【同步讲义】（苏教版2019）高中数学必修一：第1-3章 阶段测试 讲义

第1-3章阶段测试

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

利用集合的交集运算求解.

【详解】

集合，，

．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.

2．设R，则“＞1”是“＞1”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【详解】

试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件

考点：充分条件与必要条件

3．若，则的值是（          ）

A．-3 B．3 C．-9 D．9

【答案】A

【解析】

【分析】

根据的范围化简根式和绝对值，由此求得表达式的值.

【详解】

依题意，所以，所以.

故选：A.

【点睛】

本小题主要考查根式和绝对值的化简，属于基础题.

4．已知实数，，且，则的最小值为　　

A．9 B． C．5 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

根据条件可得然后利用基本不等式可求出最小值．

【详解】

解：实数，，且，

，

当且仅当，即，时取等号，

的最小值为．

故选：．

【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最值和“1“的代换，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．

5．已知命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0）∪（0，4） B．（0，4）

C．（﹣∞，0]∪[4，+∞） D．[0，4]

【答案】D

【解析】

【分析】

由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题，可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，利用判别式法即可求解．

【详解】

由命题p：∃x0∈R，x02+ax0+a＜0是假命题可知：∀x∈R，x2+ax+a≥0，

∴＝a2﹣4×1×a≤0，解得：a∈[0，4]．

故选：D．

6．设集合，若集合只有两个子集，则实数（       ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【解析】

【分析】

由于集合仅有两个子集，说明集合中元素只要一个，结合一元二次方程的性质，即可求出结果．

【详解】

因为集合只有两个子集，所以集合中元素只要一个，

即方程只有一个解，所以，解得或.

故选：D.

【点睛】

本题考查了一元二次方程与集合相结合的题型；关键是由集合元素的特征得到一元二次方程根的情况，这是解答的关键．

7．已知关于x的不等式（4x﹣3）2≤4ax2的解集中恰有三个整数，则实数a的取值范围是（　　）

A．[，3] B．（2，3] C．（2，] D．

【答案】D

【解析】

【分析】

将不等式变形为，然后分a＝4，a＝0，0＜a＜4，a＞4四种情况，分别求出不等式的解集，分析求解即可．

【详解】

由题意可知，a≥0，则不等式（4x﹣3）2≤4ax2可变形为（4x﹣3）2﹣4ax2≤0，

即，

①当a＝4时，不等式为﹣24x+9≤0，解得x≥，不符合题意；

②当a≠4时，不等式为关于x的一元二次不等式，

若，即a＝0时，不等式的解集为{}，不符合题意；

若，即0＜a＜4时，不等式的解集为，又，

所以如果恰有三个整数，只能是1，2，3，

故，解得；

若，即a＞4时，不等式的解集为或，

不会恰好有三个整数解，不符合题意．

综上所述，实数a的取值范围为．

故选：D．

8．已知，且，满足若对于任意的均有成立，则实数的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由满足结合，得到，再将对于任意的均有成立，转化为对于任意的均有成立，利用基本不等式求解.

【详解】

已知，且，满足

且，

又 ，则 ，

有，即，

因为对于任意的均有成立，

即对于任意的均有成立，

若，取，则，不成立；

所以，则，当且仅当时，等号成立，

所以，解得，

所以实数的最小值是9

故选：D

9．下列函数中最小值为2的是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】

根据基本不等式判断最值．

【详解】

时，，A错；

，，当且仅当，即时等号成立，B正确；

同理，但时，等号才能成立，而无解．故2取不到，C错；

，则，，当且仅当，即时等号成立，D正确．

故选：BD．

【点睛】

易错点睛：基本不等式求最值的解题关键是掌握其三个条件：一正二正三相等．

（1） “一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

10．下列说法正确的是（       ）

A．若，则

B．若，，则

C．若，，则

D．若，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据已知条件，利用作差法和特殊值法，即可求解．

【详解】

解：对于A，令，，满足，但，故A错误，

对于B，∵，，∴，∴，，

∴，即，故B正确，

对于C，令，，，，满足，，但，故C错误，

对于D，∵，，∴，，

∴，即，故D正确．

故选：BD．

11．设集合，，，则下列关系中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

求出集合，再根据集合得特征结合集合得关系及运算即可得出答案.

【详解】

解：，，

中的元素为有序数对，

故，.

故选：BC．

12．已知关于的不等式，下列结论正确的是（       ）

A．当时，不等式的解集为

B．当时，不等式的解集为

C．不等式的解集恰好为，那么

D．不等式的解集恰好为，那么

【答案】ABD

【解析】

对于A，由，得，再由判别式小于零，可得结果；

对于B，把代入中解不等式组可得结果；

对于C，D，不等式的解集恰好为，而，，因此时函数值都是，从而解方程可得的值，进而可判断C，D

【详解】

解：由得，又，所以，从而不等式的解集为，所以A正确；

当时，不等式就是，解集为，当时，就是，解集为，所以B正确；

当的解集为，，即，因此时函数值都是，由当时，函数值为，得，解得或，

当时，由，解得或，不满足，不符合题意，所以C错误；

当时，由，解得或，满足，所以，此时，所以D正确，

故选：ABD

【点睛】

关键点点睛：此题考查一元二次不等式的解法应用，解题的关键是当的解集为时，要先求出，可得，进而得时函数值都是，先将代入求解出的值，再代入可求出的值

13．命题“，”的否定是___________.

【答案】，

【解析】

【分析】

根据含量词的命题的否定规律求命题“，”的否定.

【详解】

命题“，”的否定是“，”，

故答案为：，.

14．设全集是实数集，集合，，若，则实数的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

因为，所以，且，然后再根据集合子集关系列出不等式组，即可求出结果.

【详解】

由题意可知，，；

因为，所以，且，所以且；

所以 ，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了集合之间的基本关系以及并集、子集的运算，属于基础题.

15．已知关于的方程的两个不相等的实数根都大于2，则的取值范围是______________．

【答案】

【解析】

【分析】

由二次函数性质得到解不等式即可.

【详解】

关于的方程的两个不相等的实数根都大于2，

，

解得：

取交集，可得．

故答案为：.

16．若关于的不等式的解集是，则实数__________．

【答案】2

【解析】

【详解】

 因为不等式的解集为，

 所以和是方程的两个根，且，，

 根据方程的根与系数的关系可得，即，

 解得或（舍去）.

 点睛：本题主要考查了一元二次不等式的应用，利用不等式的解集和对应的一元二次方程的根之间的关系，将不等式转化为一元二次方程的根的问题进行解答，明确不等式的解集的端点对应方程的根对应函数的图象与轴交点的横坐标是解答的关键.

17．（1）已知均为正数，，求的最小值；

（2）

（3）已知，求的值．

【答案】（1）9；（2）218；（3）3．

【解析】

【分析】

（1）由，化简得，，利用基本不等式求最值；

（2）利用幂运算的性质化简即可；

（3）由得，再结合立方和公式求解．

【详解】

解：（1）∵，，

∴，

∴

（当且仅当，即时，等号成立），

故的最小值为9；

（2）

（3）∵，

∴，

故

18．已知全集，集合，集合.

(1)当时，求与；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，或

(2)

【解析】

【分析】

（1）先求解一元二次不等式得到集合，代入，得到集合，利用交集运算可得，利用补集运算得到，在利用并集运算可得；

（2）先求解集合时的解，再求解时，根据包含关系得到不等式组，即可求解.

(1)

解：集合，当时，

或，故，或.

(2)

解：由题可知.或，若

①当时，即，符合题意.

②当时，即时

（ⅰ）不符合题意，舍去

（ⅱ）解得，

综上所述，.

19．

(1)对任意，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围；

(2)存在，关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

(1)根据给定条件借助即可求得实数a的取值范围.

(2)根据给定条件分离参数，再利用均值不等式计算即得.

(1)

因对任意，不等式恒成立，则对任意恒成立，

于是得：，解得，

所以实数a的取值范围是.

(2)

当时，，

因存在，不等式有实数解，则存在，不等式成立，

当时，，则，当且仅当，即时取“=”，

于是得，

所以实数a的取值范围是.

20．（1）已知a，b，x，，且，，试比较与的大小．

（2）已知，，且，求证：．

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）直接作差利用不等式的性质比较即可；

（2）利用基本不等式直接求证即可．

【详解】

解：（1）∵a，，且，

∴，

∴

又，，

∴，且，，

∴，即，

∴；

（2）证明：∵，，且，

∴，

当且仅当时等号成立，即得证．

21．不等式的解集是A，关于x的不等式的解集是B.

(1)若时，求；

(2)设命题p：实数x满足，其中；命题q：实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

【答案】(1);

(2).

【解析】

【分析】

（1）时，求出集合，，由此能求出．

（2）利用不等式的解法求解出命题，中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母的不等式，从而求解出的取值范围．

(1)

解：不等式的解集为，关于的不等式的解集为

，

时，，

．

(2)

解：当时，的解集为；

若是的必要不充分条件，

，，则；

故的取值范围是．

22．随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台．每生产台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．

(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；

(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润时多少？

【答案】(1)

(2)年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元

【解析】

【分析】

（1）由已知利润公式列式即可；

（2）分段求最值，然后取最大值即可.

(1)

解：由该产品的年固定成本为300万元，投入成本万元，

且，

当时，，

当时，

所以利润万元关于年产量台的函数解析式.

(2)

解：当时，最大，最大值为1500；

当时，，

当且仅当时，即时，等号成立，

综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元．