初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.4 整式的乘法教学设计

这是一份初中数学人教版八年级上册第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法14.1.4 整式的乘法教学设计，共12页。教案主要包含了教学目标，重点难点，板书设计，教学反思等内容，欢迎下载使用。

第1课时 单项式与单项式相乘








┃教学过程设计┃








【教学目标】


1.掌握单项式与单项式相乘的法则，能准确的依据法则进行计算.


2.理解单项式的乘法运算的算理，体会乘法交换律、结合律的作用，发展有条理的思考及语言表达能力.


【重点难点】


重点：单项式与单项式相乘的法则.


难点：对单项式的乘法运算的算理的理解.
教学过程
设计意图
一、复习旧知，导入新课


1.下列代数式中，哪些是单项式？哪些是多项式？是单项式的说出系数与次数，是多项式的说出次数与项数.


－2x3；1＋y；eq \f(4,5)ab3c；－y；6x2－x＋5；eq \f(3ab,10).


2.计算：(1)x2·x3·x3；(2)－x·(－x)2；(3)(a2)3；(4)(－3x3y)2.


3.光的速度约为每秒3×105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5×102秒，地球与太阳的距离约是多少千米？


师生活动：(1)学生口答，同学纠正；


(2)学生板演，订正答案，学生回忆学过的三个基本公式，注意公式的符号语言与文字语言；


(3)学生计算.
学生从七年级学过整式到现在已经很长时间未接触整式，因此设计了第1题，旨在回忆旧知，为学生较好的掌握单项式的乘法法则打下良好的基础；第2题通过对三个基本乘法公式的复习，使学生进一步熟练掌握公式.
二、师生互动，探究新知


问题1：如果将上面第3题中的数字改为字母，即ac5·bc2，怎样计算？


师生活动：学生尝试，小组内交流，得出结果.


ac5·bc2是两个单项式ac5与bc2相乘，我们可以利用乘法交换律，结合律及同底数幂相乘的运算性质来计算：ac5·bc2＝(a·b)·(c5·c2)＝abc5＋2＝abc7.


追问：这是什么运算？如何进行运算？


生：乘法运算，单项式乘以单项式.


引出课题并板书.


问题2：你能类比上题计算2x2y·3xy2；4a2x5·(－3a3bx)吗？


学生尝试计算，交流，展示计算过程.


(1)2x2y·3xy2


＝(2×3)(x2·x)(y·y2)


＝6x3y3；


(2)4a2x5·(－3a3bx)


＝[4×(－3)](a2·a3)·b·(x5·x)


＝－12a5bx6.


教师追问：用到了哪些知识？怎么进行单项式乘以单项式的运算？


问题3：你能总结单项式乘以单项式的规律吗？


单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.















单项式乘以单项式的法则依据实际上是乘法的交换律和结合律，学生在七年级整式的加减中就已经接触了从数字到字母的过渡，结合以上两点，从特殊到一般，从具体到抽象，当实际问题中的数字换成字母后学生依旧可以类比数的运算得到式的运算，从而使学生进一步体会数式同理的思想，这样归纳法则就水到渠成了.在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则.
三、运用新知，解决问题


计算：(1)(－5a2b3)(－3a)； (2)(2x)3(－5x2y)；


(3)eq \f(2,3)x3y2·(－eq \f(3,2)xy2)2； (4)(－3ab)·(－a2c)2·6ab(c2)3.


师生活动：学生读题，共同分析，第(1)题为单项式乘以单项式，直接运用法则，(2)(3)(4)题有乘法运算，应先计算乘方，再运用单项式乘以单项式的法则.


学生板演，小组交流，教师巡回指导.


反思：通过以上练习，你认为单项式乘以单项式运算过程中要注意什么问题？


小组交流，师生共同总结：


(1)①系数相乘：有理数的乘法，先确定符号，再计算绝对值；


②相同字母相乘：同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；


③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式.


(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则.


(3)单项式相乘的结果仍是单项式.


(4)有乘方的先进行乘方运算，再进行乘法运算.
让学生进一步熟悉单项式乘以单项式的法则，也可以将这一法则推广至多个单项式相乘，体会式的运算顺序与数的运算顺序一致性.
四、课堂小结，提炼观点


通过本节课的学习，你认为单项式乘以单项式应注意什么问题？其根据是什么？


你还有什么疑惑？
梳理本节知识，反思计算中的易错点，把新知识纳入知识体系，为后续知识的学习打下良好基础.
五、布置作业，巩固提升


教材第104页 第3题
【板书设计】


单项式与单项式相乘


单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.

【教学反思】


单项式乘以单项式用到了有理数的乘法、幂的运算性质，而后续的多项式与单项式的乘法，都要转化为单项式乘法.因此，单项式乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有独特地位.所以在教学中先对所学知识进行回顾，再从实际问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索.最后由学生自己小结出如何进行单项式的乘法.












































































































第2课时 单项式与多项式相乘








┃教学过程设计┃









































第3课时 多项式与多项式相乘【教学目标】


1.探索并了解单项式与多项式相乘的法则，会运用法则进行简单计算.


2.进一步理解数学中“转化”“换元”的思想方法，即把单项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘.


3.逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的严密性和初步解决问题的愿望和能力.


【重点难点】


重点：单项式与多项式相乘的法则及其运用.


难点：单项式与多项式相乘去括号法则的应用.
教学过程
设计意图
一、复习旧知，导入新课


1.判断正误.如果不对，应如何改正？


(1)4a3·2a3＝8a9；(2)(ab)2·(ab3)＝a3b5；(3)(－2x2)3·xy2＝8x7y2.


2.计算：


(1)a6b·(－4a3b)； (2)(2a2b3c)·(－3ab).


3.单项式与单项式相乘的法则是什么？


师生活动：学生口答第1题，计算第2题，教师巡回指导，结合1，2题回忆单项式乘以单项式的法则.
通过1，2两题回忆单项式乘以单项式的法则，为下面的学习做了良好的铺垫，为后续单项式乘以多项式的学习做好知识储备.
二、师生互动，探究新知


问题1：三家连锁店以相同的价格m(单位：元/瓶)销售某种商品，它们在一个月内的销售量(单位：瓶)分别是a，b，C.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？


师生活动：


1.让学生分析题意，可得出两种解法：


解法(一)：先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入(单位：元)为：m(a＋b＋c)，①


解法(二)：先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入(单位：元)为：ma＋mb＋mc，②


请学生探究①和②表示的结果是否一致？由于①和②表示同一个量，所以m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC.


2.你能用学过的知识解释这一结论吗？


由乘法分配律的公式推出结论m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC.


问题2：尝试计算4x2·(3x＋1)，并说出你的根据.


师生活动：学生尝试，小组交流，教师指导，最后班内交流.


问题3：从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘？


师生活动：学生发言，互相补充，教师点拨.


归纳：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论.
三、运用新知，解决问题


1.计算a(1＋b－b2).


2.计算(1)(－2a)·(2a2－3a＋1)；(2)(－4x)·(3x－1).


师生活动：学生独立解答，教师巡回指导，发现问题及时解决.在订正完答案后反思：


(1)单项式与多项式相乘的实质是利用分配律把单项式乘以多项式转化为单项式乘法；


(2)单项式乘多项式的结果仍是多项式，积的项数与原多项式的项数相同；


(3)在单项式乘法运算中要注意系数的符号；


(4)不要出现漏乘现象，运算要有顺序.
让学生熟悉单项式乘以多项式的法则，熟练进行计算，并善于将所学新知识纳入已有的知识体系，培养及时反思的学习习惯.
四、课堂小结，提炼观点


本节课学习了什么内容？应注意的地方有哪些？
五、布置作业，巩固提升


教材第105页 第4题
【板书设计】


单项式与多项式乘法


m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc


单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

【教学反思】


无论是单项式乘以单项式“转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法，还是将来学习的多项式乘以多项式“转化”为单项式的乘法，学生都从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行.而这恰恰是找到知识的生长点，构建知识体系的内在要求.









┃教学过程设计┃














【教学目标】


1.理解多项式乘法的法则，并会进行多项式乘法的运算.


2.经历探索多项式乘法的法则的过程，使学生感受数学与生活的联系，同时感受整体思想、转化思想、数形结合思想，并培养学生的抽象思维能力.


【重点难点】


重点：多项式与多项式相乘的法则的概括与运用.


难点：灵活运用法则进行计算和化简.
教学过程
设计意图
一、复习旧知，导入新课


1.计算：(1)－2x2·3xy2；(2)－2x(1－x)；


(3)x(4x2＋x)；(4)(4x2－eq \f(4,9)x－1)·9x.


2.结合上题回忆单项式乘以单项式，单项式乘以多项式的法则各是什么？


师生活动：第1题学生独立完成，之后小组交流，订正错误.结合第1题口答两个法则.
复习单项式乘以单项式、单项式乘以多项式的方法，为本节课的学习做好铺垫.
二、师生互动，探究新知


问题1：在计算x(4x2＋x)时，x代表一个单项式，如果x＝y＋2，则式子转化为(y＋2)(4x2＋x)，你能计算它的结果吗？


师生活动：学生尝试，小组合作，教师巡回指导，班内交流.


问题2：类比上题计算：(a＋b)(p＋q).


师生活动：学生尝试，小组合作，教师指导.


学生如出现计算困难，教师可在此提示，如何类比上题，能否将(a＋b)看做一个字母或将(p＋q)看做一个字母？


追问1：再次观察：以上运算过程，从形式上说，这是什么运算？


追问2：多项式乘以多项式是怎么进行计算的？


问题3：你能归纳多项式乘以多项式的法则吗？


师生活动：学生尝试归纳，其他学生补充，师生共同得出法则.


法则：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.


问题4：课件出示教材第100页问题3.


师生活动：学生独立计算，小组内交流.


法1：(a＋b)(p＋q)


法2：pa＋pb＋qa＋qb


法3：(p＋q)a＋(p＋q)b


法4：p(a＋b)＋q(a＋b)


追问：从以上过程你能否得出多项式乘以多项式的法则？你又有什么体会？
通过把单项式换成多项式，得出多项式乘以多项式法则，使学生进一步体会单项式乘以多项式法则中单项式所代表的意义，渗透整体的思想，培养学生由旧知生成新知的能力.








借助几何图形的直观，进一步验证法则，让学生对这个法则有直观感受，体会解决问题方法的多样性，渗透数形结合的思想.
三、运用新知，解决问题


计算：(1)(3x＋1)(x－2)； (2)(x－8y)(x－y)；


(3)(x＋y)(x2－xy＋y2)； (4)(x－y)2.


师生活动：学生独立完成，找4名学生板演，师生共同纠正错误.


反思：多项式乘以多项式计算时要注意什么问题？


师生共同归纳：(1)不要漏乘；(2)注意符号；(3)结果能合并的要合并.
设计不同类型的题目，让学生熟悉各种题型，及时巩固所学新知.
四、课堂小结，提炼观点


(1)本节课学习了哪些主要内容？


(2)在运用多项式与多项式相乘的法则时，你认为应该注意哪些问题？


(3)举例说明在探索多项式与多项式相乘的法则的过程中，体现了哪些思想方法？
对本节知识进行一个汇总，使学到的内容得到升华.
五、布置作业，巩固提升


教材第105页 第5题
【板书设计】


多项式与多项式相乘




【教学反思】


在教学过程中，学生发现多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了.从而让学生进一步体会“转化”的思想方法：学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的知识、方法，从而使学习能够进行.


























































































第4课时 同底数幂的除法








┃教学过程设计┃











【教学目标】


1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.


2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.


【重点难点】


重点：应用整式除法法则进行计算.


难点：根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.
教学过程
设计意图
一、复习旧知，导入新课


1.(1)28×27；(2)52×53；(3)m2×m5；(4)a3·a3.


2.(－x)·2x2；2m2n·4n.


3.同底数幂的乘法法则，单项式乘以单项式的法则各是什么？


师生活动：学生独立计算，订正答案.回忆法则.
通过复习同底数幂的乘法，单项式乘以单项式法则，为后续学习做准备.
二、师生互动，探究新知


问题1：填空：


(1)28×( )＝215； (2)52×( )＝58；


(3)m2×( )＝m7; (4)a3·( )＝a6.
师生活动：学生填空.教师追问原因.


计算：(1)215÷28； (2)58÷52；


(3)m7÷m2; (4)a6÷a3.


追问1：以上计算，是什么运算？有什么特点？你能总结规律吗？


师生活动：学生尝试总结，小组交流，班内发言，师生共同归纳.


同底数幂相除，底数不变，指数相减.


追问2：以上法则能用字母表示吗？


学生总结：am÷an＝am－n.


追问3：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？


对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.


即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).


练习：(1)x7÷x5; (2)y4÷y；


(3)(ab)8÷(ab)5; (4)am÷am.


师生活动：学生计算am÷am时，可能会出现1或a0两个答案，教师顺势归纳：从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定：a0＝1(a≠0).


追问4：为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？


问题2：类比上述研究过程计算以下两题，你又发现什么规律？


(1)－2x3÷(－x)；


(2)8m2n2÷2m2n.


师生活动：学生以小组为单位计算，类比归纳，教师巡回指导，发现问题及时纠正.


之后小组之间合作交流，得出单项式除以单项式的法则：


单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.


问题3：计算下列各式：


(1)(am＋bm)÷m; (2)(a2＋ab)÷a；


(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.


①说说你是怎样计算的？


②还有什么发现吗？


师生活动：在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同.


追问1：你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？


学生归纳，教师点拨：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.


追问2：你能把这句话写成公式的形式吗？


(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.
同底数幂的除法运算法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行，探究活动的安排，是使学生在引例的基础上，继续通过对具体的特例的计算，归纳出同底数幂相除的运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明.在这些活动中，学生的化归、符号演算等代数推理能力和有条理的表达能力得到进一步发展.














根据提供的一些多项式除以单项式的题目，鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题.数学中仍应提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流.学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可以利用逆运算进行考虑，这样做有利于培养学生良好的思维习惯.
三、运用新知，解决问题


1.计算：


(1)－8a2b3÷6ab2； (2)－21x2y4z2÷(－3x2y3).


2.计算：


(1)(12a3－6a2＋3a)÷3a；


(2)(21x4y3－35x3y2＋7x2y2)÷(－7x2y)；


(3)[(x＋y)2－y(2x＋y)－8x]÷2x.


学生板演，集体订正答案，教师规范步骤.
这里重要的是学生能理解运算法则及其探索过程，能够运用自己的语言叙述如何进行运算，不必要求学生背诵法则.用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识.
四、课堂小结，提炼观点


通过本节课的学习，你认为单项式除法应注意什么问题？你还有什么疑惑？
五、布置作业，巩固提升


教材第105页 第6题
【板书设计】


整式的除法


am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)


a0＝1(a≠0)


(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.

【教学反思】


本课的主要任务是通过教师引导探究同底数幂的除法法则，使学生通过类比，利用乘除互为逆运算的关系，自主探究完成单项式除以单项式，多项式除以单项式法则的推导.实践证明，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构基础上，建构整式的除法法则.同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率.