章末复习提升

要点一　集合的基本概念

与集合中的元素有关的问题的求解策略

(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集.

(2)看这些元素满足什么限制条件.

(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性.

例1 (1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素的个数是(　　)

A.4   B.5 

C.6   D.7

(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　)

A.1   B.3 

C.5   D.9

答案　(1)C　(2)C

解析　(1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素，故选C.

(2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.

训练1 已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)

A.9   B.8 

C.5   D.4

答案　A

解析　将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部都列举出来即(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，－1)，(1，0)，(1，1)共有9个.

要点二　集合的基本关系

集合与集合之间的关系是包含和相等的关系，判断两集合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素.由集合之间的关系求参数问题，常需分情况讨论，要注意空集情况.

例2 已知集合A＝{x|－2＜x＜5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}.

(1)若B⊆A，求实数m的取值范围；

(2)若x∈Z，求A的非空真子集个数.

解　(1)∵B⊆A，∴分两种情况：①B≠∅，

如图所示：

∴即

∴2≤m＜3.

②B＝∅.由m＋1>2m－1得m<2.

综上m＜3，

即实数m的取值范围为(－∞，3).

(2)∵x∈Z，∴A＝{－1，0，1，2，3，4}.

则A的非空真子集个数为26－2＝62.

训练2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A.1   B.2 

C.3   D.4

(2)设A＝{(x，y)||x＋1|＋(y－2)2＝0}，B＝{－1，2}，则必有(　　)

A.BA   B.AB

C.A＝B   D.A∩B＝∅

答案　(1)D　(2)D

解析　(1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，∴A＝{1，2}.由题意知B＝{1，2，3，4}，∴满足条件的C可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}.

(2)A＝{(x，y)||x＋1|＋(y－2)2＝0}＝{(－1，2)}，是点集，而B＝{－1，2}是数集，∴A∩B＝∅.

要点三　集合的运算

集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误.不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏.

例3 已知集合U＝{x|－5≤x≤4}，M＝{x|－2≤x<3}，∁UN＝{x|－3<x≤1}.

求：(1)集合N；

(2)集合N∩(∁UM)；

(3)集合M∩N，M∪N.

解　借助数轴可得

(1)

∴N＝{x|－5≤x≤－3，或1<x≤4}.

(2)∵M＝{x|－2≤x<3}，

∴∁UM＝{x|－5≤x<－2，或3≤x≤4}.

N∩(∁UM)＝{x|－5≤x≤－3，或3≤x≤4}.

(3)M∩N＝{x|1<x<3}，

M∪N＝{x|－5≤x≤－3，或－2≤x≤4}.

训练3 已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}.

(1)求A∪B，(∁RA)∩B；

(2)若A∩C≠∅，求实数a的取值范围.

解　(1)因为A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，所以A∪B＝{x|2≤x<10}，

∁RA＝{x|x<2或x≥7}，

则(∁RA)∩B＝{x|7≤x<10}.

(2)因为A＝{x|2≤x<7}，

C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，

所以a>2，所以实数a的取值范围是{a|a>2}.