高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直课堂教学课件ppt

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直线与平面垂直是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间直线与直线垂直位置关系的拓展，又是平面与平面垂直的基础，是空间垂直关系转化的核心，具有承上启下的作用． 首先，让我们来认识一下什么是直线与平面垂直．
日常生活中，直线与平面垂直的例子有很多． 比如，广场上的旗杆与地面的位置关系．
大桥的桥墩与海面的位置关系．
相邻墙面的交线与地面，门轴所在直线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．
那么，究竟该怎样定义直线与平面垂直呢？让我们来看一个实际例子．
如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC．随时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆AB所在直线与影子BC所在直线是否保持垂直呢？
事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断变化，但是旗杆AB所在直线始终与影子BC所在直线垂直．也就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一条过点B的直线都垂直．
　一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
直线l叫做平面α的垂线．平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
思考： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．若将这一结论推广到空间，那么过一点垂直于已知平面的直线有几条呢？为什么呢？
通过直观观察，我们可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．如图所示：
棱锥的高---- 就是顶点到底面的距离．
算一算： 若棱锥P-ABC的体积是18，底面ABC面积为9，那么顶点P到底面ABC的距离为______．
　　同学们，现在我们得到了直线和平面垂直的概念，那么，如何判断直线与平面垂直呢？ 依据定义可以判断吗？
　　依据定义，你怎样验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直呢？ 　　你还有其他的方法吗？
通过实验操作，我们不难发现，AD所在直线与桌面所在平面垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高． 这个时候，由于翻折后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD，DC都是垂直的．
　　由基本事实的推论2，平面α可以看成由两条相交直线BD，DC所唯一确定，所以当直线AD垂直于这两条相交直线时，就能保证直线AD与α内所有直线都垂直．
　　同学们，通过这个实验，结合图形，你能否总结一下：当一条直线满足什么条件时，可以判断它与某个平面是垂直的？
线面垂直与线线垂直具有怎样的关系呢？
由判定定理可知，直线与直线垂直可以得到直线与平面垂直，而由线面垂直定义，直线与平面垂直又可得到直线与直线垂直，所以说，线线垂直与线面垂直是可以相互转化的．
思考： 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？ 你能从向量的角度解释一下原因吗？
改为“两条平行直线”不可以． 由平面向量基本定理可知，对于平面内的任意一个向量，可由不共线的两个向量唯一表示． 因此，如果一条直线与一个平面内的两条平行直线垂直，那么无法保证该直线与此平面的所有直线都垂直，如图所示，直线与平面可能垂直，也可能不垂直．
“无数条直线”不等同于“任意一条直线”． 若“无数条直线”彼此相互平行，则也无法判定直线是否与该平面垂直．如图所示：
如果改为“无数条直线”可不可以呢？
若一条直线与三角形的两边同时垂直，则这条直线与三角形第三边的位置关系是（ ）　A. 平行　　　　　　　　B. 垂直　C. 相交但不垂直　　　　D. 不确定
　　由直线与平面垂直的判定定理知，该直线与三角形所在平面垂直，进而与三角形第三边垂直，所以答案为B，同学们选对了吗？
想一想 某旗杆高24m，在它的顶端系两条长26m的绳子，拉紧绳子并把它们固定在地面上两点（两点与旗杆脚不共线），请问这两点与旗杆距离多少米时，旗杆与地面垂直？
例题 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
例题 已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α．
分析：要证明直线b⊥α，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面α内的两条相交直线即可．
你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？
证明：在平面α内任取一条直线m． ∵ 直线a⊥α，　　　　　　　　 ∴ a⊥m． ∵ b//a， ∴ b⊥m． ∵ m是平面α内任意一条直线，　　∴ b⊥α．
练习 设 l，m，n均为直线，其中m，n 在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m”且“l⊥n”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
练习 在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC，K是AC的中点．求证：AC⊥平面VKB．
分析：要证AC⊥平面VKB， 由线面垂直判定定理可知， 只需证明AC垂直平面VKB内 两条相交直线．
证明：∵ VA=VC， ∴ △VAC是等腰三角形． ∵ K是AC的中点， ∴ VK⊥AC．　　　　　 又 ∵ BA=BC， ∴ BK⊥AC．　　　∵ 　　　　　，　　　　　 　　　∴ AC⊥平面VKB．
练习 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足什么条件时，A1C⊥B1D1？
研究空间中两条直线的垂直关系，通常借助线面垂直关系，所以本题考虑研究直线B1D1与平面A1CC1垂直．
解：当AC⊥BD时，A1C⊥B1D1，理由如下： 　直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， 　∵ BB1//DD1，且BB1=DD1， 　 ∴ 四边形BB1D1D是平行四边形．　　∴ B1D1//BD． 同理，A1C1//AC． ∵ AC⊥BD， ∴ B1D1⊥A1C1．
练习 如图，在三棱锥P-ABC中，CD⊥AB，垂足为D．PO⊥底面ABC，垂足为O，且O在CD上，求证：AB⊥PC．
思路：要证AB⊥PC ， 只需证AB⊥平面POC．
证明：∵ PO⊥底面ABC，　　　且AB 底面ABC，由线面垂直定义， ∴ PO⊥AB．　　　∵ CD⊥AB，且 ，　　　由线面垂直判定定理，　　　∴ AB⊥平面POC．　　　∵ PC 平面POC， ∴ AB⊥PC．
直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，当直线与平面相交但不垂直时，不同的直线与平面相交，情况也是不同的，　　那么，如何刻画这种不同情况呢？
我们知道，角度，常用来刻画几何对象的相对位置，前面我们学习了异面直线成角，刻画了异面直线的相对位置，类似地，直线与平面所成的角该如何定义呢？让我们来研究一下．
如图，当一条直线l与一个平面α相交，但不与这个平面垂直时，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．
　　那么，直线与平面所成的角怎么定义呢？
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
例如，正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B在平面AC上的射影为AB，故A1B与平面AC所成的角为∠A1BA；A1C在平面AC上的射影为AC，故A1C与平面AC所成的角为∠A1CA．
　　同学们可以仿照着再举出几个线面角的例子，加深对线面角的认识．
请同学们观察图形，随着直线 l 的变化，你能说出直线与平面所 成角的范围吗？
当直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；当直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°．
比较两个角的大小关系，一般地，我们把角放到三角形中，利用三角函数值的大小关系比较角的大小，所以我们这样来研究，由O向直线AB作垂线，垂足记作B， 连接PB． 想一想，AB⊥PB吗？
例题 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
分析：要求直线A1B和平面A1DCB1所成的角，关键先找到直线A1B在平面A1DCB1上的射影，而要找射影，需要先找到平面的垂线．
， ， ．
为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．
练习 判断：如果两条直线和一个平面所成的角相等，那么这两条直线一定平行吗？
不一定，可能平行、可能相交、也可能异面．
练习 正三棱锥A-OBC中，∠AOB=∠BOC=∠COA=60°， 求直线OA与平面OBC所成角的余弦值．
分析：要求直线OA和平面OBC所成角的余弦值，关键要找到直线OA在平面OBC上的射影．
解：由点A向底面OBC作垂线，垂足为D，连接OD．则直线OD为直线OA在底面OBC上的射影，∠AOD为直线OA与平面OBC所成的角．∵ ∠AOB=∠BOC=∠COA=60°，∴ 正三棱锥A-OBC的各棱长都相等， 不妨设为a．
作业2 本节课，你觉得哪个知识最重要，它有什么作用，需要注意的关键是什么？