高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第2课时课后练习题

课后素养落实(十八)　均值不等式的应用

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若a＞1，则a＋的最小值是(　　)

A．2　 B．a　　　　

C．　　　　 D．3

D　[∵a＞1，∴a－1＞0，∴a＋＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.当且仅当a－1＝时，即a＝2时取等号．故选D．]

2．已知x＜0，则y＝x＋－2有(　　)

A．最大值为0 B．最小值为0

C．最大值为－4 D．最小值为－4

C　[∵x<0，∴－x＞0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．故选C．]

3．设x＞0，则y＝的最大值是(　　)

A．3 B．－3

C．3－2 D．－1

C　[∵x＞0，∴y＝3－≤3－2＝3－2，当且仅当3x＝，且x＞0，即x＝时，等号成立．故选C．]

4．m＞0，n＞0，＋＝1，则m＋n(　　)

A．有最大值，最大值为6

B．有最大值，最大值为9

C．有最小值，最小值为6

D．有最小值，最小值为9

D　[因为m＋n＝(m＋n)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时等号成立，所以m＋n的最小值为9.]

5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为(　　)

A．16 B．25

C．9 D．36

B　[(1＋x)(1＋y)≤

＝＝＝25，

当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，

(1＋x)(1＋y)取最大值25，故选B．]

二、填空题

6．如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.

56　[设阴影部分的竖边长为x dm，则宽为 dm，四周空白部分的面积是y dm2.

由题意，得y＝(x＋4)－72

＝8＋2≥8＋2×2＝56(dm2)．

当且仅当x＝，

即x＝12 dm时等号成立．]

7．若m＞0，n＞0，m＋n＝1且＋(t＞0)的最小值为9，则t＝________.

4　[因为＋＝(m＋n)＝t＋1＋＋≥t＋1＋2＝(＋1)2，所以最小值为(＋1)2＝9，取等号时tn2＝m2，所以 ＝2，即t＝4.]

8．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．

[6，＋∞)　[∵a＋b＋3＝ab≤，

∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去)，当且仅当a＝b＝3时取等号．]

三、解答题

9．当x<时，求函数y＝x＋的最大值．

[解]　y＝(2x－3)＋＋

＝－＋，

∵当x<时，3－2x>0，

∴＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝－时取等号．于是y≤－4＋＝－，故函数有最大值－.

10．为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：6x＋－118(千元)，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)

[解]　设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得

y＝2x－＝118－

＝118－

＝130－

≤130－2＝130－112＝18(千元)，

当且仅当4(x＋3)＝，即x＝11时取等号．

所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．

1．若－4<x<1，则y＝(　　)

A．有最小值1　　　　 B．有最大值1

C．有最小值－1 D．有最大值－1

D　[y＝＝，

又∵－4<x<1，∴x－1<0.∴－(x－1)>0.

故y＝－≤－1．

当且仅当x－1＝，即x＝0时等号成立．故选D．]

2．(多选题)设a＋b＝2(a＞0，b＞0)，则＋取最小值时下列结论正确的是(　　)

A．a＝ B．ab＝1

C．＋＝ D．＋＝

AC　[因为a＋b＝2，

所以＋＝＋＝＋＝＋＋≥＋2＝.

当且仅当＝，即b2＝4a2时等号成立．

又因为a＞0，b＞0，a＋b＝2，所以解得a＝，b＝，

所以＋的最小值为.]

3．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，则这两个数分别为________．

4,12　[设＋＝1，a，b∈N*，

∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)

＝1＋9＋＋

≥10＋2

＝10＋2×3＝16，

当且仅当＝，即b＝3a时等号成立．

又＋＝1，∴＋＝1，∴a＝4，b＝12.

这两个数分别是4,12.]

4．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是

________.

　[x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1，∴(x＋y)2＝xy＋1≤＋1，∴(x＋y)2≤1．

∴－≤x＋y≤，故x＋y的最大值为，当且仅当x＝y＝时等号成立．]

某种商品原来每件的定价为25元，年销售量为8万件．

(1)据市场调查，若每件的定价每提高1元，年销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件的定价最高为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少为多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．

[解]　(1)设每件商品的定价为m元．

依题意，有m≥25×8，

整理，得m2－65m＋1 000≤0，解得25≤m≤40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件商品的定价最高为40元．

(2)设明年的销售量为a万件．

依题意，当x＞25时，ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x，即当x＞25时，a≥＋x＋，

因为＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，所以a≥10.2.

所以当该商品明年的销售量至少为10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时每件商品的定价为30元.