【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件章末检测卷（三）

章末检测卷（三）

 (时间：120分钟　满分：150分)

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是(　　)

A.>   B.>1

C.a2<b2   D.ab<a＋b

答案　D

解析　利用特值法，令a＝－2，b＝2.

则<，A错误；<0，B错误；

a2＝b2，C错误；故选D.

2.不等式<的解集是(　　)

A.{x|x<2}   B.{x|x>2}

C.{x|0<x<2}   D.{x|x<0或x>2}

答案　D

解析　由<，得－＝<0，

即x(2－x)<0，解得x>2或x<0，故选D.

3.如果二次函数y＝x2－(k＋1)x＋k＋4有两个不同的零点，则实数k的取值范围是(　　)

A.(－∞，－3)∪(5，＋∞)

B.(－∞，－5)∪(3，＋∞)

C.(－3，5)

D.(－5，3)

答案　A

解析　由题意，得Δ＝(k＋1)2－4(k＋4)>0，即k2－2k－15>0，

∴k>5或k<－3.

4.已知a>0，b>0，且满足＋＝1，则ab的最大值是(　　)

A.2   B.3 

C.4   D.6

答案　B

解析　因为a>0，b>0，且满足＋＝1，

所以1≥2，化为ab≤3，当且仅当a＝，b＝2时取等号，则ab的最大值是3.

5.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　)

A.a<v<   B.v＝

C.<v<   D.v＝

答案　A

解析　设甲、乙两地的距离为s，

则v＝＝.

由于a<b，∴＋<，∴v>a，

又＋>2，∴v<.

故a<v<，选A.

6.已知a>0，b>0，＋＝1，若不等式2a＋b≥3m恒成立，则m的最大值为(　　)

A.1   B.2 

C.3   D.7

答案　C

解析　∵2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9(当且仅当a＝b时，取等号).∴3m≤9，即m≤3.

7.“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件是(　　)

A.m>   B.m< 

C.m<1   D.m>1

答案　A

解析　∵不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，

∴Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，

又∵m>时，Δ＝1－4m<0，

所以“m>”是“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的充要条件，故选A.

8.设实数1<a<2，则关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为(　　)

A.{x|3a<x<a2＋2}

B.{x|a2＋2<x<3a}

C.{x|3<x<4}

D.{x|3<x<6}

答案　B

解析　由x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0，得(x－3a)(x－a2－2)<0，∵1<a<2，∴3a>a2＋2，∴关于x的一元二次不等式x2－(a2＋3a＋2)x＋3a(a2＋2)<0的解集为{x|a2＋2<x<3a}.故选B.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的不得分)

9.若＞＞0，则下列不等式中，正确的有(　　)

A.－a＞－b   B.|a|>|b|

C.a<b   D.＋>2

答案　ACD

解析　∵＞＞0，∴b＞a＞0，∴－a＞－b，故A正确，B错误，C正确；由于>0，>0，∴＋>2＝2，故D正确.故选ACD.

10.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则(　　)

A.a＝2   B.a＝1 

C.b＝5   D.b＝1

答案　AD

解析　y＝x－4＋＝(x＋1)＋－5，因为x>－1，所以x＋1>0，

所以y≥2－5＝2×3－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时，等号成立，故a＝2，b＝1.

11.若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式恒成立的是(　　)

A.ab≤1   B.＋≤

C.a2＋b2≥2   D.＋≥2

答案　ACD

解析　因为ab≤＝1，所以A正确；因为(＋)2＝a＋b＋2＝2＋2≤2＋a＋b＝4，故B不正确；a2＋b2≥＝2，所以C正确；＋＝＝≥2，所以D正确.

12.下列命题是真命题的是(　　)

A.不等式>1的解集为(0，1)

B.函数y＝x2－2x－8的零点是(－2，0)和(4，0)

C.若x∈R，则函数y＝＋的最小值为2

D.x2－3x＋2<0是x<2成立的充分条件但不是必要条件

答案　AD

解析　由>1得<0，∴解集为(0，1)，故A正确；二次函数的零点是指其图象与x轴交点的横坐标，应为－2和4，故B错误；C 中，y＝＋≥2＝2，等号成立的条件为＝，即x2＋4＝1，无解，故C错误；D中，由x2－3x＋2<0得1<x<2，能够推出x<2，但反之不成立，所以是充分条件但不是必要条件.

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________________.

答案　(－∞，1]∪[9，＋∞)

解析　由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，

∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，

即m2－10m＋9≥0，

∴(m－9)(m－1)≥0，∴m≥9或m≤1.

14.已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，则实数m的取值范围是________.

答案　

解析　要满足y＝x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]恒成立，

只需

即

解得－<m<0.

15.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨，总运费与总存储费用之和最小值为________万元(本题第一空3分，第二空2分).

答案　20　160

解析　设一年总费用为y万元，每年购买次数为次，则y＝·4＋4x＝＋4x≥2＝160(万元)，当且仅当＝4x，即x＝20时等号成立，故x＝20时，总费用最小，为160万元.

16.若函数f(x)＝x2＋(m－2)x＋(5－m)有两个小于2的不同零点，则实数m的取值范围是________.

答案　(4，＋∞)

解析　依题意有

解得m>4.

四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)当x>3时，求的最小值.

解　∵x>3，∴x－3>0.

∴＝

＝2(x－3)＋＋12≥2＋12＝24，

当且仅当2(x－3)＝，

即x＝6时，等号成立，

∴的最小值为24.

18.(12分)若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3<x<1}.

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；

(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?

解　(1)由题意知1－a<0且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，

∴解得a＝3.

∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，

即为2x2－x－3>0，

解得x<－1或x>.

∴所求不等式的解集为

.

(2)由(1)，知ax2＋bx＋3≥0即为3x2＋bx＋3≥0，

若此不等式的解集为R，

则b2－4×3×3≤0，

∴－6≤b≤6.

19.(12分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且不等式ax2＋bx＋c>－2x的解集为(1，3).

(1)若方程ax2＋bx＋c＋6a＝0有两个相等的实根，求y＝ax2＋bx＋c的解析式；

(2)若y＝ax2＋bx＋c的最大值为正数，求实数a的取值范围.

解　(1)∵ax2＋bx＋c＋2x>0的解集为(1，3)，

ax2＋bx＋c＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，

因而y＝a(x－1)(x－3)－2x

＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①

由方程ax2＋bx＋c＋6a＝0，

得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②

因为方程②有两个相等的实根，

所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，

即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.

由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①，

得y＝－x2－x－.

(2)由y＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a－及a<0，

可得y＝ax2＋bx＋c的最大值为－.

由

解得a<－2－或－2＋<a<0.

故当y＝ax2＋bx＋c的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－)∪(－2＋，0).

20.(12分)某公司为了竞标全运会配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了抓住契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？

解　(1)设每件定价为t(t≥25)元，依题意得t≥25×8，

整理得t2－65t＋1 000≤0，

解得25≤t≤40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

(2)依题意得当x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋有解，

等价于当x>25时，a≥＋＋有解.

由于＋≥2＝10，

当且仅当＝，

即x＝30时等号成立，所以a≥10.2.

故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品每件定价为30元.

21.(12分)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋≥6，并确定a，b，c为何值时，等号成立.

证明　因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①

同理＋＋≥＋＋.②

又因为a，b，c均为正数，故a2＋b2＋c2＋

＝a2＋b2＋c2＋＋＋＋＋＋

≥ab＋bc＋ac＋＋＋＝＋＋≥6，③

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，

当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立.故当且仅当a＝b＝c＝时，原不等式等号成立.

所以原不等式成立.

22.(12分)已知不等式>0(a∈R).

(1)解这个关于x的不等式；

(2)若当x＝－a时不等式成立，求a的取值范围.

解　(1)原不等式等价于(ax－1)(x＋1)>0.

①当a＝0时，不等式可化为－(x＋1)>0，解得x<－1.

②当a>0时，不等式可化为(x＋1)>0，

解得x<－1或x>.

③当a<0时，不等式可化为(x＋1)<0.

若<－1，即－1<a<0，则<x<－1；

若＝－1，即a＝－1，

则不等式的解集为空集；

若>－1，即a<－1，则－1<x<.

综上所述，当a<－1时，

不等式的解集为；

当a＝－1时，不等式的解集为∅；

当－1<a<0时，不等式的解集为；

当a＝0时，不等式的解集为(－∞，－1)；

当a>0时，不等式的解集为(－∞，－1)∪.

(2)∵当x＝－a时不等式成立，

∴>0，即－a＋1<0，∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞).