（新）苏教版高中数学必修第一册章末综合测评3　不等式（含解析）

这是一份高中数学本册综合精品复习练习题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(三) 不等式


(满分：150分 时间：120分钟)


一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．不等式eq \f(x－1,x＋2)＞1的解集是( )


A．{x|x＜－2} B．{x|－2＜x＜1}


C．{x|x＜1} D．{x|x∈R}


A [eq \f(x－1,x＋2)＞1可化为eq \f(x－1,x＋2)－1＞0，


整理可得eq \f(－3,x＋2)＞0，即x＋2＜0，


解得x＜－2，解集为{x|x＜－2}．]


2．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：


①若a>b，c≠0，则ac>bc；


②若a>b，则ac2>bc2；


③若ac2>bc2，则a>b；


④若a>b>0，c>d，则ac>bd．


其中真命题的个数是( )


A．1 B．2


C．3 D．4


A [若a>b，c<0时，acd>0时，ac>bd，④错，故选A．]


3．设A＝eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )


A．A≥B B．A>B


C．A

B [∵a，b都是正实数，且a≠b，


∴A＝eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)>2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，即A>2，


B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2


＝－(x－2)2＋2≤2，


即B≤2，∴A>B．]


4．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－3>10，,x2＋7x＋12≤0))的解集为( )


A．[－4，－3] B．[－4，－2]


C．[－3，－2] D．∅


A [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x－3>10，,x2＋7x＋12≤0))⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3<－5，,x＋3x＋4≤0))


⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－2，,－4≤x≤－3))⇒－4≤x≤－3．]


5．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )


A．5 km处 B．4 km处


C．3 km处 D．2 km处


A [设车站到仓库距离为x，土地费用为y1，运输费用为y2，由题意得y1＝eq \f(k1,x)，y2＝k2x，∵x＝10时，y1＝2，y2＝8，∴k1＝20，k2＝eq \f(4,5)，∴费用之和为y＝y1＋y2＝eq \f(20,x)＋eq \f(4,5)x≥2eq \r(\f(20,x)×\f(4,5)x)＝8，当且仅当eq \f(20,x)＝eq \f(4x,5)，即x＝5时取等号．]


6．若不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是( )


A．a≥2或a≤－3 B．a＞2或a≤－3


C．a＞2 D．－2＜a＜2


C [原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0，显然a＝－2时不等式不恒成立，所以要使不等式对于任意的x均成立，必须有a＋2＞0，且Δ＜0，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋2＞0，,42－4a＋2a－1＜0.))解得a＞2．]


7．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)，则( )


A．T>0 B．T<0


C．T＝0 D．T≥0


B [法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，


则T＝－eq \f(3,2)<0，排除A，C，D，可知选B．


法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，


不妨设a>0，b<0，c<0，


则T＝eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,c)＝eq \f(ab＋bc＋ca,abc)＝eq \f(ab＋cb＋a,abc)＝eq \f(ab－c2,abc)．


∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0．]


8．已知x>0，y>0．若eq \f(2y,x)＋eq \f(8x,y)>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )


A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4


C．－2

D [∵x>0，y>0，


∴eq \f(2y,x)＋eq \f(8x,y)≥8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(2y,x)＝\f(8x,y)时取“＝”))．


若eq \f(2y,x)＋eq \f(8x,y)>m2＋2m恒成立，则m2＋2m<8，解得－4

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)


9．已知0＜a＜b，且a＋b＝4，则( )


A．b>2


B．存在a，b，使得(a＋1)(b＋1)＝9


C．0

D．a2＋b2>8


ACD [由0＜a＜b，且a＋b＝4得a<4－a，b>4－b，所以02，所以A、C正确，因为eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))eq \s\up12(2)，当且仅当a＝b＝2时取＝，所以D正确；又a＋b＝4，所以ab

10．下列命题中真命题的序号为( )


A．∀x∈R，x＋eq \f(2,x)≥2eq \r(2)


B．a＜b＜0是eq \f(1,a)>eq \f(1,b)的充分不必要条件


C．a2＜b2是|a|<|b|的充分必要条件


D．函数y＝ax2－(a＋1)x＋1的零点为eq \f(1,a)和1．


BC [对于A，当x<0时不等式不成立，所以A错误；对于B，因为eq \f(1,a)>eq \f(1,b)⇔eq \f(a－b,ab)<0，所以a＜b＜0是eq \f(1,a)>eq \f(1,b)的充分不必要条件，所以B正确；对于C，因为a2＜b2是|a|<|b|的充分必要条件，所以C正确；对于D，因为a＝0和1时，函数只有一个零点，所以D错误，故选BC．]


11．设eq \f(1,b)

A．a

C．eq \f(b3,a3)＋eq \f(a3,b3)>2 D．eq \f(1,|b|)

AC [∵eq \f(1,b)

eq \f(a,b)>0，a－b<0，选项B错误；


eq \f(b3,a3)>0，eq \f(a3,b3)>0，eq \f(b3,a3)≠eq \f(a3,b3)，eq \f(b3,a3)＋eq \f(a3,b3)>2eq \r(\f(b3,a3)·\f(a3,b3))＝2，C正确；


∵a|b|>0，eq \f(1,|b|)－eq \f(1,|a|)＝eq \f(|a|－|b|,|a|·|b|)>0，eq \f(1,|b|)>eq \f(1,|a|)， D不正确．故选AC．]


12．若不等式ax2＋x－(a＋1)≥0的解集是{x|－2≤x≤1}的子集，则实数a的取值可以是( )


A．－1 B．0


C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)


AD [当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥1}，不符合要求；


当a≠0时，原不等式为a(x－1)(x＋eq \f(a＋1,a))≥0，


所以当a＞0时，不等式为(x－1)(x＋eq \f(a＋1,a))≥0，


因为1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a＋1,a)))＝eq \f(2a＋1,a)，所以解集为{x|x≤－eq \f(a＋1,a)或x≥1}，不符合要求；


当a＜0时，不等式为(x－1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a＋1,a)))≤0；


当a≤－eq \f(1,2)时，－eq \f(a＋1,a)≤x≤1，所以－2≤－eq \f(a＋1,a)，解得a≤1，所以a≤－eq \f(1,2)；


当－eq \f(1,2)

综上，a≤－eq \f(1,2)，故选AD．]


三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)


13．已知关于x，y的方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2－4x＝0，,y－kx－2＝0)) 的解集中只有一个元素，则实数k的值为 ．


0或eq \f(1,2) [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2－4x＝0，,y－kx－2＝0)) 消去x得，ky2－4y＋8＝0，


当k＝0时，y＝2，满足题意；


当k≠0时，Δ＝16－32k＝0，k＝eq \f(1,2)．


综上k＝0或k＝eq \f(1,2)．]


14．已知不等式x2－ax－b<0的解集为(2,3)，则不等式bx2－ax－1>0的解集为 ．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,3))) [方程x2－ax－b＝0的根为2,3．根据根与系数的关系得：a＝5，b＝－6．所以不等式为6x2＋5x＋1<0，解得不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,3)))．]


15．设实数a，b，c满足a>b>c，则y＝(a－c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(4,b－c)))的最小值为 ．


9 [∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，y＝(a－c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(4,b－c)))＝[(a－b)＋(b－c)]eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(4,b－c)))


＝5＋eq \f(b－c,a－b)＋eq \f(4a－b,b－c)≥9，当且仅当b－c＝2(a－b)，等号成立，


所以y＝(a－c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－b)＋\f(4,b－c)))的最小值为9．]


16．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x元)在50＜x≤80时，每天售出的件数P＝eq \f(105,x－402)，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为 元，每天获得的利润最多为 元．(本题第一空2分，第二空3分)


60 2 500 [设销售价格定为每件x(50＜x≤80)元，每天获得利润y元，则：


y＝(x－50)·P＝eq \f(105x－50,x－402)，


设x－50＝t，则0＜t≤30，


所以y＝eq \f(105t,t＋102)＝eq \f(105t,t2＋20t＋100)＝eq \f(105,t＋\f(100,t)＋20)≤eq \f(105,20＋2\r(t·\f(100,t)))＝2 500，


当且仅当t＝10，即x＝60时，ymax＝2 500．]


四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(本小题满分10分)已知全集U＝R，A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|2≤x＜5}，C＝{x|x＞a}．


(1)求A∩(∁UB)．


(2)若A∪C＝C，求a的取值范围．


[解] (1)A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}，


且B＝{x|2≤x＜5}，U＝R，


所以∁UB＝{x|x＜2或x≥5}，


所以A∩(∁UB)＝{x|－1≤x＜2}．


(2)由A∪C＝C，得A⊆C，


又C＝{x|x＞a}，A＝{x|－1≤x≤3}，


所以a的取值范围是a＜－1．


18．(本小题满分12分)已知∀x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．


(1)求a的取值范围；


(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0．


[解] (1)因为∀x∈R，ax2＋2ax＋1≥0．


①当a＝0时，1≥0恒成立；


②当a≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4a2－4a≤0，))


解得0

综上，a的取值范围为[0,1]．


(2)由x2－x－a2＋a<0得，(x－a)[x－(1－a)]<0．


因为0≤a≤1，


所以①当1－a>a，


即0≤a

a

②当1－a＝a，即a＝eq \f(1,2)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)<0，不等式无解；


③当1－a

1－a

综上所述，当0≤a

当a＝eq \f(1,2)时，解集为∅；


当eq \f(1,2)

19．(本小题满分12分)函数y＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14(m≠0)有两个零点，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．


[解] 法一： 因为函数y＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14(m≠0)有两个零点，且一个大于4，一个小于4，结合该函数的简图知，当m>0时，只需x＝4时，y<0；


当m<0时，只需x＝4时，y>0，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,26m＋38<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,26m＋38>0，))


解得－eq \f(19,13)

法二： 因为函数y＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14(m≠0)有两个零点，且一个大于4，一个小于4，所以mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0的两个不等的实数根x1，x2满足(x1－4)(x2－4)<0，


由根与系数关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(2m＋3,m)，,x1x2＝\f(2m＋14,m)，))


所以(x1－4)(x2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＝eq \f(2m＋14,m)＋eq \f(8m＋3,m)＋16<0，


解得－eq \f(19,13)

20．(本小题满分12分)已知某工厂生产某产品的总成本y与年产量x之间的关系为y＝ax2＋2 000，且当年产量是50时，总成本为4 000．


(1)设该产品年产量为x时平均成本为t，求t关于x的表达式；


(2)求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值．


[解] (1)将x＝50，y＝4 000代入y＝ax2＋2 000中，


可得502a＋2 000＝4 000，从而a＝eq \f(4,5)，于是y＝eq \f(4,5)x2＋2 000．


因此t＝eq \f(y,x)＝eq \f(4,5)x＋eq \f(2 000,x)(x>0)．


(2)因为t＝eq \f(4,5)x＋eq \f(2 000,x)≥2eq \r(\f(4,5)x×\f(2 000,x))＝80，


当且仅当eq \f(4,5)x＝eq \f(2 000,x)，即x＝50时，上述等号成立．因此，当年产量为50时，平均成本最小，且最小值为80．


21．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间有函数关系：y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)(v>0)．


(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0．01)


(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？


[解] (1)y＝eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)＝eq \f(920,v＋\f(1 600,v)＋3)≤eq \f(920,2\r(v·\f(1 600,v))＋3)＝eq \f(920,83)≈11．08．


当v＝eq \f(1 600,v)，即v＝40千米/小时时，车流量最大，最大值为11．08千辆/小时．


(2)据题意有：eq \f(920v,v2＋3v＋1 600)≥10，


化简得v2－89v＋1 600≤0，


即(v－25)(v－64)≤0，


所以25≤v≤64．


所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内．


22．(本小题满分12分)已知函数y＝eq \f(x2＋3,x－a)(x≠a，a为非零常数)．


(1)解不等式eq \f(x2＋3,x－a)

(2)设x>a时，y＝eq \f(x2＋3,x－a)有最小值为6，求a的值．


[解] (1)∵eq \f(x2＋3,x－a)

整理得(ax＋3)(x－a)<0．


当a>0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,a)))(x－a)<0,


解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,a)

当a<0时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3,a)))(x－a)>0，


解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(3,a)或x

(2)设t＝x－a，则x＝t＋a(t>0)，


∴y＝eq \f(t2＋2at＋a2＋3,t)


＝t＋eq \f(a2＋3,t)＋2a


≥2eq \r(t·\f(a2＋3,t))＋2a


＝2eq \r(a2＋3)＋2a．


当且仅当t＝eq \f(a2＋3,t)，


即t＝eq \r(a2＋3)时，等号成立，


即y有最小值2eq \r(a2＋3)＋2a．


依题意有2eq \r(a2＋3)＋2a＝6，


解得a＝1．