人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用教课内容课件ppt

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用教课内容课件ppt，文件包含第二课时函数奇偶性的应用pptx、第二课时函数奇偶性的应用doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共57页， 欢迎下载使用。

1.掌握函数奇偶性的简单应用.2.了解函数图像的对称轴、对称中心满足的条件.
1.通过函数奇偶性的应用，熟悉转化、对称等思考方法，提升逻辑推理素养.2.通过函数图像的对称轴、对称中心条件，提升直观想象和数学抽象素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、函数的单调性与奇偶性1.思考　从两个偶函数的图像中，能否找出偶函数的图像在对称区间上单调性的关系吗？
提示　偶函数的图像在对称区间上的单调性相反.
2.填空　(1)若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a温馨提醒　(1)上述结论可简记为“奇同偶异”.(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.
3.做一做　(1)若定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则f(3)，f(4)，f(－π)的大小关系为________________.
f(3)(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x－x2，则当x>0时，f(x)＝________.
二、奇、偶函数的运算性质及对称问题1.思考　函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)·g(x)的奇偶性是怎样的？　提示　依题意得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－[f(x)·g(x)]，所以f(x)g(x)是奇函数.
2.填空　(1)奇偶函数的运算性质在公共定义域内：①两个奇函数的和函数是________，两个奇函数的积函数是________；②两个偶函数的和函数、积函数都是________；③一个奇函数、一个偶函数的积函数是________.(2)函数的对称轴与对称中心①若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＝f(a－x)(a为常数)，则x＝____是f(x)的对称轴.②若函数f(x)的定义域为D，对∀x∈D都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b(a，b为常数)，则____________是f(x)的对称中心.
温馨提醒　奇、偶函数的运算性质及复合函数的奇偶性设f(x)，g(x)有公共的定义域，则有下列结论：
(1)若f(x)是偶函数，则f(x)＝f(－x)＝f(|x|).( )
(3)若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上有最小值－M.( )(4)若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像关于y轴对称，则f(x)，g(x)是偶函数.( )提示　不一定是偶函数，因为只有自身的图像关于y轴对称的函数才是偶函数.(5)若偶函数y＝f(x)的图像关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝3.( )
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
角度1　求对称区间上的解析式
题型一　利用奇偶性求函数解析式
例1 (1)已知函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________.
解析　设任意x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1).因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).
(2)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1，则当x<0时，f(x)＝______________.
解析　设任意x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，即当x<0时，f(x)＝2x2＋3x－1.
角度2　构造方程组求解析式
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
已知函数f(x)的奇偶性及函数f(x)在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法如下：(1)求哪个区间上的解析式，x就设在那个区间上；(2)把x对称转化到已知区间上，代入到已知区间上的函数解析式中；(3)利用f(x)的奇偶性将f(－x)用－f(x)或f(x)表示，从而求出f(x).
训练1 (1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－x2－x，求函数f(x)的解析式；
解　设任意x>0，则－x<0，∴f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x.又∵函数定义域为R，∴f(0)＝0，
(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式.
解　∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x，得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2；(①－②)÷2，得g(x)＝2x.
角度1　利用函数的单调性与奇偶性比较大小
题型二　函数奇偶性的应用
解析　∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2).
比较大小的方法：①自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
角度2　利用奇偶性、单调性解不等式
例4 (1)设定义在[－3，3]上的奇函数f(x)在区间[0，3]上是减函数，若f(1－m)解　因为f(x)是奇函数且f(x)在[0，3]上是减函数，所以f(x)在[－3，3]上是减函数.
(2)设定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)解　∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
利用函数奇偶性和单调性解不等式解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成f(x1)>f(x2)或f(x1)训练2 (1)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　　)
A.[－2，2] B.[－1，1]C.[0，4] D.[1，3]
解析　∵f(x)为奇函数，f(1)＝－1，∴f(－1)＝1.∵－1≤f(x－2)≤1，∴f(1)≤f(x－2)≤f(－1).又∵f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.
(2)已知偶函数f(x)和奇函数g(x)的定义域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的图像如图所示，则关于x的不等式f(x)g(x)<0的解集是____________________.
(－4，－2)∪(0，2)
解析　设h(x)＝f(x)g(x)，则h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)，又h(x)＝f(x)g(x)的定义域为(－4，4)，∴h(x)是奇函数，
补全f(x)，g(x)的图像(图略)，由图像可知：当－40，g(x)<0，此时h(x)<0；当00，此时h(x)<0，∴h(x)<0的解集为(－4，－2)∪(0，2).故答案为(－4，－2)∪(0，2).
题型三　奇偶性与对称性的综合应用
例5 (1)求证：二次函数f(x)＝－x2－2x＋1的图像关于x＝－1对称.
证明　任取h∈R，∵f(－1＋h)＝－(－1＋h)2－2(－1＋h)＋1＝－h2＋2，f(－1－h)＝－(－1－h)2－2(－1－h)＋1＝－h2＋2，∴f(－1＋h)＝f(－1－h)，∴f(x)的图像关于x＝－1对称.
(2)对于定义在R上的函数f(x)，有下述结论：①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称；②若函数f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；③函数f(1＋x)与函数f(1－x)的图像关于直线x＝1对称；④若f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)，则f(x)的图像关于坐标原点对称.其中正确结论的序号为________.
解析　∵f(x)为奇函数，∴f(x)的图像关于原点对称，而f(x－1)的图像是将f(x)的图像向右平移1个单位长度得到的，
∴f(x－1)的图像关于点A(1，0)对称，故①正确.
若g(x)＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，则有g(x＋1)＝g(－x＋1)，
即f(x)＝f(－x)，∴②正确.
由图像的对称性知函数y＝f(x＋1)的图像与函数y＝f(1－x)的图像关于y轴对称，∴③不正确.∵f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x＋2)＝－f(x＋4)，∴f(x)＝f(x＋4).又f(4－x)＝f(x)，∴f(4＋x)＝f(－x)，∴f(x)＝f(4＋x)＝f(－x)，从而f(x)为偶函数，可知f(x)的图像关于y轴对称，故④不正确.
(1)要证明函数f(x)的图像关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f(h－x)＝f(h＋x)；(2)要证明函数f(x)的图像关于点(a，b)对称，只需证明对定义域内的任意x ，满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.
即f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2×1，由函数对称的性质知f(x)的图像关于点(－1，1)对称.
(2)已知定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)为奇函数，函数f(x＋3)关于直线x＝1对称，则下列式子一定成立的是(　　)A.f(x－2)＝f(x)B.f(x－2)＝f(x＋6)C.f(x－2)·f(x＋2)＝1D.f(－x)＋f(x＋1)＝0
解析　令F(x)＝f(2－x)，∵f(2－x)为奇函数，∴F(－x)＝－F(x)，即f(2＋x)＝－f(2－x)，∴即f(x)的图像关于点(2，0)对称，令G(x)＝f(x＋3)，G(x)图像关于直线x＝1对称，
即G(1＋x)＝G(1－x)，f[(1＋x)＋3]＝f[(1－x)＋3]，f(4＋x)＝f(4－x)，即f(x)的图像关于直线x＝4对称，f(x)＝f[4＋(x－4)]＝f[4－(x－4)]＝f(8－x)，用x＋6换表达式中的x，可得f(2－x)＝f(x＋6)，又－f(2＋x)＝f(2－x)，即－f(2＋x)＝f(x＋6)，∴－f(x)＝f(x＋4)，用x＋4换表达式中的x，则－f(x＋4)＝f(x＋8)＝－[－f(x)]＝f(x)，∴函数f(x)的周期为8，故选B.
1.奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性.2.如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).3.利用奇偶性可以简化研究函数性质的过程，利用奇偶性求函数值、解析式、比较大小、解不等式等的核心是转化.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2，5)上是(　　)A.增函数 B.减函数C.有增有减 D.增减性不确定
解析　由f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图像(略)知，在区间(2，5)上为减函数.
2.(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1).则下列各式中一定成立的是(　　)A.f(－3)>f(－1) B.f(0)f(0)
解析　∵f(x)为偶函数，∴f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，又f(3)>f(1)，∴f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立.
3.已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，f(－2)＝10，则f(2)＝(　　)A.－26 B.－18 C.－10 D.10
解析　设g(x)＝x5＋ax3＋bx，函数g(x)定义域为R.∵g(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－x5－ax3－bx＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.∵f(－2)＝g(－2)－8＝10，∴g(－2)＝18，∴g(2)＝－g(－2)＝－18，∴f(2)＝g(2)－8＝－18－8＝－26.
4.已知奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上(　　)
法二　当x>0时，－x<0，
∴f(－x)＝－x(1－x).又f(－x)＝－f(x)，
解析　设x<0，∴－x>0，∴F(－x)＝2(－x)－3＝－2x－3.又∵F(x)为奇函数，∴F(x)＝－F(－x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
7.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是增函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是____________________.
(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析　∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数，又∵f(2)＝0，∴f(x)<0⇔f(|x|)<0＝f(2)，即|x|>2，∴x>2或x<－2.
8.若函数f(x)＝x2－2ax＋3图像的对称轴为x＝1，则当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为________.
解析　由对称轴为x＝1得a＝1.∴f(x)＝x2－2x＋3，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝2，f(x)max＝f(－1)＝6，∴f(x)∈[2，6].
解　F(x)在(－∞，0)上是减函数.证明如下：任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.∵y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，∴f(－x2)f(－x1)＝－f(x1)，②
10.设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.
解　∵函数f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数，∴f(0)＝0，解得b＝0(经检验符合题意).
(2)若f(x)在[0，2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围.
解　∵函数f(x)在[0，2]上是增函数，又f(x)是奇函数，∴f(x)在[－2，2]上是增函数.∵f(m)＋f(m－1)>0，∴f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，∴m－1>－m，①又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域内有意义，
∵f(x)在(－∞，2)上单调递减，
又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)－f(b)>0，即f(a)>f(b).
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围.
解　由(1)知f(x)为R上的单调递增函数，且为奇函数，∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，即f(1＋m)≥f(2m－3)，∴1＋m≥2m－3，所以m≤4.∴实数m的取值范围为(－∞，4].
14.证明：若函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称，则f(2a－x)＝2b－f(x)，反之亦成立.
证明　设函数y＝f(x)的图像上任意一点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称的点为P′(2a－x，2b－f(x))，当且仅当P′(2a－x，2b－f(x))在函数y＝f(x)的图像上时，有f(2a－x)＝2b－f(x).若函数f(x)满足f(2a－x)＝2b－f(x)，则点P′(2a－x，2b－f(x))在函数f(x)的图像上，∵点P′(2a－x，2b－f(x))与点P(x，f(x))关于点M(a，b)对称，∴函数y＝f(x)的图像关于点M(a，b)对称.