人教B版 (2019)必修 第一册2.2.1 不等式及其性质第1课时课时练习

课后素养落实(十三)　不等式及其性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，x∈R，则(　　)

A．a＞b　　　　　 B．a＜b

C．a≥b D．a≤b

C　[∵a－b＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a≥b.]

2．已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是(　　)

A．a>> B．>>a

C．>a> D．>>a

D　[取a＝－2，b＝－2，则＝1，＝－，∴>>a.故选D．]

3．若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)

A．ac＞bc　　　　　 B．ab＞ac

C．a|b|＞c|b| D．a2＞b2＞c2

B　[∵a＋b＋c＝0且a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴A不正确；对于B，ab＞ac⇔a(b－c)＞0.又b－c＞0，a＞0，故B正确；由于|b|有可能为0，故C不正确；若a＝2，b＝1，c＝－3，显然a＋b＋c＝0，但a2＞b2且b2＜c2，故D不正确．]

4．(多选题)若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的是(　　)

A．x－1＞1－y B．x－1＞y－1

C．x－y＞1－y D．1－x＞y－x

BCD　[对选项A可用特殊值法．令x＝2，y＝－1，则x－1＝2－1＜1－(－1)＝1－y，故选项A中不等式不成立；x－1－(y－1)＝x－y＞0，故选项B中不等式成立；x－y－(1－y)＝x－1＞0，故选项C中不等式成立；1－x－(y－x)＝1－y＞0，故选项D中不等式成立，故选BCD．]

5．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　)

A．x＞y B．x＝y

C．x＜y D．x，y的关系随c而定

C　[用作商法比较，由题意x，y＞0，

∵＝＝＜1，∴x＜y.]

二、填空题

6．当m>1时，m3与m2－m＋1的大小关系为________．

m3>m2－m＋1　[∵m3－(m2－m＋1)

＝m3－m2＋m－1＝m2(m－1)＋(m－1)

＝(m－1)(m2＋1)，

又∵m>1，故(m－1)(m2＋1)>0，∴m3＞m2－m＋1．]

7．给出以下四个命题：

①a＞b⇒an＞bn(n∈N*)；②a＞|b|⇒an＞bn(n∈N*)；③a＜b＜0⇒＞；④a＜b＜0⇒＞.其中真命题的序号是________．

②③　[①中取a＝－1，b＝－2，n＝2，不成立；②a＞|b|，得a＞0，∴an＞bn成立；③a＜b＜0，＞成立；④a＜b＜0，得a－b＜0，且a－b＞a，故＜，④不成立．]

8．某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：

今制订计划欲使总产量最高，则A类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．

20　330　[设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件(50－x)件．根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6×(50－x)＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．]

三、解答题

9．已知x∈R且x≠－1，比较与1－x的大小．

[解]　∵－(1－x)＝＝，

当x＝0时，＝1－x；

当1＋x＜0，即x＜－1时，＜0，∴＜1－x；

当1＋x＞0且x≠0，即－1＜x＜0或x＞0时，＞0，

∴＞1－x.

10．已知3＜a＋b＜4,0＜b＜1，求下列各式的取值范围．

(1)a；(2)a－b；(3).

[解]　(1)∵3＜a＋b＜4,0＜b＜1，

∴－1＜－b＜0，

∴2＜a＋b＋(－b)＜4，

即2＜a＜4.

(2)∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.

又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.

(3)∵0＜b＜1，∴＞1，

又∵2＜a＜4，∴＞2.

1．(多选题)已知a，b，c，d∈R，则下列结论中不成立的是(　　)

A．若a＞b，c＞b，则a＞c

B．若a＞－b，则c－a＜c＋b

C．若a＞b，c＜d，则＞

D．若a2＞b2，则－a＜－b

ACD　[选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立；选项C，不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D，只有当a＞b＞0时才成立．故选ACD．]

2．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　)

A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx

C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz

B　[法一：∵x＜y＜z且a＜b＜c，

∴ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)

＝a(x－z)＋c(z－x)

＝(x－z)(a－c)＞0，

∴ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；

同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)

＝b(z－x)＋c(x－z)

＝(z－x)(b－c)＜0，

∴ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz；

同理，az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)

＝a(z－y)＋b(y－z)

＝(z－y)(a－b)＜0，

∴az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx.

∴最低费用为az＋by＋cx(元)．

故选B．

法二：(特殊值法)：取x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝1×1＋2×2＋3×3＝14；az＋by＋cx＝1×3＋2×2＋3×1＝10；ay＋bz＋cx＝1×2＋2×3＋3×1＝11；ay＋bx＋cz＝1×2＋2×1＋3×3＝13.故选B．]

3．当x，y，z∈R时，记M＝5x2＋y2＋z2，N＝2xy＋4x＋2z－2，则M，N的大小关系是________．

M≥N　[M－N＝5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)

＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1

＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，

所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，

当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．

∴M≥N.]

4．已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则4a－2b的取值范围为________．

[－2,10]　[法一：设u＝a＋b，v＝a－b得a＝，b＝，

∴4a－2b＝2u＋2v－u＋v＝u＋3v.

∵1≤u≤4，－1≤v≤2，∴－3≤3v≤6.

则－2≤u＋3v≤10，即－2≤4a－2b≤10.

法二：令4a－2b＝x(a＋b)＋y(a－b)，

∴4a－2b＝(x＋y)a＋(x－y)b.

∴∴

又

∴－2≤4a－2b≤10.]

有三个实数m，a，b(a≠b)，如果在a2(m－b)＋m2b中，把a和b互换，所得的代数式的值比原式的值小，那么关系式a＜m＜b是否可能成立？请说明你的理由．

[解]　不妨设P＝a2(m－b)＋m2b，Q＝b2(m－a)＋m2a.由题意知Q＜P，即Q－P＜0.所以b2(m－a)＋m2a－a2(m－b)－m2b＜0，(a－b)m2＋(b2－a2)m＋ab(a－b)＜0.

所以(a－b)(m－a)(m－b)＜0.(*)

若a＜m＜b成立，则a＜b，这时不等式(*)的解为m＞b或m＜a，矛盾．故a＜m＜b不可能成立．