人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法精品随堂练习题

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2022-2023学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）基础
第14章《整式的乘法与因式分解》
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考试时间：120分钟 试卷满分：100分
一、选择题(共10题；每题2分，共20分)
1．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（　　）
A．（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2
B．x2﹣4+2x＝（x+2）（x﹣2）+2x
C．2a（b+c）＝2ab+2ac
D．x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）
解：A．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B．原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；
C．原式是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
D．原式符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
2．（2分）（2022春•开福区校级期末）下列运算正确的是（　　）
A．（a+4）2＝a2+16 B．a3•a4＝a12
C．（﹣a）4＝﹣a4 D．7x3﹣2x3＝5x3
解：A、原式＝a2+8a+16，故A符合题意．
B、原式＝a7，故B不符合题意．
C、原式＝a4，故C不符合题意．
D、原式＝5x3，故D符合题意．
故选：D．
3．（2分）（2022•岳麓区一模）下列运算正确的是（　　）
A．a2+4a2＝5a4 B．（2x﹣y）2＝4x2﹣y2
C．（﹣2ab3）2＝4a2b6 D．x8÷x4＝x2
解：A：a2+4a2＝5a2≠5a4，故A不符合题意；
B：（2x﹣y）2＝4x2﹣4xy+y2≠4x2﹣y2，故B不符合题意；
C：（﹣2ab3）2＝4a2b6，故C符合题意；
D：x8÷x4＝x4≠x2，故D不符合题意；
故选C．
4．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）如果（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，则一定成立的是（　　）
A．a是b的相反数 B．a是b的倒数
C．a是﹣b的相反数 D．a是﹣b的倒数
解：∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，
而（a+b）2﹣（a﹣b）2
＝a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）
＝4ab，
∴4ab＝4，
则ab＝1，
故ab互为倒数．
故选：B．
5．（2分）（2022春•开福区校级期中）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A．m10÷m2＝m5 B．（2m）2＝2m2 C．m3•m2＝m5 D．m3+m2＝m5
解：A、m10÷m2＝m8，故A不符合题意；
B、（2m）2＝4m2，故B不符合题意；
C、m3•m2＝m5，故C符合题意；
D、m3与m2不属于同类项，不能合并，故D不符合题意；
故选：C．
6．（2分）（2021秋•长沙县期末）有一块长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形纸片，剪去一个长为2a+4，宽为b的小长方形，则剩余部分面积是（　　）

A．4ab﹣3a﹣2 B．6ab﹣3a+4b
C．6ab﹣3a+8b﹣2 D．4ab﹣3a+8b﹣2
解：剩余部分面积：
（3a+2）（2b﹣1）﹣b（2a+4）
＝6ab﹣3a+4b﹣2﹣2ab﹣4b
＝4ab﹣3a﹣2；
故选：A．
7．（2分）（2022•天心区开学）下列计算正确的是（　　）
A．a4+a3＝a7 B．（a3）2＝a5
C．a2•a3＝a5 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
解：A、a4与a3不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（a3）2＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a2•a3＝a5，原计算正确，故此选项符合题意；
D、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．（2分）（2021秋•雨花区校级期末）已知关于x的二次三项式x2+kx+4是完全平方式，则实数k的值为（　　）
A．2 B．±2 C．4 D．±4
解：∵关于字母x的二次三项式x2+kx+4是完全平方式，
∴k＝±4．
故选：D．
9．（2分）（2021春•开福区校级月考）已知（a﹣1）x|a|+3＝10是一元一次方程，则a的值为（　　）
A．1 B．0 C．﹣1 D．±1
解：∵方程（a﹣1）x|a|+3＝10是关于x的一元一次方程，
∴|a|＝1且a﹣1≠0．
解得a＝﹣1．
故选：C．
10．（2分）（2020春•射洪市期末）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也平衡，那么以下方案不正确的是（　　）

A． B．
C． D．
解：根据图示可得：
2●＝▲+■①，
●+▲＝■②，
由①②可得●＝2▲，■＝3▲，
则■+●＝5▲＝2●+▲＝●+3▲．
故选：A．
二、填空题(共10题；每题2分，共20分)
11．（2分）（2019秋•天心区校级期中）若（m+1）x|m|＝6是关于x的一元一次方程，则m等于 　1　．
解：根据题意得：m+1≠0且|m|＝1，
解得：m＝1．
故答案是：1．
12．（2分）（2015秋•天心区期中）若方程：（m﹣1）x|m|﹣2＝0是一元一次方程，则m的值为　﹣1　．
解：∵（m﹣1）x|m|﹣2＝0是一元一次方程，
∴，
∴m＝﹣1；
故答案为：﹣1．
13．（2分）（2018•开福区校级开学）关于x的方程（2k﹣1）x2﹣（2k+1）x+3＝0是一元一次方程，则k值为　　．
解：由题意，得
2k﹣1＝0且2k+1≠0，
解得k＝，
故答案为：．
14．（2分）（2022春•长沙期中）分解因式：6x2y﹣3xy＝　3xy（2x﹣1）　．
解：6x2y﹣3xy＝3x（2xy﹣y）．
故答案为：3xy（2x﹣1）．
15．（2分）（2022•长沙一模）因式分解：m2+2m＝　m（m+2）　．
解：m2+2m＝m（m+2）．
故答案为：m（m+2）．
16．（2分）（2021•开福区模拟）把多项式ax2﹣4ax+4a因式分解的结果是 　a（x﹣2）2　．
解：ax2﹣4ax+4a
＝a（x2﹣4x+4）
＝a（x﹣2）2．
故答案为：a（x﹣2）2．
17．（2分）（2022春•岳麓区校级期末）如图，边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，则a2b+ab2的值为 　30　．

解：∵边长为a，b的矩形的周长为10，面积为6，
∴2（a+b）＝10，ab＝6，
整理得：a+b＝5，ab＝6，
则原式＝ab（a+b）＝6×5＝30．
故答案为：30．
18．（2分）（2022•开福区校级二模）已知x+y＝﹣2，xy＝4，则x2y+xy2＝　﹣8　．
解：原式＝xy（x+y），
当x+y＝﹣2，xy＝4时，
原式＝﹣2×4＝﹣8，
故答案为：﹣8．
19．（2分）（2019秋•开福区校级期中）分解因式：2m3﹣8m2+8m＝　2m（m﹣2）2　．
解：原式＝2m（m2﹣4m+4）＝2m（m﹣2）2，
故答案为：2m（m﹣2）2．
20．（2分）（2019秋•天心区校级月考）若n满足（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，则（n﹣2019）（2020﹣n）＝　0　．
解：∵（n﹣2019）2+（2020﹣n）2＝1，
∴[（n﹣2019）+（2020﹣n）]2
＝（n﹣2019）2+2（n﹣2019）（2020﹣n）+（2020﹣n）2
＝1+2（n﹣2019）（2020﹣n）
＝1，
∴（n﹣2019）（2020﹣n）＝0．
故答案为：0．
三、解答题(共9题；共60分)
21．（6分）（2016秋•雨花区校级月考）因式分解：
（1）2a（x﹣y）﹣6b（x﹣y）
（2）﹣2a3+12a2﹣18a．
（3）x3﹣4x
（4）x（x﹣2）﹣3．
解：（1）原式＝2（x﹣y）（a﹣3b）；
（2）原式＝﹣2a（a2﹣6a+9）＝﹣2a（a﹣3）2；
（3）原式＝x（x2﹣4）＝x（x+2）（x﹣2）；
（4）原式＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）．
22．（6分）（2021秋•望城区期末）已知一个长方形的周长为20，其长为a，宽为b，且a，b满足a2﹣2ab+b2﹣4a+4b+4＝0，求a，b的值．
解：∵长方形的周长为20，其长为a，宽为b，
∴a+b＝20÷2＝10，
∵a2﹣2ab+b2﹣4a+4b+4＝0，
∴（a﹣b）2﹣4（a﹣b）+4＝0，
∴（a﹣b﹣2）2＝0
∴a﹣b﹣2＝0，
由此得方程组
解得：a＝6，b＝4．
23．（6分）（2021秋•岳麓区校级月考）若10y＝x（x，y为正数），那么我们把y叫做x的“师梅值”记作y＝M（x）例如：102＝100，我们把2叫做100的“师梅值”，记作M（100）＝2．
（1）根据“师梅值”的定义，填空：M（10）＝　1　；M（1000）＝　3　．
（2）性质：当p、q为正数时，M（pq）＝M（p）+M（q），．
①若M（a）＝3，求M（a2）；
②若M（2）＝0.3，M（3）＝0.5，求；
（3）若设M（3）＝a﹣b，M（5）＝2a+c，下列计算正确的是 　②③④⑤　（直接填序号），并选择一个正确的序号给予证明．
①M（9）＝（a﹣b）2；②M（2）＝1﹣2a﹣c；
③M（6）＝1﹣a﹣b﹣c；④M（1.5）＝3a﹣b+c﹣1；
⑤M（75）＝5a﹣b+2c．
解：（1）∵101＝10，
∴M（10）＝1．
∵103＝1000，
∴M（1000）＝3．
故答案为：1，3．
（2）①∵当p、q为正数时，M（pq）＝M（p）+M（q），
∴M（a2）＝M（a）+M（a）＝3+3＝6．
②∵当p、q为正数时，M（pq）＝M（p）+M（q），，
∴M（9）＝M（3）+M（3）＝0.5+0.5＝1，
＝M（2）﹣M（9）＝0.3﹣1＝﹣0.7．
（3）①M（9）＝M（3×3）＝M（3）+M（3）＝2M（3）＝2（a﹣b）≠（a﹣b）2，故①不正确；
②＝1﹣（2a+c）＝1﹣2a﹣c，故②正确；
③M（6）＝M（2×3）＝M（2）+M（3）＝（1﹣2a﹣c）+（a﹣b）＝1﹣a﹣b﹣c，故③正确；
④M（1.5）＝M（）＝M（3）+M（2）＝（a﹣b）﹣（1﹣2a﹣c）＝3a﹣b+c﹣1，故④正确；
⑤M（75）
＝M（3×25）
＝M（3）+M（25）
＝M（3）+M（5×5）
＝M（3）+M（5）+M（5）
＝（a﹣b）+（2a+c）+（2a+c）
＝5a﹣b+2c，故⑤正确．
故答案为：②③④⑤．
24．（6分）（2022春•雨花区校级月考）已知m+n＝3，mn＝2．
（1）当a＝2时，求am•an﹣（am）n的值；
（2）求（m﹣n）2+（m﹣2）（n﹣2）的值．
解：（1）∵m+n＝3，mn＝2，
∴原式＝am+n﹣amn
＝a3﹣a2，
当a＝2时，原式＝8﹣4＝4；
（2）∵m+n＝3，mn＝2，
∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝9﹣8＝1，
∴原式＝1+mn﹣2（m+n）+4
＝1+2﹣6+4
＝1．
25．（6分）（2021秋•开福区校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，则x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n），
即x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n，
∴，解得．
故另一个因式为x﹣7，m的值为﹣21．
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式x2+3x﹣k有一个因式是x﹣5，求另一个因式以及k的值．
解：另一个因式为x+p，
由题意得：x2+3x﹣k＝（x+p）（x﹣5），
即x2+3x﹣k＝x2+（p﹣5）x﹣5p，
则有，
解得，
所以另一个因式为：（x+8）；k的值为40．
26．（6分）（2021秋•芙蓉区校级月考）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，将其沿着虚线用剪刀均分成4块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）图2中阴影部分的正方形边长等于 　a﹣b　．
（2）图2中阴影部分的面积可以表示为 　（a﹣b）2　，也可以表示为 　（a+b）2﹣4ab　．
（3）根据（2）中的等量关系解决下面问题，若a+b＝5，ab＝6，求a﹣b的值．

解：（1）根据拼图可知，阴影正方形的边长为（a﹣b），
故答案为：a﹣b；
（2）阴影正方形的边长为（a﹣b），因此S阴影正方形的面积＝（a﹣b）2，
S阴影正方形的面积＝S大正方形的面积﹣S图1的面积＝（a+b）2﹣4ab，
故有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；
故答案为：（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab；
（3）由（2）得（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab，
当a+b＝5，ab＝6时，（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝52﹣4×6＝25﹣24＝1．
即a﹣b的值为1．
27．（8分）（2019秋•雨花区期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4，12，20都是“神秘数”．
（1）28是“神秘数”吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？为什么？
（3）根据上面的提示，判断2020是否为“神秘数”？如果是，请写出两个连续偶数平方差的形式；如果不是，说明理由．
（4）两个连续奇数的平方差（取正数）是“神秘数”吗？为什么？
解：（1）∵28＝82﹣62，
∴28是“神秘数”；
（2）两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数．理由如下：
（2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1），
∴两个连续偶数构成的“神秘数”是4的倍数，
∵2k+1是奇数，
∴它是4的倍数，不是8的倍数；
（3）∵2020＝505×4，
∴2020是“神秘数”，2020＝5062﹣5042，
（4）设两个连续的奇数为：2k+1，2k﹣1，则
（2k+1）2﹣（2k﹣1）2＝8k，
此数不是4的奇数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
28．（8分）（2021秋•长沙县期末）方法探究：
已知二次多项式x2﹣4x﹣21，我们把x＝﹣3代入多项式，发现x2﹣4x﹣21＝0，由此可以推断多项式中有因式（x+3）．设另一个因式为（x+k），多项式可以表示成x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x+k），则有x2﹣4x﹣21＝x2+（k+3）x+3k，因为对应项的系数是对应相等的，即k+3＝﹣4，解得k＝﹣7，因此多项式分解因式得：x2﹣4x﹣21＝（x+3）（x﹣7）．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
（1）对于二次多项式x2﹣4，我们把x＝　±2　代入该式，会发现x2﹣4＝0成立；
（2）对于三次多项式x3﹣x2﹣3x+3，我们把x＝1代入多项式，发现x3﹣x2﹣3x+3＝0，由此可以推断多项式中有因式（x﹣1），设另一个因式为（x2+ax+b），多项式可以表示成x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），试求出题目中a，b的值；
（3）对于多项式x3+4x2﹣3x﹣18，用“试根法”分解因式．
解：（1）当x＝±2时，x2﹣4＝0，
故答案为：±2；
（2）由题意可知x3﹣x2﹣3x+3＝（x﹣1）（x2+ax+b），
∴x3﹣x2﹣3x+3＝x3﹣（1﹣a）x2﹣（a﹣b）x﹣b，
∴1﹣a＝1，b＝﹣3，
∴a＝0，b＝﹣3；
（3）当x＝2时，x3+4x2﹣3x﹣18＝8+16﹣6﹣18＝0，
∴多项式有因式（x﹣2），
设另一个因式为（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝x3+（a﹣2）x2﹣（2a﹣b）x﹣2b，
∴a﹣2＝4，2b＝18，
∴a＝6，b＝9，
∴x3+4x2﹣3x﹣18＝（x﹣2）（x2+6x+9）＝（x﹣2）（x+3）2．
29．（8分）（2018秋•天心区校级期中）【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc　．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝　30　．
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝　9　．
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：　x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．　．

解：（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，…（2分）
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，
∴102＝a2+b2+c2+2×35，
∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，
故答案为：30；…（4分）
（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，
∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，
∴，
∴x+y+z＝9，
故答案为：9；…（6分）
（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，
∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．
故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．…（8分）