高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用第1课时课后作业题

课后素养落实(十七)　均值不等式

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是(　　)

A．s≥t B．s>t

C．s≤t D．s<t

A　[∵b2＋1≥2b，∴a＋2b≤a＋b2＋1．]

2．下列不等式中正确的是(　　)

A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab

C．≥ D．x2＋≥2

D　[若a＜0，则a＋≥4不成立，故A错；取a＝1，b＝1，则a2＋b2＜4ab，故B错；取a＝4，b＝16，则＜，故C错；由均值不等式可知D项正确．]

3．已知a>0，b>0，则下列不等式中错误的是(　　)

A．ab≤ B．ab≤

C．≥ D．≤

D　[由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥得，ab≤，∴≥，故选D．]

4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是(　　)

A．a＞b＞＞ 

B．a＞＞＞b

C．a＞＞b＞

D．a＞＞＞b

B　[a＝＞＞＞＝b，因此只有B项正确．]

5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．＞ B．＋≤1

C．≥2 D．≤

D　[由≤＝2得ab≤4，∴≥，故A错；

B中，＋＝＝≥1，故B错；

由a＋b＝4，得≤＝＝2，故C错；

由≥得a2＋b2≥2×＝8，

∴≤，D正确．]

二、填空题

6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________．

≤　[∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴≤＝.]

7．已知函数y＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.

36　[y＝4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，此时y取得最小值4.又由已知x＝3时，ymin＝4，∴＝3，即a＝36.]

8．若a＞0，b＞0，且M＝，G＝，H＝，则M，G，H的大小关系为________．

H≥M≥G　[因为a＞0，b＞0，所以有≥(当且仅当a＝b时取等号)，因此有M≥G.

a2＋b2≥2ab⇒a2＋b2＋a2＋b2≥2ab＋a2＋b2⇒a2＋b2≥⇒≥(当且仅当a＝b时取等号)，因为a＞0，b＞0，所以有≥，因此有H≥M.]

三、解答题

9．已知a，b为正实数，且a＋b＝1．求证：＋≥4.

[证明]　由题意a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋＝＋＝1＋＋＋1

＝2＋＋≥2＋2＝4.

当且仅当a＝b时“＝”成立．

10．已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3.

[证明]　左边＝＋－1＋＋－1＋＋－1

＝＋＋－3.

∵a，b，c为正数，

∴＋≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)，

＋≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)，

＋≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．

从而＋＋≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．

∴＋＋－3≥3，

即＋＋≥3.

1．下列不等式一定成立的是(　　)

A．x＋≥2　　　　　 B．≥

C．≥2 D．2－3x－≥2

B　[A项中，当x<0时，x＋<0<2，∴A错误．

B项中，＝≥，∴B正确．

C项中，当x＝0时，＝<2，显然选项C不正确．

D项中，取x＝1,2－3x－<2，∴D错误．]

2．(多选题)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)

A．ab＞1 B．ab＜1

C．＜1 D．＞1

BD　[因为ab≤，a≠b，所以ab＜1，

又1＝＝＜，

所以＞1，所以ab＜1＜.]

3．已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．

3　2　[因为x＞0，y＞0且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．]

4．设a，b为非零实数，给出不等式：

①≥ab；②≥；③≥；

④＋≥2.

其中恒成立的不等式是________．

①②　[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知①正确；

②＝

＝≥

＝＝，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]

已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞＋＋.

[证明]　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴≥，≥，≥，∴＋＋≥＋＋，即a＋b＋c≥＋＋.

由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，

∴a＋b＋c＞＋＋.