新教材苏教版步步高学习笔记【同步学案】章末检测试卷(六)

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章末检测试卷(六)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(4)的值等于(　　)
A. B．2 C．4 D.
答案　D
解析　设幂函数f(x)＝xα，幂函数f(x)的图象经过点，
所以f(2)＝2α＝，解得α＝－1 ，
所以f(x)＝x－1，则f(4)＝4－1＝.
2．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为(　　)
A．(0,1)
B．[0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案　C
解析　由x2－x>0，得x<0或x>1.
3．函数的值域是(　　)
A．(1，＋∞) B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0,1)
答案　B
解析　由题意得x－1≥0，x≥1，
令t＝，则t≥0，y＝t是减函数，

4．某校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份(　　)
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相等
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
答案　A
解析　设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
5．已知，b＝log23，c＝2－0.3，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．b>c>a
答案　D
解析　因为
b＝log23>log22＝1,0 所以b>c>a.
6．已知函数f(x)＝且f(a)＝－3，则f(6－a)等于(　　)
A．－ B．－
C．－ D．－
答案　A
解析　若a≤1，f(a)＝2a－1－2＝－3,2a－1＝－1(无解)；若a>1，f(a)＝－log2(a＋1)＝－3，
解得a＝7.所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－2＝－.
7．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax，g(x)＝loga(x＋2)(a>0，且a≠1)的图象只可能为(　　)


答案　A
解析　由题意，得a>0，函数f(x)＝2－ax为减函数，排除C；若02，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为减函数，排除B；若a>1，函数f(x)＝2－ax与x轴的交点x0＝<2，且函数g(x)＝loga(x＋2)在(－2，＋∞)上为增函数，排除D，故只有选项A满足．
8．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a C．a 答案　B
解析　由f(x)为偶函数，得m＝0，
所以a＝f(log0.53)＝
b＝f(log25)＝－1＝4，c＝f(0)＝2|0|－1＝0，
所以c 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．下列函数中，是奇函数且与x轴有交点的是(　　)
A．y＝x3＋x B．y＝log2x
C．y＝2x2－3 D．y＝x|x|
答案　AD
解析　A中，y＝x3＋x为奇函数，图象过(0,0)点，与题意相符；
B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；
C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；
D中，y＝x|x|是奇函数，且图象过(0,0)点，与题意相符．
10．已知函数f(x)＝ax－x，其中a>0且a≠1，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)是奇函数
B．函数图象过原点
C．函数f(x)的图象过定点(0,1)
D．当a>1时，函数f(x)在其定义域上为增函数
答案　ABD
解析　f(x)＝ax－x＝ax－a－x，定义域为R，
f(－x)＝a－x－ax＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
且f(0)＝0，故选项A，B正确，选项C错误；
a>1,0<<1，y＝ax，y＝－x在R上均为增函数，f(x)在其定义域上为增函数，所以选项D正确．
11．已知函数f(x)＝，g(x)＝，则f(x)，g(x)满足(　　)
A．f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)
B．f(－2) C．f(2x)＝2f(x)g(x)
D．[f(x)]2－[g(x)]2＝1
答案　ABC
解析　f(－x)＝＝－
＝－f(x)，
g(－x)＝＝g(x)，故A正确；
易知f(x)为增函数，则f(－2) g(－2)＝，
g(3)＝，
易得g(3)>g(－2)，故B正确；
2f(x)g(x)＝2×·
＝2×＝f(2x)，故C正确；
[f(x)]2－[g(x)]2＝[f(x)＋g(x)][f(x)－g(x)]＝ex(－e－x)＝－1，
故D错误．
12．已知a>0且a≠1，f(logax)＝，则(　　)
A．f(x)＝(ax－a－x)
B．f(x)在R上是增函数
C．f(x)在R上是减函数
D．若当x∈(－1,1)时，有f(1－m)＋f(1－m2)<0，则m的取值范围为(1，)
答案　ABD
解析　令t＝logax(t∈R)，则x＝at，
∴f(t)＝，
∴f(x)＝(ax－a－x)(x∈R)．
故选项A正确；
当a>1时，ax－a－x为增函数，又>0，
∴f(x)为增函数；
当0 ∴f(x)为增函数．
∴函数f(x)在R上为增函数．
故选项B正确，选项C错误；
∵f(－x)＝(a－x－ax)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数，
又f(1－m)＋f(1－m2)<0，
∴f(1－m) ∵f(x)在(－1,1)上为增函数，
∴，解得1 ∴m的取值范围是(1，)．故选项D正确．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数f(x)＝ax－1＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点P，则P点的坐标是________．
答案　(1,4)
解析　由于函数y＝ax恒过(0,1)，而y＝ax－1＋3的图象可看作是由y＝ax的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，则P点坐标为(1,4)．
14．若指数函数f(x)＝ax(a>1)在区间[0,2]上的最大值与最小值之和为10，则a的值为________．
答案　3
解析　因为当a>1时，指数函数f(x)＝ax为增函数，
则在区间[0,2]上，
f(x)max＝a2，f(x)min＝a0＝1，
又指数函数f(x)＝ax(a>1)在区间[0,2]上的最大值与最小值之和为10，
则a2＋1＝10，即a2＝9，又a>1，即a＝3.
15．若函数f(x)满足：(1)对于任意实数x1，x2，当0 答案　log2x
解析　对于任意实数x1，x2，当0 又对数函数满足运算性质f ＝f(x1)－f(x2)，故可选一个为增函数的对数函数f(x)＝logax(a>1)．
16．已知函数f(x)＝ln x2－，则满足不等式>1的x的取值范围是____________．
答案　∪(3，＋∞)
解析　函数f(x)＝ln x2－的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝ln(－x)2－
＝ln x2－＝f(x)，
则该函数为偶函数，
因为函数y1＝ln x2在区间(0，＋∞)上为增函数，
函数y＝在区间(0，＋∞)上为减函数，
所以函数f(x)＝ln x2－在区间(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝1，
若>1，即>f(1)，
即>f(1)，可得>1，
可得>1或<－1，
解得03.
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)设函数f(x)是定义在[－1,1]上的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)＝loga(2－x)(a>1)．求f(x)的表达式．
解　设－1≤x<0，则0<－x≤1，
则f(－x)＝loga(2＋x)．
又∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝loga(2＋x)，－1≤x<0.
∴f(x)＝
18．(12分)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)是函数f(x)图象上的点时，点是函数g(x)图象上的点．
(1)写出函数g(x)的表达式；
(2)当2g(x)－f(x)≥0时，求x的取值范围．
解　(1)令x′＝，y′＝，
则x＝3x′，y＝2y′，
把x＝3x′，y＝2y′代入f(x)＝log2(x＋1)，
得y′＝log2(3x′＋1)，
∴g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)2g(x)－f(x)≥0，
即log2(3x＋1)－log2(x＋1)≥0，
∴解得x≥0，
故x的取值范围为[0，＋∞)．
19．(12分)求函数y＝－log2的最小值．
解　令t＝3x，由
得0<3x<1，即0 原函数y＝－log2
＝－log2(1－t)－log2
＝－log2
＝－log2.
又∵t∈(0,1)，∴0<－2＋≤.
又∵函数y＝log2x为增函数，
∴y＝－log2≥－log2＝2log23－2.
∴当t＝，即x＝－1时，ymin＝2log23－2.
故当x＝－1时，函数有最小值，为2log23－2.
20．(12分)已知函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且g(x)的图象过点.
(1)求f(x)与g(x)的解析式；
(2)比较f(0.3)，g(0.2)与g(1.5)的大小．
解　(1)因为函数g(x)是f(x)＝ax(a>0且a≠1)的反函数，所以g(x)＝logax(a>0且a≠1)．
因为g(x)的图象过点，
所以loga2＝，所以＝2，解得a＝2.
所以f(x)＝2x，g(x)＝log2x.
(2)因为f(0.3)＝20.3>20＝1，
g(0.2)＝log20.2<0，
g(1.5)＝log21.5 且g(1.5)＝log21.5>log21＝0，
所以0 所以f(0.3)>g(1.5)>g(0.2)．
21．(12分)攀枝花是一座资源富集的城市，矿产资源储量巨大，已发现矿种76种，探明储量39种，其中钒、钛资源储量分别占全国的63%和93%，占全球的11%和35%，因此其素有“钒钛之都”的美称．攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料，由大数据测得该产品的性能指标值y(y值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量x(单位：克)的关系为：当0≤x<7时，y是x的二次函数；当x≥7时，y＝x－m.测得部分数据如表：

x(单位：克)
0
2
6
10
…
y
－4
8
8

…

(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；
(2)求该新合金材料的含量x为何值时产品的性能达到最佳．
解　(1)由题意知，当0≤x<7时，y是x的二次函数，
可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由x＝0，y＝－4可得c＝－4；
由x＝2，y＝8，得4a＋2b＝12；①
由x＝6，y＝8，可得36a＋6b＝12，②
联立①②解得a＝－1，b＝8，
即有y＝－x2＋8x－4；
当x≥7时，y＝x－m，
由x＝10，y＝，可得m＝8，即有y＝x－8.
综上可得y＝
(2)当0≤x<7时，
y＝－x2＋8x－4＝－(x－4)2＋12，
当x＝4时，y取得最大值12；
当x≥7时，y＝x－8为减函数，可得y≤3，
当x＝7时，取得最大值3.
综上可得当x＝4时产品的性能达到最佳．
22．(12分)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)证明：f(x)在R上为减函数；
(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
(1)解　因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，得b＝1.
又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.
经检验a＝1，b＝1符合题意．
(2)证明　任取x1，x2∈R，且x1 则f(x1)－f(x2)＝


因为x1 又因为
所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)为R上的减函数．
(3)解　因为t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，
所以f(t2－2t)<－f(2t2－k)．
因为f(x)为奇函数，所以f(t2－2t) 因为f(x)为R上的减函数，
所以t2－2t>k－2t2，
即k<3t2－2t恒成立，
而3t2－2t＝32－≥－.
所以k的取值范围是k<－.