，所以(2x－3)(x＋1)>0，
解得x>或x<－1，
所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0的解集为.
(2)由(1)知a＝3，不等式ax2＋bx＋3≥0，
即3x2＋bx＋3≥0，
因为不等式3x2＋bx＋3≥0的解集为R，
则不等式3x2＋bx＋3≥0恒成立，
所以Δ＝b2－4×3×3≤0，
解得－6≤b≤6，
所以b的取值范围为[－6,6]．
20．(12分)设矩形ABCD(AB>AD)的周长为24，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB＝x，求△ADP的最大面积及相应x的值．

解　由题意可知，矩形ABCD(AB>CD)的周长为24，
AB＝x，则AD＝12－x，
设PC＝a，则DP＝x－a，AP＝a，而△ADP为直角三角形，
∴(12－x)2＋(x－a)2＝a2，
∴a＝x＋－12，DP＝12－，
∴S△ADP＝×AD×DP＝×(12－x)×(12－)＝108－－6x≤108－2
＝108－72.
当且仅当＝6x，即x＝6时，等号成立．
此时AD＝12－6，满足AB>AD，
即当x＝6时，△ADP的最大面积为108－72.
21．(12分)已知“∃x∈{x|－1 (1)求实数m的取值集合M；
(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．
解　(1)由题意，知m＝x2－x＝2－.
由－1 故M＝.
(2)由x∈N是x∈M的必要条件，知M⊆N.
①当a>2－a，
即a>1时，N＝{x|2－a 则解得a>.
②当a<2－a，即a<1时，
N＝{x|a 则解得a<－.
③当a＝2－a，
即a＝1时，N＝∅，不满足M⊆N.
综上可得，实数a的取值范围为.
22．(12分)精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对某乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品进行二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量w万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为w＝(其中推广促销费不能超过5万元)．已知加工此农产品还要投入成本3万元(不包括推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．
(1)试将该批产品的利润y万元表示为推广促销费x万元的函数；(利润＝销售额－成本－推广促销费)
(2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？
解　(1)由题意知
y＝w－3－x
＝w＋30－－x
＝－－，
∴y＝－－(0≤x≤5)．
(2)∵y＝－－，
∴y＝－
＝33－
≤33－·2
＝27.
当且仅当x＝3时，上式取“＝”．
∴当x＝3时，ymax＝27.
∴当推广促销费投入3万元时，此批产品的利润最大为27万元．