高中数学人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用精品第2课时2课时教学设计

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已知x，y都是正数．


(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(S2,4).


(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(p).


上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．





1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值是( )


A.eq \f(7,2) B．4 C.eq \f(9,2) D．5


C [∵a＋b＝2，∴eq \f(a＋b,2)＝1.


∴eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))


＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,b)＋\f(b,2a)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝eq \f(9,2)


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当\f(2a,b)＝\f(b,2a)，即b＝2a时，等号成立)).


故y＝eq \f(1,a)＋eq \f(4,b)的最小值为eq \f(9,2).]


2．若x>0，则x＋eq \f(2,x)的最小值是________．


2eq \r(2) [x＋eq \f(2,x)≥2eq \r(x·\f(2,x))＝2eq \r(2)，当且仅当x＝eq \r(2)时，等号成立．]


3．设x，y∈N*满足x＋y＝20，则xy的最大值为________．


100 [∵x，y∈N*，


∴20＝x＋y≥2eq \r(xy)，


∴xy≤100.]





【例1】 (1)已知x

(2)已知0

[思路点拨] (1)看到求y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝eq \f(1,2)x(1－2x)的最值，需要出现和为定值．


[解] (1)∵x0，


∴y＝4x－2＋eq \f(1,4x－5)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1，


当且仅当5－4x＝eq \f(1,5－4x)，即x＝1时，上式等号成立，


故当x＝1时，ymax＝1.


(2)∵0

∴1－2x>0，


∴y＝eq \f(1,4)×2x(1－2x)≤eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq \f(1,4)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,16).


∴当且仅当2x＝1－2xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0




利用均值不等式求最值的关键是获得满足均值不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定，应凑出定和或定积；若不等，一般用后面第三章函数的基本性质的知识解决.








1．(1)已知x>0，求函数y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)的最小值；


(2)已知0

[解] (1)∵y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)＝x＋eq \f(4,x)＋5≥2eq \r(4)＋5＝9，


当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x＝2时等号成立．


故y＝eq \f(x2＋5x＋4,x)(x>0)的最小值为9.


(2)法一：∵00.


∴y＝x(1－3x)＝eq \f(1,3)·3x(1－3x)


≤eq \f(1,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3x＋1－3x,2)))eq \s\up20(2)＝eq \f(1,12).


当且仅当3x＝1－3x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立．


∴当x＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值eq \f(1,12).


法二：∵00.


∴y＝x(1－3x)＝3·xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)－x))≤3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋\f(1,3)－x,2)))eq \s\up20(2)


＝eq \f(1,12)，当且仅当x＝eq \f(1,3)－x，即x＝eq \f(1,6)时，等号成立．


∴当x＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值eq \f(1,12).


【例2】 已知x＞0，y＞0，且满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1.求x＋2y的最小值．


[解] ∵x＞0，y＞0，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，


∴x＋2y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq \f(x,y)＋eq \f(16y,x)


≥10＋2eq \r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝3))时，等号成立，


故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18.





若把“eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)的最小值．


[解] ∵x，y∈R＋，


∴eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))


＝8＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)＋2＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18.


当且仅当eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)时取等号，


结合x＋2y＝1，得x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,6)，


∴当x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(1,6)时，eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)取到最小值18.





1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足均值不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．


2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有y＝ax＋eq \f(b,x)型和y＝ax(b－ax)型．








2．已知a＞0，b＞0，a＋2b＝1，求eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值．


[解] 法一：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·1


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))·(a＋2b)


＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(\f(2b,a)·\f(a,b))


＝3＋2eq \r(2)，


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时等号成立．


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2).


法二：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋2b,a)＋eq \f(a＋2b,b)＝1＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)＋2


＝3＋eq \f(2b,a)＋eq \f(a,b)≥3＋2eq \r(2)，


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2b,a)＝\f(a,b)，,a＋2b＝1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\r(2)－1，,b＝1－\f(\r(2),2)))时等号成立，


∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为3＋2eq \r(2).


【例3】 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？





[解] 设每间虎笼长x m，宽y m，


则由条件知，4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.


设每间虎笼面积为S，则S＝xy.


法一：由于2x＋3y≥2eq \r(2x·3y)＝2eq \r(6xy)，


所以2eq \r(6xy)≤18，得xy≤eq \f(27,2)，


即Smax＝eq \f(27,2)，当且仅当2x＝3y时，等号成立．


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝18，,2x＝3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4.5，,y＝3.))


故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．


法二：由2x＋3y＝18，得x＝9－eq \f(3,2)y.


∵x>0，∴0

∵00.


∴S≤eq \f(3,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(6－y＋y,2)))2＝eq \f(27,2).


当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.


故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．





在应用均值不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：


(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；


(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；


(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；


(4)正确写出答案．








3．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝eq \f(购地总费用,建筑总面积)


[解] 设将楼房建为x层，则每平方米的平均购地费用为eq \f(2 160×104,2 000x)＝eq \f(10 800,x).


∴每平方米的平均综合费用


y＝560＋48x＋eq \f(10 800,x)＝560＋48eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(225,x))).


当x＋eq \f(225,x)取最小值时，y有最小值．


∵x>0，∴x＋eq \f(225,x)≥2eq \r(x·\f(225,x))＝30.


当且仅当x＝eq \f(225,x)，即x＝15时，上式等号成立．


∴当x＝15时，y有最小值2 000元．


因此该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少．





1．利用均值不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可，解题时，有时为了达到使用均值不等式的三个条件，需要通过配凑、裂项、转化、分离常数等变形手段，创设一个适合应用均值不等式的情境．


2．不等式的应用题大都与函数相关联，在求最值时，均值不等式是经常使用的工具，但若对自变量有限制，一定要注意等号能否取到.





1．思考辨析


(1)两个正数的积为定值，一定存在两数相等时，它们的和有最小值．( )


(2)若a>0，b>0且a＋b＝4，则ab≤4.( )


(3)当x>1时，函数y＝x＋eq \f(1,x－1)≥2eq \r(\f(x,x－1))，所以函数y的最小值是2eq \r(\f(x,x－1)).( )


[提示] (1)由a＋b≥2eq \r(ab)可知正确．


(2)由ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝4可知正确．


(3)eq \r(\f(x,x－1))不是常数，故错误．


[答案] (1)√ (2)√ (3)×


2．若实数a，b满足a＋b＝2，则ab的最大值为( )


A．1 B．2eq \r(2) C．2 D．4


A [由均值不等式得，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2＝1.]


3．已知0

A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)


C.eq \f(2,3) D.eq \f(2,5)


A [∵00，


则x(3－3x)＝3[x(1－x)]≤3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1－x,2)))2＝eq \f(3,4)，


当且仅当x＝1－x，即x＝eq \f(1,2)时取等号．]


4．已知x>0，求y＝eq \f(2x,x2＋1)的最大值．


[解] y＝eq \f(2x,x2＋1)＝eq \f(2,x＋\f(1,x)).


∵x>0，∴x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(x·\f(1,x))＝2，


∴y≤eq \f(2,2)＝1，当且仅当x＝eq \f(1,x)，即x＝1时等号成立．





学 习 目 标
核 心 素 养
1.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点)


2．会用均值不等式求解实际应用题．(难点)
1.通过均值不等式求最值，提升数学运算素养．


2．借助均值不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养.
利用均值不等式求最值
利用均值不等式求条件最值
利用均值不等式解决实际问题