人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用精品第2课时2课时学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用精品第2课时2课时学案设计，共7页。




探究一 函数零点存在性定理的应用


求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1).


解 由于f(－2)＝－1<0，


f(－3)＝4>0，故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：


由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，


所以函数的一个近似负零点可取－2.25.


[变式探究] 只将本例中的“负”改为“正”呢？


解 由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：


根据上表计算知，区间[2.187 5,2.25]的长度是0.062 5<0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值.所以其近似值可以为2.187 5.


[方法总结]


利用二分法求函数近似零点应关注三点


(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小.


(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间.


(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算.


探究二 一元二次方程根的分布问题


已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0.求a为何值时：


(1)方程有一正一负根；


(2)方程两根都大于1.


解 令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1.


(1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图像只有如图①、②两种情况.[来源:ZXXK]





因此f(x)＝0有一正一负根等价于


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－1,a)<0，,Δ＝12a＋4>0，))解得0

所以0

(2)方程两根都大于1时，f(x)对应的图像只有如图③、④两种情况.





因此f(x)＝0两根都大于1，等价于


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ>0，,\f(2a＋1,2a)>1，,f1>0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ>0，,\f(2a＋1,2a)>1，,f1<0.))解得a∈∅.


所以不存在实数a，使方程两根都大于1.


[方法总结]


解决有关一元二次方程根的分布问题应关注以下几点


(1)转化为相应的二次函数问题，并画出符合题意的函数的大致图像.


(2)结合图像考虑以下四个方面：①Δ与0的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向.


(3)写出由题意得到的不等式(组).


(4)由得到的不等式(组)去验证图像是否符合题意.


这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点.在写不等式时要注意条件的完备性.


[变式探究] 本例已知条件不变，求a为何值时：


(1)方程有唯一实根；


(2)方程一根大于1，一根小于1.


解 (1)令f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1.


当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－eq \f(1,2)，符合题意；


当a≠0时，Δ＝4(a＋1)2－4a(a－1)＝0，


所以a＝－eq \f(1,3).


所以当a＝0或a＝－eq \f(1,3)时，方程有唯一实根.


(2)因为方程有一根大于1，一根小于1.


f(x)的大致图像如图⑤、⑥.





所以必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,f1<0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,f1>0.))解得a>0.


所以当a>0时，方程有一根大于1，一根小于1.











1.在函数零点存在性定理中，要注意三点


(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点.


2.利用二分法求方程近似解的步骤


(1)构造函数，利用图像确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；


(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；


(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点.


3.在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助二次函数的图像，通过数形结合来解，一般从：


①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号等四个方面分析.





课时作业(二十三) 函数零点的存在性及应用





1.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )


A.[－2,1] B.[－1,0]


C.[0,1] D.[1,2]


A [因为f(－2)＝－3<0，f(1)＝6>0，f(－2)·f(1)<0，故可取[－2,1]作为初始区间，用二分法逐次计算.]


2.已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：


那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )


A.2个 B.3个


C.4个 D.5个


B [由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0.


所以f(x)在[1,6]上至少有3个零点.]


3.若函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)在区间(1,2)上有零点，则a的值可能是( )


A.－2 B.0


C.1 D.3


A [f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a∈R)的图像在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当a＝－2时，f(1)＝1－2＝－1<0，f(2)＝2－1＝1>0.故f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合.]


4.对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内( )


A.一定有零点 B.一定没有零点


C.可能有两个零点 D.至少有一个零点


C [若函数f(x)的图像及给定的区间(a，b)，如图①或图②所示，可知A，D错，若如图③所示，可知B错.


]


5.已知函数y＝f(x)的图像如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________.





x3 [因为x3左右两侧的函数值同号，所以其不能用二分法求解.]


6.用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)<0.取区间的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间).


(2,3) [因为f(2)·f(3)<0，所以零点在区间(2,3)内.]


7.若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________.


(－1,0) [因为f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0<0，,f1>0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b<0，,1＋b>0，))


所以－1

8.对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：


①在(－2，－1)内有实数根；


②在(－1,0)内有实数根；


③在(1,2)内有实数根；


④在(－∞，＋∞)内没有实数根.


其中正确的有______________.(填序号)


①②③ [设f(x)＝x3＋x2－2x－1，则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，


则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)，(1,2)内均有零点，即①②③正确.]


9.二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则a的取值范围是___________.


a＞0 [因为二次函数y＝x2－2ax＋a－1的开口向上，又其一个零点大于1，另一个零点小于1，所以当x＝1时，其函数值小于零，即12－2a×1＋a－1＜0.所以a＞0.]


10.当a取何值时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？


解 ①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意.


②当a>0时，设f(x)＝ax2－2x＋1.


因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0>0，,f1<0，,f2>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1>0，,a－2＋1<0，,4a－4＋1>0.))解得eq \f(3,4)

③当a<0时，设方程的两根为x1，x2，则x1x2＝eq \f(1,a)<0，


x1，x2一正一负不符合题意.


综上，a的取值范围是eq \f(3,4)

11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.


(1)写出函数f(x)的解析式；


(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求实数a的取值范围.


解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，因为函数f(x)是奇函数，[来源:学*科*网]


所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，


所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0,－x2－2x，x<0)).


(2)作出函数f(x)的图像，如图所示，





根据图像，得若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则－1




1.若a

A.(b，c)和(c，＋∞)内 B.(－∞，a)和(a，b)内


C.(a，b)和(b，c)内 D.(－∞，a)和(c，＋∞)内


C [由于a0，f(b)＝(b－a)(b－c)<0, f(c)＝(c－b)(c－a)>0，根据零点的存在性定理可知，函数的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内.]


2.若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法正确的是( )


A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上一定没有零点


B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定有零点


C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有零点


D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有零点


C [因为f(0)·f(1)<0，故f(x)在(0,1)内一定有零点.





尽管f(1)·f(2)>0，f(x)在(1,2)内也可能有零点如图.]


3.若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有两个正实根，则m的取值范围是________.


(0, 1] [由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝m－32－4m≥0，,x1＋x2＝3－m>0，,x1x2＝m>0，))解得0

4.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于__________.


3 0 [因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0.又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0.]


5.已知函数f(x)＝x2－bx＋3.


(1)若f(0)＝f(4)，求函数f(x)的零点；


(2)若函数f(x)的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的范围.


解 (1)因为f(0)＝f(4)，所以3＝16－4b＋3，


即b＝4，所以f(x)＝x2－4x＋3，


令f(x)＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1.


所以f(x)的零点是1和3.[来源:]


(2)因为f(x)的零点一个大于1，另一个小于1，如图.





需f(1)<0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b2－12≥0，,1－b＋3<0，))所以b>4.


6.(拓广探索)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点.


(1)求实数a的取值范围；


(2)若a＝eq \f(32,17)，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根.


解 (1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，所以a≠0.


由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1<0，,a－2>0，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－1>0，,a－2<0，))所以1

故实数a的取值范围为1

(2)若a＝eq \f(32,17)，则f(x)＝eq \f(32,17)x3－eq \f(64,17)x＋eq \f(28,17)，


所以f(－1)＝eq \f(60,17)>0，f(0)＝eq \f(28,17)>0，f(1)＝－eq \f(4,17)<0.


所以函数零点在(0,1)上.


又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，所以方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为eq \f(1,2).


区间
中点的值
中点函数近似值
(－3，－2)
－2.5
1.25
(－2.5，－2)
－2.25
0.062 5
(－2.25，－2)
－2.125
－0.484 4
(－2.25，－2.125)
－2.187 5
－0.214 8
(－2.25，－2.187 5)
－2.218 75
－0.077 1
区间
中点
中点函数值
[2,3]
2.5
1.25
[2,2.5]
2.25
0.062 5
[2,2.25]
2.125
－0.484 4
[2.125,2.25]
2.187 5
－0.214 8
[2.187 5,2.25]
2.218 75
－0.077 1
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6