（新）苏教版高中数学必修第一册章末综合测评4　指数与对数（含解析）

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第一册本册综合优秀综合训练题，共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

章末综合测评(四) 指数与对数


(满分：150分 时间：120分钟)


一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)


1．将eq \r(3,－2\r(2))化为分数指数幂，其形式是( )


A．2eq \s\up12(eq \f(1,2)) B．－2eq \s\up12(eq \f(1,2))


C．2eq \s\up12(－eq \f(1,2)) D．－2eq \s\up12(－eq \f(1,2))


B [eq \r(3,－2\r(2))＝(－2eq \r(2))eq \s\up12(eq \f(1,3))＝(－2×2eq \s\up12(eq \f(1,2)))eq \s\up12(eq \f(1,3))＝eq \s\up12(eq \f(1,3))＝－2eq \s\up12(eq \f(1,2))．故选B．]


2．若lga2 b＝c，则( )


A．a2b＝c B．a2c＝b


C．bc＝2a D．c2a＝b


B [lga2 b＝c⇔(a2)c＝b⇔a2c＝b．故选B．]


3．计算9eq \s\up12(－eq \f(3,2))的结果是( )


A．eq \f(1,27) B．18


C．36 D．eq \f(1,36)


A [9eq \s\up12(－eq \f(3,2))＝(32)eq \s\up12(－eq \f(3,2))＝3－3＝eq \f(1,27)，故选A．]


4．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是( )


A．－eq \r(x)＝(－x)eq \s\up12(eq \f(1,2)) (x≥0) B．eq \r(6,x2)＝xeq \s\up12(eq \f(1,3)) (x≤0)


C．xeq \s\up12(－eq \f(3,4))＝eq \r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))eq \s\up12(3))(x>0) D．xeq \s\up12(－eq \f(1,3))＝－eq \r(3,x)(x≠0)


C [－eq \r(x)＝－xeq \s\up12(eq \f(1,2)) (x≥0)，故A错，eq \r(6,x2)＝－xeq \s\up12(eq \f(1,3)) (x≤0)，故B错，xeq \s\up12(－eq \f(1,3))＝eq \r(3,\f(1,x))(x≠0)，故D错，故选C．]


5．若lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，则x的值等于( )


A．1 B．0或eq \f(1,8)


C．eq \f(1,8) D．lg23


D [ 因为lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，∴2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0,2x＝3，x＝lg23．故选D．]


6．下列各式中成立的是( )


A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n,m)))eq eq \s\up12(7)＝n7meq \s\up12(eq \f(1,7)) B．eq \r(12,－34)＝eq \r(3,－3)


C．eq \r(4,x3＋y3)＝(x＋y)eq \s\up12(eq \f(3,4)) D．eq \r(\r(3,9))＝eq \r(3,3)


D [eq \r(\r(3,9))＝(9eq \s\up12(eq \f(1,3)))eq \s\up12(eq \f(1,2))＝9eq \s\up12(eq \f(1,6))＝3eq \s\up12(eq \f(1,3))＝eq \r(3,3)，故选D．]


7．已知lga eq \f(1,2)＝m，lga3＝n，则am＋2n等于( )


A．3 B．eq \f(3,4)


C．9 D．eq \f(9,2)


D [由已知得am＝eq \f(1,2)，an＝3，所以am＋2n＝am×a2n＝am×(an)2＝eq \f(1,2)×32＝eq \f(9,2)．故选D．]


8．已知2lga(M－2N)＝lgaM＋lgaN，则eq \f(M,N)的值为( )


A．eq \f(1,4) B．4


C．1 D．4或1


B [因为2lga(M－2N)＝lgaM＋lgaN，所以lga(M－2N)2＝lga(MN)，(M－2N)2＝MN，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(M,N)))eq \s\up12(2)－5eq \f(M,N)＋4＝0，解得eq \f(M,N)＝1(舍去)，eq \f(M,N)＝4，故选B．]


二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)


9．对于下列说法，其中错误说法为( )


A．零和负数没有对数


B．任何一个指数式都可以化成对数式


C．以10为底的对数叫做自然对数


D．以e为底的对数叫做常用对数


BCD [只有符合a>0，且a≠1，N>0，才有ax＝N⇔x＝lgaN，故B错误．由定义可知CD错误．只有A正确．故选BCD．]


10．下列运算正确的是( )


A．eq \r(4,a4)＝a B．lg2a2＝2lg2a


C．eq \r(3,－a3)＝－a D．(lg29)·(lg34)＝4


CD [当a<0时，AB不成立，对于C显然成立，由换底公式得[(lg29)·(lg34)＝eq \f(lg 9,lg 2)×eq \f(lg 4,lg 3)＝eq \f(2lg 3,lg 2)×eq \f(2lg 2,lg 3)＝4．所以D正确，应选CD．]


11．已知a＝2ln 3，b＝3ln 2，则下列判断正确的是( )


A．a≥b B．a≤b


C．a＝b D．无法比较它们的大小


ABC [因为a＝2ln 3，b＝3ln 2，所以ln a＝ln 2ln 3＝ln 3ln 2，ln b＝ln 3ln 2＝ln 2ln 3．所以ln a＝ln b，即a＝b，所以选ABC．]


12．下列命题中，真命题是( )


A．若lg189＝a，lg1854＝b，则182a－b＝eq \f(3,2)


B．若lgx27＝3(lg318－lg32)，则x＝±eq \r(3)


C．若lg6[lg3(lg2x)]＝0，则xeq \s\up12(－eq \f(1,2))＝eq \f(\r(2),4)


D．若x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则lgx(yx)＝0


ACD [对于A，因为lg189＝a，lg1854＝b，所以18a＝9,18b＝54，


所以182a－b＝eq \f(182a,18b)＝eq \f(92,54)＝eq \f(3,2)．即A正确；


对于B，lgx27＝3(1＋lg32)＝3·3lg32＝3×2＝6．


所以x6＝27，所以x6＝33，又x＞0，所以x＝eq \r(3)．即B错误；


对于C，由题意得：lg3(lg2x)＝1，即lg2x＝3，


转化为指数式为x＝23＝8，





对于D，由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝0，所以x＝2，y＝1，


所以lgx(yx)＝lg2(12)＝0，即D正确．]


三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)


13．10lg 2－ln e＝ ．


eq \f(1,5) [ln e＝1，所以原式＝10lg 2－1＝10lg 2×10－1＝2×eq \f(1,10)＝eq \f(1,5)．]


14．若10x＝2,10y＝3，则10eq \s\up12(eq \f(3x－4y,2))＝ ．





15．若lg(x－1)(3－x)有意义，则x的取值范围是 ．


(1,2)∪(2,3) [由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,x－1>0，,x－1≠1.))解得1

16．若 eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0，则x＝ ，(x2 020)y＝ ．(本题第一空2分，第二空3分)


－1 1 [因为eq \r(x2＋2x＋1)＋eq \r(y2＋6y＋9)＝0, 所以eq \r(x＋12)＋eq \r(y＋32)＝|x＋1|＋|y＋3|＝0，


所以x＝－1，y＝－3．所以(x2 020)y＝[(－1)2 020]－3＝1－3＝1．]


四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)


17．(本小题满分10分)(1)已知3a＝5b＝15，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的值．


(2)设10a＝2，lg 3＝b，用a，b表示lg26．


[解] (1)∵3a＝5b＝15，∴a＝lg315，b＝lg515，


∴eq \f(1,a)＝lg153，eq \f(1,b)＝lg15 5，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝lg1515＝1．


(2)∵10a＝2，∴lg 2＝a，


∴lg26＝eq \f(lg 6,lg 2)＝eq \f(lg 2＋lg 3,lg 2)＝eq \f(a＋b,a)．


18．(本小题满分12分)(1)化简：lg4(24×642)＋lg318－lg32＋lg52×lg2125；


(2)已知a＝2eq \r(7)，b＝5eq \r(2)，求eq \f(a6b－6－9b4,\r(a6b－6－6a3b－1＋9b4))·eq \f(b5,a3＋3b5)的值．


[解] (1)原式＝lg4(42×46)＋lg3eq \f(18,2)＋lg5125＝8＋2＋3＝13．


(2)a6b－6－6a3b－1＋9b4＝(a3b－3－3b2)2，


由a＝2eq \r(7)，b＝5eq \r(2)，得a3b－3<3b2．


∴原式＝eq \f(a3b－3－3b2a3b－3＋3b2,3b2－a3b－3)·eq \f(b5,a3＋3b5)


＝－eq \f(a3b－3＋3b2b5,a3＋3b5)


＝－eq \f(a3＋3b5b2,a3＋3b5)


＝－b2．


∵b＝5eq \r(2)，故原式＝－50．


19．(本小题满分12分)(1)求64eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,125)))eq \s\up12(－eq \f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9) ))eq \s\up12(0.5)的值；


(2)若lg23＝x，求eq \f(4x－4－x,2x－2－x)的值．


[解] (1)64eq \s\up12(eq \f(2,3))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,125)))eq \s\up12(－eq \f(1,3))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\f(7,9) ))eq \s\up12(0.5)＝16＋eq \f(5,3)－eq \f(5,3)＝16．


(2)若x＝lg23，则2x＝3,2－x＝eq \f(1,3)，


所以eq \f(4x－4－x,2x－2－x)＝eq \f(2x＋2－x2x－2－x,2x－2－x)＝2x＋2－x＝3＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)．


20．(本小题满分12分) 求下列各式中x的值：


(1)lg3(lg2x)＝0；


(2)lg2(lg x)＝1；


(3)5eq \s\up12(2－lg53)＝x；


(4) (aeq \s\up12(lga b))eq \s\up12(lgb) c＝x(a>0，b>0，c>0，a≠1，b≠1)．


[解] (1)∵lg3(lg2x)＝0，∴lg2x＝1．∴x＝21＝2．


(2)∵lg2(lg x)＝1，∴lg x＝2．∴x＝102＝100．





21．(本小题满分12分) 设M＝{0,1}，N＝{lg a,2a，a,11－a}，是否存在实数a，使M∩N＝{1}?


[解] 不存在实数a，使M∩N＝{1}．理由如下：


若lg a＝1，


则a＝10，此时11－a＝1，


从而11－a＝lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾；


若2a＝1，则a＝0，此时lg a无意义；


若a＝1，此时lg a＝0，从而M∩N＝{0,1}，与条件不符；


若11－a＝1，则a＝10，从而lg a＝1，与集合元素的互异性矛盾．


综上，不存在实数a，使M∩N＝{1}．


22．(本小题满分12分)设a＝2×1 000eq \s\up12(eq \f(2,3))＋64eq \s\up12(eq \f(2,3))＋eq \r(－22)．


(1)化简上式，求a的值；


(2)设集合A＝{x|x>a}，全集为R，B＝(∁RA)∩N，求集合B中的元素个数．


[解] (1)原式＝2×1 000eq \s\up12(eq \f(2,3))＋64eq \s\up12(eq \f(2,3))＋2 ＝2×100＋16＋2＝218．


(2)A＝{x|x>218}，∁RA＝{x|x≤218}，B＝{x|0≤x≤218，x∈N}，


所以B中元素个数为219．