高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用第1课时课后复习题

十六　均值不等式

　基础全面练　(15分钟·35分)

1.(2021·哈尔滨高一检测)下列不等式中正确的是(　　)

A．a2＋b2≥4ab　　　　　　B．a＋≥4

C．a2＋2＋≥4     D．a2＋≥4

【解析】选D.A. a2＋b2－4ab＝(a－b)2－2ab不一定大于等于零，所以该选项错误；

B．a＋，当a取负数时，显然a＋<0，所以a＋≥4错误，所以该选项错误；

C．a2＋2＋≥2＝2，当且仅当a2＋2＝1时成立，由于取得条件不成立，所以a2＋2＋>2，如a＝0时，a2＋2＋＝<4，所以该选项错误；

D．a2＋≥2＝4，当且仅当a＝±时取等号，所以该选项正确．

　　　【补偿训练】

 (多选题)下列结论正确的是(　　)

A．y＝x＋＋2有最小值4

B．若x＞－1，则y＝的最小值为9

C．ab<0时，y＝＋有最大值－2

D．x>2时，y＝x＋有最小值2

【解析】选BC.对于A，没有说x是正数，所以y＝x＋＋2可以取到负值，没有最小值，故A错误；

对于B，因为x＞－1，原式y＝＝

＝x＋1＋＋5≥2＋5＝9.

当且仅当x＋1＝，即x＝1时，等号成立．

故ymin＝9，B项正确．

对于C，因为ab<0，所以－>0，－＞0，

y＝＋＝－≤

－2＝－2，

当且仅当＝时，等号成立，故C正确；

对于D，y＝x＋＝x－2＋＋2≥

2＋2＝4，故D错误．

2．若a，b∈Z，且a＋b＝0，则2a＋2b的最小值是(　　)

A．2　　　B．3　　　C．4　　　D．5

【解析】选A.因为a，b∈Z，所以2a>0，2b>0，所以2a＋2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b＝0时，等号成立．所以2a＋2b的最小值是2.

3．若－4<x<1，则(　　).

A．有最小值1　　　　　B．有最大值1

C．有最小值－1    D．有最大值－1

【解析】选D.因为－4<x<1，所以5>1－x>0，

所以＝

＝－≤－×2＝－1.

当且仅当x＝0时取等号．

所以函数f(x)有最大值－1，无最小值．

4．已知正数a，b，＋＝1，则3ab的最小值为________．

【解析】因为＋＝1≥2，所以ab≥8，因此3ab≥24，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时，取等号．

答案：24

5．(2021·北京高一检测)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(万元)与机器运转时间x(年数，x∈N*)的关系为y＝－x2＋18x－25，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

【解析】年平均利润＝－x＋18－ ＝－＋18 ≤8.当且仅当x＝5时，等号成立，max＝8，即机器运转5年时，年平均利润最大，为8万元．

答案：5　8

6．已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值．

【解析】因为x<3，所以x－3<0，所以3－x>0，

所以f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝

－＋3，因为＋3－x≥

2＝4(当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号)，所以f(x)≤－4＋3＝－1，

即f(x)的最大值为－1.

　综合突破练　(30分钟·60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．(2021·东营高一检测)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，当3x＋4y取得最小值时，x＋2y的值为(　　)

A．　　　B．2　　　C．　　　D．5

【解析】选B.因为x＋3y＝5xy，x＞0，y＞0，所以＋＝1，

所以3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋×3≥＋2＝5，

当且仅当＝，即x＝2y＝1时取等号，则x＋2y的值为2.

2．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　)

A．m>n    B．m<n

C．m＝n    D．不确定

【解析】选A.因为a>2，所以a－2>0.

又因为m＝a＋＝(a－2)＋＋2，

所以m≥2＋2＝4.由b≠0得b2≠0，所以4－b2<4，即n<4.所以m>n.

3．已知当x＝3时，代数式4x＋(x>0，a>0)取得最小值，则a＝(　　)

A．28    B．32    C．36    D．40

【解析】选C.4x＋≥2＝4(x>0，a>0)，当且仅当4x＝，即x＝时等号成立，所以＝3，即a＝36.

4．已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，则xy的最大值是(　　)

A．    B．4    C．    D．8

【解析】选C.由题意得，xy＝×2xy≤×＝×＝，当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以xy的最大值是.

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．已知a，b均为正实数，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．a＋b＋≥3    B．(a＋b)≥4

C．≥a＋b    D．≥

【解析】选BC.对于A，a＋b＋≥2＋≥2<3，当且仅当a＝b＝时等号同时成立；对于B，

(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号；

对于C，≥≥＝a＋b，当且仅当a＝b时取等号；

对于D，当a＝，b＝时，＝＝，＝，>，

所以<.

6．下列命题中正确的是(　　)

A．y＝x＋(x<0)的最大值是－2

B．y＝的最小值是2

C．y＝2－3x－(x>0)的最大值是2－4

D．y＝有最大值

【解析】选AC.y＝x＋＝－≤－2，当且仅当x＝－1时，等号成立．所以A正确；

y＝＝＋>2，取不到最小值2(等号取不到)，所以B错误；

y＝2－3x－(x>0)＝2－≤2－4，当且仅当3x＝时，等号成立，所以C正确；

y＝＝＋≥2＋＝，x＝0时取到，故无最大值，所以D错误．

【光速解题】选AC.A选项可以作为结论记住，y＝x＋(x<0)的最大值是－2，y＝x＋(x>0)的最小值是2；观察BD为同一式子的最值分析，其中D选项实质上是二次除以一次形式，最大值显然不存在，B选项通常仅需验证等号成立即可，易知BD均错误，故选AC.

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．(2020·哈尔滨高一检测)设a，b为正实数，且＝＋，则a2＋＋的最小值为________．　

【解析】因为＝＋，所以a2＋＋＝＋；所以a2＋＋＝＋≥

2＝4，当且仅当a＝b时等号成立．

答案：4

8．已知x>0，y>0，且满足＋＝1，则xy的最大值为________，取得最大值时y的值为________．

【解析】因为x>0，y>0且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号．

答案：3　2

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．设x>－1，求的最小值．

【解析】因为x>－1，所以x＋1>0，

设x＋1＝t>0，则x＝t－1，于是有：

＝＝

＝t＋＋5≥2＋5＝9.

当且仅当t＝，即t＝2时取等号，此时x＝1.

所以当x＝1时，函数取得最小值是9.

10．(2021·肥城高一检测)已知m>0，n>0，不等式x2＋mx－12<0的解集为.

(1)求实数m，n的值；

(2)正实数a，b满足na＋2mb＝2，求＋的最小值．

【解析】(1)由题意可知：－6和n是方程x2＋mx－12＝0的两个根，所以

解得

(2)由题意和(1)可得：2a＋8b＝2，即a＋4b＝1.所以＋＝＝5＋，

因为a>0，b>0，所以>0，>0.

所以＋＝5＋≥5＋2＝9，

当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立．所以＋的最小值为9.

　应用创新练

1．《几何原本》中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC＝a，BC＝b，过点C作CD⊥AB交圆周于D，连接OD.作CE⊥OD交OD于点E.则下列不等式可以表示CD≥DE的是(　　)

A.≥(a>0，b>0)

B．≥(a>0，b>0)

C．≥(a>0，b>0)

D．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)

【解题思路】根据圆的性质、射影定理求出CD和DE的长度，利用CD>DE即可得到答案．

【解析】选A.连接DB，因为AB是圆O的直径，

所以∠ADB＝90°，所以在Rt△ADB中，中线OD＝＝，由射影定理可得CD2＝AC·CB＝ab，所以CD＝.

在Rt△DCO中，由射影定理可得CD2＝DE·OD，即DE＝＝＝，由CD≥DE得≥.

2．已知正数0＜a＜1，0＜b＜1，且a≠b，则a＋b，2，2ab，a2＋b2，其中最大的一个是(　　)

A．a2＋b2     B．2

C．2ab      D．a＋b

【解析】选D.因为a，b∈(0，1)，a≠b，

所以a＋b＞2，a2＋b2＞2ab，

所以，最大的只能是a2＋b2与a＋b之一．

而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)，

又0＜a＜1，0＜b＜1，所以a－1＜0，b－1＜0，

因此a2＋b2＜a＋b，所以a＋b最大．