还剩13页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
高中2.2.4 均值不等式及其应用第2课时学案
展开
这是一份高中2.2.4 均值不等式及其应用第2课时学案，共16页。学案主要包含了利用均值不等式变形求最值， 均值不等式在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。
第2课时 均值不等式的综合应用
学习目标 1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．
导语
相等与不等关系经常会涉及最大值、最小值问题，而均值不等式可以解决变化中的最值问题，那么在什么条件下可以应用均值不等式来求最值呢？这节课我们就一起来探究一下这个问题．
一、利用均值不等式变形求最值
问题1 若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？
提示 x＋y＝8，由2≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大．
问题2 若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？
提示 xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小．
知识梳理
用均值不等式求最值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值
已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值
已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
注意点：
1．口诀：和定积最大，积定和最小．
2．应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等．
例1 已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
解 方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.
方法二 ∵x>0，y>0，＋＝1,8y＋x＝xy，
∴x＝，
∴y－1>0.
∴x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2＝10＋＋(2y－2)≥10＋2＝10＋8＝18，当且仅当＝2y－2，
即y＝3，x＝12时，等号成立，x＋2y的最小值为18.
延伸探究 若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
解 ∵x>0，y>0，∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当即时取等号，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
反思感悟 利用均值不等式的变形求最值的策略
(1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式以及使等号成立的条件．
(2)特别注意“1”的代换．
跟踪训练1 设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
解 方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，
得＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
二、 均值不等式在实际问题中的应用
例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
解 设该批产品的利润为y万元，
由题意知y＝·Q－2－x
＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x
＝20－－x＝21－，0
当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取“＝”，
∴当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．
反思感悟 利用均值不等式解决实际问题的步骤
先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．
跟踪训练2 为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：千元，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天完工，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
解 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－＝130－
≤130－2＝130－112＝18，
当且仅当4(x＋3)＝，
即x＝11时取等号，
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．
三 、均值不等式的综合应用
例3 不等式9x＋≥a＋1(常数a>0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围．
解 常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，
则a＋1≤9x＋的最小值，
又9x＋≥6a，
当且仅当9x＝，
即x＝时，等号成立．
故必有6a≥a＋1，解得a≥.
所以a的取值范围为a≥.
反思感悟 (1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值．
注意：f(x)表示关于x的代数式．
跟踪训练3 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥2
B．m≤－4或m≥2
C．－2
解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，
解得－2
答案 {m|m>－10}
解析 ∵2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，
∴m>－2x－＝－2
＝－2，
∵x>1，∴x－1>0，
∴(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，
∴－2≤－2×5＝－10.
∴m>－10，∴实数m的取值范围为{m|m>－10}．
1．知识清单：
(1)已知x，y是正数，“和定积最大，积定和最小”．
(2)求解应用题的方法与步骤．
①审题，②建模(列式)，③求解，④作答．
(3)均值不等式的综合应用．
2．方法归纳：常数代换法．
3．常见误区：缺少等号成立的条件．
1．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3 B. C．4 D.
答案 C
解析 2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
答案 C
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，
∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．
∵要求够用且浪费最少．
∴选用7 m的铁丝．
3．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
答案
解析 因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，等号成立．
xy取到最大值.
4．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________，＋的最小值是_________．
答案 (3＋2)
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋2y＝2≥2，
∴2xy≤1，
∴xy≤，
当且仅当x＝2y，
即x＝1，y＝时取等号．
∴xy的最大值是.
又由x＋2y＝2，
得(x＋2y)＝1，
∴＋＝(x＋2y)
＝≥(3＋2)．
当且仅当x＝y，
即x＝2－2，y＝2－时取等号．
∴＋的最小值是(3＋2)．
5．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
答案
解析 因为x>0，
所以＝≤＝，
当且仅当x＝，x＝1时等号成立，
即的最大值为，故a≥.
1．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有( )
A．当x<0时，x＋＝－≤－2＝－2，故当x<0时，x＋的最大值是－2
B．当x>1时，x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，解得x＝－1或2，又x>1，所以取x＝2，故当x>1时，x＋的最小值为2＋＝4
C．由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，故x2＋的最小值是2
D．当x>0，y>0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2＝4，所以≤，又＋≥2＝≥＝4，故当x>0，y>0，且x＋4y＝2时，＋的最小值为4
答案 BCD
解析 对于A中，根据均值不等式，可判定是正确的；
对于B中，当x>1时，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号，x＋的最小值为2＋1，所以B不正确；
对于C中，由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，
当且仅当x2＋4＝，即x2＋4＝3时等号成立，但此时x2＋4＝3无解，所以取不到等号，
所以C不正确；
对于D中，两次均值不等式的等号成立条件不相同，第一次是x＝4y，第二次是x＝y，所以D不正确．
2．若对于任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 B
解析 ∵x>1，
∴＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－1＝，
即x＝3时，“＝”成立，∴a≤6.则a的最大值是6.
3．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a
解析 设甲、乙两地之间的距离为s，
则全程所需的时间为＋，
∴v＝＝.
∵b>a>0，
由均值不等式可得<，
∴v＝<＝，
又v＝<＝，
v－a＝－a＝>＝0，
∴v>a，则a
A．8 B．7 C．6 D．5
答案 C
解析 由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6.∴m的最大值为6.
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 设仓库与车站的距离为d千米，
则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，
∴k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝2＝8，
当且仅当＝0.8d，
即d＝5时，等号成立．
6．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
答案 [6，＋∞)
解析 ∵a＋b＋3＝ab≤2，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．
7．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，2]
解析 x2－ax＋1≥0，x∈(0，＋∞)恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0，＋∞)恒成立⇔a≤x＋，x∈(0，＋∞)恒成立．
∵x∈(0，＋∞)，x＋≥2(当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立)，∴a≤2.
8．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·
L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度是__________mg·L－1.
答案 2 5
解析 C＝＝.
因为t>0，所以t＋≥2＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时，等号成立．
所以C＝≤＝5.
所以经过2 h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度为5 mg·L－1
9．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
解 设＋＝1，a，b∈N＋，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，
即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，
∴＋＝1，
∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4,12.
10.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
解 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，
则S＝xy.
方法一 由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，
得xy≤，
即Smax＝，
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
方法二 由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，
∴0
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
11．设a>1，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．6
C．4 D．2
答案 A
解析 ∵a>1，∴a－1>0，
∵a＋b＝2，
∴(a－1)＋b＝1.
又b>0，∴＋＝·[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋2≥3＋2.
当且仅当＝，即a＝，b＝2－时，等号成立，
∴＋的最小值为3＋2，故选A.
12．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由x2＋3xy－1＝0，
可得y＝.
又x>0，所以x＋y＝＋≥2＝
.
13.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
答案 56
解析 设阴影部分的长为x dm，
则宽为 dm，
四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56.
当且仅当x＝，
即x＝12时等号成立．
14.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)，此时矩形的长、宽比是________．
答案 16 2∶1
解析 如图所示，连接OC，
设OB＝x(0
AB＝2OB＝2x，
所以，由均值不等式可得，
矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，
当且仅当16－x2＝x2，
即当x＝2时，等号成立，
此时AB＝4，BC＝2，
所以长、宽比是2∶1.
15．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A．－ B. C. D．－4
答案 A
解析 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋＝×(a＋b)
＝＋
≥＋2＝，
当且仅当b＝2a，
即a＝，b＝时等号成立，
因此有－－≤－，
即－－的上确界为－.
16．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．
解 由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.
因此，原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，
只需＋的最小值不小于m即可．
因为＋
＝＋
＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当＝，
即2b＝a＋c时，等号成立．
所以m≤4，即m∈(－∞，4]．
第2课时 均值不等式的综合应用
学习目标 1.熟练掌握均值不等式及其变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．
导语
相等与不等关系经常会涉及最大值、最小值问题，而均值不等式可以解决变化中的最值问题，那么在什么条件下可以应用均值不等式来求最值呢？这节课我们就一起来探究一下这个问题．
一、利用均值不等式变形求最值
问题1 若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？
提示 x＋y＝8，由2≥xy得xy≤16，当且仅当x＝y＝4时，等号成立，即这两个正数都为4时，其积最大．
问题2 若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？
提示 xy＝16，由x＋y≥2得x＋y≥8，当且仅当x＝y＝4时等号成立，即这两个正数都等于4时，其和最小．
知识梳理
用均值不等式求最值
两个正数的和为常数时，它们的积有最大值
已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值
已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
注意点：
1．口诀：和定积最大，积定和最小．
2．应用均值不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正二定三相等．
例1 已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值．
解 方法一 ∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝10＋＋
≥10＋2＝18，
当且仅当即时，等号成立，
故当x＝12，y＝3时，x＋2y的最小值为18.
方法二 ∵x>0，y>0，＋＝1,8y＋x＝xy，
∴x＝，
∴y－1>0.
∴x＋2y＝＋2y＝＋(2y－2)＋2＝10＋＋(2y－2)≥10＋2＝10＋8＝18，当且仅当＝2y－2，
即y＝3，x＝12时，等号成立，x＋2y的最小值为18.
延伸探究 若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值．
解 ∵x>0，y>0，∴＋＝(x＋2y)
＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18.
当且仅当即时取等号，
∴当x＝，y＝时，＋取到最小值18.
反思感悟 利用均值不等式的变形求最值的策略
(1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用均值不等式以及使等号成立的条件．
(2)特别注意“1”的代换．
跟踪训练1 设x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求x＋y的最小值．
解 方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.
∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝(x－8)＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当x－8＝，即x＝12，y＝6时，等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，
得＋＝1.∴x＋y＝(x＋y)
＝＋＋10≥2＋10＝18，
当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
二、 均值不等式在实际问题中的应用
例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为元/件．那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)
解 设该批产品的利润为y万元，
由题意知y＝·Q－2－x
＝2Q＋20－2Q－－x＝20－－x
＝20－－x＝21－，0
当且仅当＝x＋1，即x＝1时，上式取“＝”，
∴当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．
反思感悟 利用均值不等式解决实际问题的步骤
先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．
跟踪训练2 为了改善居民的居住条件，某城建公司承包了棚户区改造工程，按合同规定在4个月内完成．若提前完成，则每提前一天可获2 000元奖金，但要追加投入费用；若延期完成，则每延期一天将被罚款5 000元．追加投入的费用按以下关系计算：千元，其中x表示提前完工的天数，试问提前多少天完工，才能使公司获得最大附加效益？(附加效益＝所获奖金－追加费用)
解 设城建公司获得的附加效益为y千元，由题意得
y＝2x－＝118－
＝118－＝130－
≤130－2＝130－112＝18，
当且仅当4(x＋3)＝，
即x＝11时取等号，
所以提前11天完工，能使公司获得最大附加效益．
三 、均值不等式的综合应用
例3 不等式9x＋≥a＋1(常数a>0)，对一切正实数x成立，求a的取值范围．
解 常数a>0，若9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，
则a＋1≤9x＋的最小值，
又9x＋≥6a，
当且仅当9x＝，
即x＝时，等号成立．
故必有6a≥a＋1，解得a≥.
所以a的取值范围为a≥.
反思感悟 (1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值．
注意：f(x)表示关于x的代数式．
跟踪训练3 (1)已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．m≤－2或m≥2
B．m≤－4或m≥2
C．－2
解析 ∵x>0，y>0且＋＝1，
∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，
当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，
∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，
解得－2
答案 {m|m>－10}
解析 ∵2x＋m＋>0对任意的x>1恒成立，
∴m>－2x－＝－2
＝－2，
∵x>1，∴x－1>0，
∴(x－1)＋＋1≥2＋1＝5，
当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立，
∴－2≤－2×5＝－10.
∴m>－10，∴实数m的取值范围为{m|m>－10}．
1．知识清单：
(1)已知x，y是正数，“和定积最大，积定和最小”．
(2)求解应用题的方法与步骤．
①审题，②建模(列式)，③求解，④作答．
(3)均值不等式的综合应用．
2．方法归纳：常数代换法．
3．常见误区：缺少等号成立的条件．
1．若xy是正数，则2＋2的最小值是( )
A．3 B. C．4 D.
答案 C
解析 2＋2
＝x2＋＋＋y2＋＋
＝＋＋
≥1＋1＋2＝4，
当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．
2．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )
A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m
答案 C
解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则ab＝2，
∴ab＝4，l＝a＋b＋≥2＋＝4＋2≈6.828(m)．
∵要求够用且浪费最少．
∴选用7 m的铁丝．
3．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，则xy的最大值为________．
答案
解析 因为x>0，y>0,2x＋3y＝6，
所以xy＝(2x·3y)≤·2
＝·2＝.
当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝1时，等号成立．
xy取到最大值.
4．已知x>0，y>0，且x＋2y＝2，那么xy的最大值是________，＋的最小值是_________．
答案 (3＋2)
解析 ∵x>0，y>0，
∴x＋2y＝2≥2，
∴2xy≤1，
∴xy≤，
当且仅当x＝2y，
即x＝1，y＝时取等号．
∴xy的最大值是.
又由x＋2y＝2，
得(x＋2y)＝1，
∴＋＝(x＋2y)
＝≥(3＋2)．
当且仅当x＝y，
即x＝2－2，y＝2－时取等号．
∴＋的最小值是(3＋2)．
5．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
答案
解析 因为x>0，
所以＝≤＝，
当且仅当x＝，x＝1时等号成立，
即的最大值为，故a≥.
1．(多选)下列求最值的运算中，运算方法错误的有( )
A．当x<0时，x＋＝－≤－2＝－2，故当x<0时，x＋的最大值是－2
B．当x>1时，x＋≥2，当且仅当x＝时取等号，解得x＝－1或2，又x>1，所以取x＝2，故当x>1时，x＋的最小值为2＋＝4
C．由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，故x2＋的最小值是2
D．当x>0，y>0，且x＋4y＝2时，由于2＝x＋4y≥2＝4，所以≤，又＋≥2＝≥＝4，故当x>0，y>0，且x＋4y＝2时，＋的最小值为4
答案 BCD
解析 对于A中，根据均值不等式，可判定是正确的；
对于B中，当x>1时，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1，
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，取等号，x＋的最小值为2＋1，所以B不正确；
对于C中，由于x2＋＝x2＋4＋－4≥2－4＝2，
当且仅当x2＋4＝，即x2＋4＝3时等号成立，但此时x2＋4＝3无解，所以取不到等号，
所以C不正确；
对于D中，两次均值不等式的等号成立条件不相同，第一次是x＝4y，第二次是x＝y，所以D不正确．
2．若对于任意x>1，≥a恒成立，则a的最大值是( )
A．4 B．6 C．8 D．10
答案 B
解析 ∵x>1，
∴＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2＝6，
当且仅当x－1＝，
即x＝3时，“＝”成立，∴a≤6.则a的最大值是6.
3．(多选)小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a
解析 设甲、乙两地之间的距离为s，
则全程所需的时间为＋，
∴v＝＝.
∵b>a>0，
由均值不等式可得<，
∴v＝<＝，
又v＝<＝，
v－a＝－a＝>＝0，
∴v>a，则a
A．8 B．7 C．6 D．5
答案 C
解析 由已知，可得6＝1，
∴2a＋b＝6×(2a＋b)
＝6≥6×(5＋4)＝54，
当且仅当＝，即a＝b＝18时等号成立，
∴9m≤54，即m≤6.∴m的最大值为6.
5．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )
A．5千米处 B．4千米处
C．3千米处 D．2千米处
答案 A
解析 设仓库与车站的距离为d千米，
则y1＝，y2＝k2d，由题意知2＝，8＝10k2，
∴k1＝20，k2＝0.8，
∴y1＋y2＝＋0.8d≥2＝2＝8，
当且仅当＝0.8d，
即d＝5时，等号成立．
6．若a，b∈(0，＋∞)，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________．
答案 [6，＋∞)
解析 ∵a＋b＋3＝ab≤2，
∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，
解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号．
7．若不等式x2－ax＋1≥0对一切x∈(0，＋∞)恒成立，则a的取值范围是________．
答案 (－∞，2]
解析 x2－ax＋1≥0，x∈(0，＋∞)恒成立⇔ax≤x2＋1，x∈(0，＋∞)恒成立⇔a≤x＋，x∈(0，＋∞)恒成立．
∵x∈(0，＋∞)，x＋≥2(当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立)，∴a≤2.
8．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·
L－1)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过________ h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度是__________mg·L－1.
答案 2 5
解析 C＝＝.
因为t>0，所以t＋≥2＝4，
当且仅当t＝，即t＝2时，等号成立．
所以C＝≤＝5.
所以经过2 h后池水中该药品的浓度达到最大，最大浓度为5 mg·L－1
9．在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小，1＝＋，试求这两个数．
解 设＋＝1，a，b∈N＋，
∴a＋b＝(a＋b)·1＝(a＋b)
＝1＋9＋＋≥10＋2
＝10＋2×3＝16，
当且仅当＝，
即b＝3a时等号成立．
又＋＝1，
∴＋＝1，
∴a＝4，b＝12.
这两个数分别是4,12.
10.如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
解 设每间虎笼长x m，宽y m，
则由条件知，4x＋6y＝36，
即2x＋3y＝18.
设每间虎笼面积为S，
则S＝xy.
方法一 由于2x＋3y≥2＝2，
所以2≤18，
得xy≤，
即Smax＝，
当且仅当2x＝3y时，等号成立．
由解得
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
方法二 由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，
∴0
∴S≤2＝.
当且仅当6－y＝y，即y＝3时，等号成立，此时x＝4.5.
故每间虎笼长为4.5 m，宽为3 m时，可使每间虎笼面积最大．
11．设a>1，b>0，若a＋b＝2，则＋的最小值为( )
A．3＋2 B．6
C．4 D．2
答案 A
解析 ∵a>1，∴a－1>0，
∵a＋b＝2，
∴(a－1)＋b＝1.
又b>0，∴＋＝·[(a－1)＋b]
＝1＋＋＋2≥3＋2.
当且仅当＝，即a＝，b＝2－时，等号成立，
∴＋的最小值为3＋2，故选A.
12．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由x2＋3xy－1＝0，
可得y＝.
又x>0，所以x＋y＝＋≥2＝
.
13.如图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm，左右空白各宽1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.
答案 56
解析 设阴影部分的长为x dm，
则宽为 dm，
四周空白部分的面积是y dm2.
由题意，得y＝(x＋4)－72
＝8＋2≥8＋2×2＝56.
当且仅当x＝，
即x＝12时等号成立．
14.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)，此时矩形的长、宽比是________．
答案 16 2∶1
解析 如图所示，连接OC，
设OB＝x(0
AB＝2OB＝2x，
所以，由均值不等式可得，
矩形ABCD的面积为S＝AB·BC＝2x·＝2≤(16－x2)＋x2＝16，
当且仅当16－x2＝x2，
即当x＝2时，等号成立，
此时AB＝4，BC＝2，
所以长、宽比是2∶1.
15．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为( )
A．－ B. C. D．－4
答案 A
解析 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，
所以＋＝×(a＋b)
＝＋
≥＋2＝，
当且仅当b＝2a，
即a＝，b＝时等号成立，
因此有－－≤－，
即－－的上确界为－.
16．设a>b>c，且＋≥恒成立，求m的取值范围．
解 由a>b>c，知a－b>0，b－c>0，a－c>0.
因此，原不等式等价于＋≥m.
要使原不等式恒成立，
只需＋的最小值不小于m即可．
因为＋
＝＋
＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当＝，
即2b＝a＋c时，等号成立．
所以m≤4，即m∈(－∞，4]．
相关学案
新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】模块综合试卷（二）： 这是一份新教材人教B版步步高学习笔记【同步学案】模块综合试卷（二）
高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案： 这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.6.1 双曲线的标准方程学案，共11页。学案主要包含了平行或垂直的直线系方程，过两直线交点的直线系方程，过定点的直线系方程等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用导学案： 这是一份2020-2021学年第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用导学案，共12页。学案主要包含了连续运用均值不等式求最值，利用均值不等式比较大小，与其他知识的交汇等内容，欢迎下载使用。
