人教版八年级上册14.1.4 整式的乘法学案

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14.1 整式的乘除
教学目标：
整式的乘除是建立在有理数的运算、运算律以及整式加减法的基础上，通过引入同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则、积的乘方法则给出整式的乘除运算。
教学重难点：
教学重点：多项式的乘除法和乘法公式
教学难点：多项式的乘除法以及有关“数”的表示形式的教学。学习多项式的乘除法要归结为学好单项式的乘除，而单项式的运算又要以幂的运算为基础，所以幂的运算时本章的教学关键。
知识点一：同底数幂的乘法（重点）
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an=a m+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap=a m+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）²与
（a2b2）³，（x-y）2与（x-y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
【例题】计算（x﹣y）3•（y﹣x）=（　　）
A．（x﹣y）4 B．（y﹣x）4 C．﹣（x﹣y）4 D．（x+y）4
【分析】根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算．
【解答】解：（x﹣y）3•（y﹣x）
=﹣（x﹣y）3•（x﹣y）
=﹣（x﹣y）3+1
=﹣（x﹣y）4．
故选：C．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质．解题时，要先转化为同底数的幂后，再相乘．
【变式1】5x=8，5y=6，则5x+y=　 　．
【分析】利用同底数幂的乘法的逆运算把5x+y化为5x×5y，即可求得答案．
【解答】解：
∵5x=8，5y=6，
∴5x+y=5x×5y=8×6=48，
故答案为：48．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加，是解题的关键．
【变式2】阅读理解：
乘方的定义可知：an=a×a×a×…×a（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：
32×35=（3×3）×（3×3×3×3×3）=3×3×…×3=37（7个3相乘）
42×45=（4×4）×（4×4×4×4×4）=4×4×…×4=47（7个4相乘）
52×55=（5×5）×（5×5×5×5×5）=5×5×…×5=57（7个5相乘）
（1）20172×20175=　 　；
（2）m2×m5=　 　；
（3）计算：（﹣2）2016×（﹣2）2017．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法可以解答本题；
（2）根据同底数幂的乘法可以解答本题；
（3）根据同底数幂的乘法可以解答本题．
【解答】解：（1）20172×20175=20177，
故答案为：20177；
（2）m2×m5=m7，
故答案为：m7；
（3）（﹣2）2016×（﹣2）2017
=（﹣2）2016+2017
=（﹣2）4033
=﹣24033
【点评】本题考查同底数幂的乘法，解答本题的关键是明确同底数幂乘法的计算方法．

知识点二：幂的乘方（重点）
幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n=amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别。
【例题】下列计算正确的是（　　）
A．a+a=a2 B．a•a=a2 C．（a3）2=a5 D．a2•a3=a6
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可
【解答】解：A、结果是2a，故本选项错误；
B、结果是a2，故本选项正确；
C、结果是a6，故本选项错误；
D、结果是a5，故本选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法的应用，能正确运用法则进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度不是很大　
【变式1】已知2a=3，2b=6，2c=12，则a，b，c的关系为①b=a+1②c=a+2③a+c=2b④b+c=2a+3，其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】分别利用同底数幂的乘除法运算法则得出a，b，c直接的关系即可．÷
【解答】解：∵2a=3，2b=6，2c=12，
∴2b÷2a=2，
∴b﹣a=1，
∴b=a+1，故①正确；
2c÷2a=22，
则c﹣a=2，故②正确；
2a×2c=（2b）2，
则a+c=2b，故③正确；
∵2b×2c=（2a）2×23，
∴b+c=2a+3，故④正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘除运算法则，正确应用运算法则是解题关键
　
【变式2】下列运算结果是a6的式子是（　　）
A．a2•a3 B．（﹣a）6 C．（a3）3 D．a12﹣a6
【分析】先将选项中的式子进行化简算出正确的结果，然后进行对照即可解答本题．
【解答】解：∵a2•a3=a5，（﹣a）6=a6，（a3）3=a9，a12﹣a6无法合并，
故选：B．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、合并同类项、同底数幂的乘法，解题的关键是明确它们各自的计算方法．

知识点三：积的乘方（重点）
积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n=anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
【例题】计算（﹣a2b）3的结果是（　　）
A．﹣a6b3 B．a6b C．3a6b3 D．﹣3a6b3
【分析】利用积的乘方性质：（ab）n=an•bn，幂的乘方性质：（am）n=amn，直接计算．
【解答】解：（﹣a2b）3=﹣a6b【变式2】
故选：A．
【点评】本题考查了幂运算的性质，注意结果的符号确定，比较简单，需要熟练掌握．　
【变式1】化简（2x）2的结果是（　　）
A．x4 B．2x2 C．4x2 D．4x
【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
【解答】解：（2x）2=4x2，
故选：C．
【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．　
【变式2】计算结果不可能m8的是（　　）
A．m4•m4 B．（m4）2 C．（m2）4 D．m4+m4
【分析】结合幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的概念和运算法则进行求解即可．
【解答】解：A、m4•m4=m8，本选项错误；
B、（m4）2=m8，本选项错误；
C、（m2）4=m8，本选项错误；
D、m4+m4=2m4≠m8，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方、解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．

知识点四：单项式乘单项式（重点）
运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
注意：①在计算时，应先进行符号运算，积的系数等于各因式系数的积；②注意按顺序运算；③不要丢掉只在一个单项式里含有的字母因式；④此性质对于多个单项式相乘仍然成立．
【例题】3x2可以表示为（　　）
A．x2+x2+x2 B．x2•x2•x2 C．3x•3x D．9x
【分析】分别利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则、单项式乘以单项式运算法则化简求出答案．
【解答】解：A、x2+x2+x2=3x2，故此选项正确；
B、x2•x2•x2=x6，故此选项错误；
C、3x•3x=9x2，故此选项错误；
D、9x≠3x2，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘法运算、单项式乘以单项式等知识，正确掌握运算法则是解题关键．　
【变式1】下列运算正确的是（　　）
A． x2•x3=x6 B．2a+3b=5ab
C．（﹣2x）2=﹣4x2 D．（﹣2x2）（﹣3x3）=6x5
【分析】根据单项式的乘法、合并同类项以及单项式的除法法则得出．
【解答】解：A、x2•x3=x2+3=x5，故本选项错误；
B、2a与3b不是同类项，故本选项错误；
C、（﹣2x）2=4x2，故本选项错误；
D、利用单项式的乘法的法则，系数和系数相乘，字母与字母相乘，本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查单项式的乘法、合并同类项以及单项式的除法法则，熟练掌握运算法则是解题的关键．
单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式．
合并同类项时把系数相加减，字母与字母的指数不变．
单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．　
【变式2】计算（﹣x）•（﹣2x2）（﹣4x4）的结果为（　　）
A．﹣4x6 B．﹣4x7 C．4x8 D．﹣4x8
【分析】根据单项式乘以单项式法则进行计算即可．
【解答】解：（﹣x）•（﹣2x2）（﹣4x4）=﹣4x7，
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式法则的应用，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．

知识点五：单项式乘多项式（重点）
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．
【例题】一个长方体的长、宽、高分别3a﹣4，2a，a，它的体积等于（　　）
A．3a3﹣4a2 B．a2 C．6a3﹣8a2 D．6a2﹣8a
【分析】根据长方体的体积=长×宽×高，列出算式，再根据单项式乘多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：由题意知，V长方体=（3a﹣4）•2a•a=6a3﹣8a² 故选：C．
【点评】本题考查了多项式乘单项式的运算法则，要熟练掌握长方体的体积公式．
【变式1】化简x（2x﹣1）﹣x2（2﹣x）的结果是（　　）
A．﹣x3﹣x B．x3﹣x C．﹣x2﹣1 D．x3﹣1
【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式=2x2﹣x﹣2x2+x3=x3﹣x，
故选：B．
【点评】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式2】要使（x2+ax+5）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，则a应等于（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．0
【分析】先展开，再根据题意得出x4项的系数为0即可．
【解答】解：（x2+ax+5）（﹣6x3）=﹣6x5﹣6ax4﹣30x3，
∵（x2+ax+5）（﹣6x3）的展开式中不含x4项，
∴﹣6a=0，
∴a=0，
故选：D．
【点评】本题考查了单项式乘以多项式，掌握运算法则是解题的关键．
知识点六：多项式乘多项式（重点）
（1）多项式与多项式相乘的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
（2）运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
【例题】使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）乘积中不含x2与x3项的p、q的值是（　　）
A．p=0，q=0 B．p=3，q=1 C．p=﹣3，q=﹣9 D．p=﹣3，q=1
【分析】把式子展开，找到所有x2和x3项的系数，令它们的系数分别为0，列式求解即可．
【解答】解：∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q），
=x4﹣3x3+qx2+px3﹣3px2+pqx+8x2﹣24x+8q，
=x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p+8）x2+（pq﹣24）x+8q．
∵乘积中不含x2与x3项，
∴p﹣3=0，q﹣3p+8=0，
∴p=3，q=1
故选：B．
【点评】灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理．
【变式1】下列计算正确的是（　　）
A．a2•a3=a6 B．（a+b）（a﹣2b）=a2﹣2b2
C．（ab3）2=a2b6 D．5a﹣2a=3
【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；多项式乘以多项式的法则，可表示为（a+b）（m+n）=am+an+bm+bn；积的乘方：等于把积的每一个因式分别乘方再把所得的幂相乘；合并同类项：只把系数相加，字母部分完全不变，一个个计算筛选，即可得到答案．
【解答】解：A、a2•a3=a 2+3=a5，故此选项错误；
B、（a+b）（a﹣2b）=a•a﹣a•2b+b•a﹣b•2b=a2﹣2ab+ab﹣2b2=a2﹣ab﹣2b² 故此选项错误；
C、（ab3）2=a2•（b3）2=a2b6，故此选项正确；
D、5a﹣2a=（5﹣2）a=3a，故此选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查多项式乘以多项式，同底数幂的乘法，积的乘方，合并同类项的法则，注意正确把握每一种运算的法则，不要混淆．　
【变式2】若x+y=3且xy=1，则代数式（1+x）（1+y）的值等于（　　）
A．5 B．﹣5 C．3 D．﹣3
【分析】将x+y=3、xy=1代入原式=1+x+y+xy，据此可得．
【解答】解：当x+y=3、xy=1时，
原式=1+y+x+xy
=1+3+1
=5，
故选：A．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的法则及整体代入思想的运用．

知识点七：同底数幂的除法（重点）
同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．
am÷an=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）
①底数a≠0，因为0不能做除数；
②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；
③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．

【例题】若3x=15，3y=5，则3x﹣y等于（　　）
A．5 B．3 C．15 D．10
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减，可得答案．
【解答】解：3x﹣y=3x÷3y=15÷5=3，
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
【变式1】下列计算正确的是（　　）
A．a2•a4=a8 B．a3÷a2=a
C．2x2+x2=2x4 D．（﹣2a2b）3=﹣6a5b3
【分析】分别根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘进行计算即可．
【解答】解：A、a2•a4=a6，故原题计算错误；
B、a3÷a2=a，故原题计算正确；
C、2x2+x2=3x2，故原题计算错误；
D、（﹣2a2b）3=﹣8a6b3，故原题计算错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，关键是熟练掌握各计算法则．
【变式2】若4m×8÷2m的值为16，则m=　　．
【分析】根据幂的乘方，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解答】解：4m×8÷2m=22m•23÷2m=22m+3﹣m=24，
解得m=1，
故答案为：1
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

知识点八：零指数幂的性质（难点）
零指数幂：a0=1（a≠0）
由am÷am=1，am÷am=am-m=a0可推出a0=1（a≠0）
注意：00≠1
【例题】计算：﹣12014﹣（﹣1）0的结果正确的是（　　）
A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1
【分析】利用零指数幂的定义求解即可．
【解答】解：﹣12014﹣（﹣1）0
=﹣1﹣1
=﹣2
故选：C．
【点评】本题主要考查了零指数幂，解题的关键是熟记零指数幂的定义．
【变式1】若（n+3）2n的值为1，则n的值为　 　．
【分析】分别讨论，①底数为±1，②底数不为零，指数为0的情况，得出n的值即可．
【解答】解：①当n+3=1时，n=﹣2，此时12n=1﹣4=1；
②当n+3=﹣1时，n=﹣4，此时（﹣1）﹣8=（﹣1）﹣8=1；
③当n+3≠0，2n=0时，n=0，此时30=1；
故可得n的值为﹣2，﹣4，0．
故答案为：﹣2，﹣4，0．
【点评】本题考查了零指数幂的知识，需要分情况讨论，注意不要漏解．
【变式2】如果等式（2a﹣1）a+2=1成立，则a的值为　 　．
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）可得a+2=0，且2a﹣1≠0，1的任何次方都是1可得2a﹣1=1，再解即可．
【解答】解：由题意得：
①2a﹣1=1，
解得：a=1，
②a+2=0，且2a﹣1≠0，
解得：a=﹣2，
③当a=0时，原式=1
故答案为：0或1或﹣2
【点评】此题主要考查了零指数幂和有理数的乘方，关键是要分类讨论．

知识点九：单项式除以单项式（重点）
单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．
注意：从法则可以看出，单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
【例题】下列运算正确的是（　　）
A．（2a2）2=2a4 B．6a8÷3a2=2a4 C．2a2•a=2a3 D．3a2﹣2a2=1
【分析】根据积的乘方法则判断A；根据单项式除以单项式的法则判断B；根据单项式乘以单项式的法则判断C；根据合并同类项的法则判断D．
【解答】解：A、（2a2）2=4a4，错误，故本选项不符合题意；
B、6a8÷3a2=2a6，错误，故本选项不符合题意；
C、2a2•a=2a3，正确，故本选项符合题意；
D、3a2﹣2a2=a2，错误，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，合并同类项，掌握各运算法则是解题的关键．
【变式1】计算：6a2b÷2a=　 　．
【分析】根据单项式除单项式的法则计算，再根据系数相等，相同字母的次数相同列式求解即可．
【解答】解：原式=3ab．
故答案是：3ab．
【点评】本题考查了单项式的除法法则，正确理解法则是关键．
【变式2】自编一个两个单项式相除的式子，使结果为2a2，你所编的式子为　 　．
【分析】根据单项式除以单项式法则即可得．
【解答】解：6a3÷3a=2a2，
故答案为：6a3÷3a．
【点评】本题主要考查整式的除法，熟练掌握单项式除以单项式法则是解题的关键．　
知识点十：多项式除以单项式（重点）
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．
说明：多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式．多项式除以单项式的结果仍是一个多项式．
【例题】计算（25x2+15x3y﹣5x）÷5x（　　）
A．5x+3x2y B．．5x+3x2y+1 C．5x+3x2y﹣1 D．5x+3x2﹣1
【分析】直接利用整式除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：（25x2+15x3y﹣5x）÷5x
=5x+3x2y﹣1
故选：C．
【点评】此题主要考查了整式除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式1】若矩形的面积为a2+ab，宽为a，则长为　 　．
【分析】根据多项式除以多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：矩形的宽=（a2+ab）÷a
=a+b
故答案为：a+b．
【点评】本题考查的是整式的除法，掌握多项式除以多项式的运算法则、因式分解是解题的关键．
【变式2】如果一长方形的面积为2x2+x，它的一条边长为x，则它的周长为（　　）
A．2x+1 B．3x+1 C．6x+1 D．6x+2
【分析】根据整式的除法，可得另一边长，根据整式的加法，可得答案．
【解答】解：另一边长为（2x2+x）÷x=2x+1，
周长为2[x+（2x+1）]=2（x+2x+1）=6x+2，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法，熟记整式的除法整式的加减是解题关键．

拓展点一：整式的混合运算
（1） 有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
【例题】计算：（﹣2）2+（﹣1）0﹣tan30°﹣（）﹣1；
【分析】按照实数的有关运算法则依次计算．（2）去括号，合并同类项．代值计算．
【解答】解：原式=4+1﹣×﹣3
=5﹣1﹣3
=1；
【点评】考查了实数的有关运算及整式的化简求值，是中考中常考题型．
【变式1】已知被除式是x3+2x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，则除式是（　　）
A．x2+3x﹣1 B．x2+2x C．x2﹣1 D．x2﹣3x+1
【分析】根据除式=进行计算即可．
【解答】解：∵被除式是x3+2x2﹣1，商式是x，余式是﹣1，
∴除式==x2+2x．
故选：B．
【点评】本题考查的是整式的混合运算，熟知除式=是解答此题的关键．
【变式2】观察下列关于自然数的等式：
（1）32﹣4×12=5　　　 （1）
（2）52﹣4×22=9　　　 （2）
（3）72﹣4×32=13　　 （3）
…
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第五个等式：112﹣4×　5　2=　21　；
（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．
【分析】（1）根据前三个找出规律，写出第五个等式；
（2）用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明．
【解答】解：（1）112﹣4×52=21，
故答案为：5；21；
（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=4n+1，
证明：（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1
【点评】本题考查的是整式的混合运算、数字的变化，掌握整式的混合运算法则、正确找出数字的变化规律是解题的关键．
　
拓展点二：整式乘法的应用
【例题】定义 为二阶行列式．规定它的运算法则为=ad﹣bc．那么当x=1时，二阶行列式的值为　 　．
【分析】根据题目中的新运算，可以求得题目中的二阶行列式的值．
【解答】解：∵=ad﹣bc，
∴
=（x+1）（x﹣1）﹣1×0
=x2﹣1﹣0
=x2﹣1，
当x=1时，原式=12﹣1=0，
故答案为：0．
【点评】本题考查整式的混合运算、新运算，解题的关键是明确行列式的计算方法．
【变式1】四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为a，正方形CEFG的边长为b，连接BD，BF和DF后得到三角形BDF，请用含字母a和b的代数式表示三角形BDF的面积可表示为（　　）

A．ab B．ab C．b2 D．a2
【分析】可利用S△BDF=S△BCD+S梯形EFDC﹣S△BFE，把a、b代入，化简即可求出△BDF的面积．
【解答】解：如图，
如图，S△BFD=S△BCD+S梯形CEFD﹣S△BEF
=a2+（a+b）×b﹣（a+b）b
=a²
故选：D．

【点评】本题主要考查了正方形的性质及列代数式的知识，关键是根据题意将所求图形的面积分割，从而利用面积和进行解答．
【变式2】探究应用：
（1）计算：（x+1）（x2﹣x+1）=　 　；（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=　 　．
（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含a、b的字母表示该公式为：　 　．
（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是　 　．
A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m+2n）（m2﹣2mn+2n2）
C．（3+n）（9﹣3n+n2） D．（m+n）（m2﹣2mn+n2）
【分析】根据多项式乘以多项式的法则即可计算出答案．
【解答】解：（1）（x+1）（x2﹣x+1）=x3﹣x2+x+x2﹣x+1=x3+1，
（2x+y）（4x2﹣2xy+y2）=8x3﹣4x2y+2xy2+4x2y﹣2xy2+y3=8x3+y3，
（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；
（3）由（2）可知选（C）；
故答案为：（1）x3+1；8x3+y3；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）=a3+b3；（3）（C）
【点评】本题考查多项式乘以多项式，同时考查学生的观察归纳能力，属于基础题型．

拓展点三：有关指数方程问题
【例题】（1）解方程：3x2﹣27=0
（2）已知22x+1+4x=48，求x的值．
【分析】（1）先移项，然后系数化为1，求出平方根；
（2）根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：（1）移项得：3x2=27，
系数化为1得：x2=9，
开平方得：x=±3；
（2）∵22x+1+4x=2×22x+22x=3×22x=48，
∴22x=16，
∴2x=4，
解得：x=2
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方和平方根的知识，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则以及平方根的求法．
【变式1】已知：x2a+b•x3a﹣b•xa=x12，求﹣a100+2101的值．
【分析】首先根据题意计算出a的值，然后再代入﹣a100+2101，根据同底数幂的乘法运算法则可得2101=2100×2，再提公因式2100，再计算即可．
【解答】解：∵x2a+b•x3a﹣b•xa=x12，
∴2a+b+3a﹣b+a=12，
解得：a=2，
当a=2时，
﹣a100+2101=﹣2100+2101=﹣1×2100+2100×2=2100（﹣1+2）=2100．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式2】已知（x+a）（x2﹣x+c）的积中不含x2项和x项，求（x+a）（x2﹣x+c）的值是多少？
【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算，再让x2项和x项的系数为0，求得a，c的值，代入求解．
【解答】解：∵（x+a）（x2﹣x+c），
=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，
=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，
又∵积中不含x2项和x项，
∴a﹣1=0，c﹣a=0，
解得a=1，c=1
又∵a=c=1
∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3+1
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．要灵活掌握立方和公式．

拓展点四：逆用幂的运算法则解题
【例题】已知am=8，an=32，求am+n的值．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
【解答】解：∵am=8，an=32，
∴am+n=am•an=8×32=256．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确掌握运算法则是解题关键．
【变式1】已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵3a×32b=27，
∴3a+2b=33，
故a+2b=3，
∵（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，
∴52a+4b÷53ab=1，
∴2a+4b﹣3ab=0，
∵a+2b=3，
∴6﹣3ab=0，
则ab=2，
∴a2+4b2=（a+2b）2﹣4ab
=32﹣4×2
=1
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．
【变式2】图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：
（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008；
②（）11×（﹣）13×（）¹²
（2）若2•4n•16n=219，求n的值．
【分析】（1）①直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；
②直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案；
（2）利用幂的乘方运算法则和同底数幂的乘除运算法则化简得出答案．
【解答】解：（1）①82008×（﹣0.125）2008
=（﹣8×0.125）2008
=（﹣1）2008
=1；
②原式=（﹣××）11××（﹣）2
=﹣×
=﹣；
（2）由已知得，2•4n•16n=219，
则2•22n•24n=219，
故1+2n+4n=19，
解得：n=3
【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．
　
　

拓展点五：整式除法的应用
【例题】一位同学在研究多项式除法时，把被除式的二次项系数写成a，而把结果的一次项系数又写成了﹣b，等式如下：（x3+ax2+1）÷（x+1）=x2﹣bx+1，现请你帮他求出a，b的值．
【分析】由题意得出x3+ax2+1=（x+1）•（x2﹣bx+1），利用多项式乘多项式法则计算，根据对应系数相等可得答案．
【解答】解：∵x3+ax2+1=（x+1）•（x2﹣bx+1）=x3+（1﹣b）•x2+（1﹣b）•x+1，
∴a=1﹣b，1﹣b=0
解得：a=0，b=1
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．
【变式1】观察下列各式：
（x﹣1）÷（x﹣1）=1；
（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；
（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；
（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；
（1）根据上面各式的规律可得（xn+1﹣1）÷（x﹣1）=　 　；
（2）利用（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；
（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．
【分析】（1）根据已知发现结果的规律：按x进行降幂排列，各项系数为1，直接写出结论即可；
（2）将（1）中的规则逆用，计算即可；
（3）将（1）中结论逆用，列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）由已知发现，结果的规律：按x进行降幂排列，各项系数为1，最高次项的次数为等式前面的最高次数减1，
可知；（xn+1﹣1）÷（x﹣1）=xn+xn﹣1+…+x+1，
（2）22015+22014+…+2+1=（22016﹣1）÷（2﹣1）=22016﹣1；
（3）由1+x+x2+…+x2015=0可得，
（x2016﹣1）÷（x﹣1）=0，
∴x2016﹣1=0，
∴x2016=1
【点评】此题主要是规律问题的探索与应用，根据具体的等式发现规律并合理分析应用是解题的关键．
【变式2】地球表面平均1cm2上的空气质量约为1kg，地球的表面积大约是5×108km2，地球的质量约为6×1024kg．
（1）地球表面全部空气的质量约为多少kg？
（2）地球质量大约是其表面全部空气质量的多少倍？（结果用科学记数法表示）
【分析】利用科学计数法、根据整式的乘除法法则计算即可．
【解答】解：（1）地球表面全部空气的质量约为：5×108×1010×1=5×1018kg；
（2）6×1024÷（5×1018）=1.2×106，
答：地球质量大约是其表面全部空气质量的1.2×106倍．
【点评】本题考查的是科学计数法的应用，把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．

拓展点六：零指数问题
【例题】计算：（π﹣3.14）0+（﹣0.125）2008×82008的结果是（　　）
A．π﹣3.14 B．0 C．1 D．2
【分析】分别根据零指数幂及幂的乘方运算法则进行计算即可．
【解答】解：原式=1+（﹣×8）2008=1+1=2
故选：D．
【点评】本题考查了零指数幂及幂的乘方的运算，属于基础题，掌握各部分的运算法则是关键．　
【变式1】已知（3x﹣2）0有意义，则x应满足的条件是　 　．
【分析】根据0指数幂的意义解答即可．
【解答】解：根据零指数幂的意义可知：
（3x﹣2）0有意义，则3x﹣2≠0，x≠．
【点评】主要考查了零指数幂的意义，任何非0数的0次幂等于1　
【变式2】课堂上老师出了这么一道题：（2x﹣3）x+3﹣1=0，求x的值．
小明同学解答如下：∵（2x﹣3）x+3﹣1=0，
∴（2x﹣3）x+3=1
∵（2x﹣3）0=1
∴x+3=0
∴x=﹣3
请问小明的解答过程正确吗？如果不正确，请求出正确的值．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算运算法则分别化简求出答案．
【解答】解：不正确，
理由：∵（2x﹣3）x+3﹣1=0，
∴（2x﹣3）x+3=1
∴x+3=0或2x﹣3=1，或2x﹣3=﹣1，
解得：x=﹣3，x=2，x=1
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方运算运算等知识，正确把握运算法则是解题关键．
　

易错点一：符号错误
【例题】下列各式中，计算结果为x2﹣1的是（　　）
A．（x+1）2 B．（x+1）（x﹣1） C．（﹣x+1）（x﹣1） D．（x﹣1）（x+2）
【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式计算即可得到结果．
【解答】解：（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了平方差公式，多项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．　
【变式1】运算结果是x4y2﹣2x2y+1的是（　　）
A．（﹣1+x2y2）2 B．（1+x2y2）2 C．（﹣1+x2y）2 D．（﹣1﹣x2y）2
【分析】利用完全平方公式解答即可得到结果．
【解答】解：x4y2﹣2x2y+1=（﹣1+x2y）【变式1】
故选：C．
【点评】本题考查了完全平方公式，能够把已知式子变成完全平方的形式，把x2y看成一个整体比较关键．
【变式2】下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（　　）
A． （﹣a+b）（a﹣b） B．（x+2）（2+x）
C．（+y）（y﹣） D．（x﹣2）（x+1）
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：（A）原式=﹣（a﹣b）（a﹣b）=﹣（a﹣b）2，故A不能用平方差公式；
（B）原式=（x+2）2，故B不能用平方差公式；
（D）原式=x2﹣x+1，故D不能用平方差公式；
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．

易错点二：漏乘错误
【例题】（x﹣y）（x2+xy+y2）
【分析】把（x﹣y）的每一项分别乘以x2+xy+y2，然后合并同类项即可．
【解答】解：原式=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
=x3﹣y³
【点评】本题考查了多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【变式1】计算：x（x2+x﹣1）﹣（2x2﹣1）（x﹣4）．
【分析】根据单项式乘以多项式法则，以及多项式乘以多项式法则即可求出答案．
【解答】解：原式=x3+x2﹣x﹣（2x3﹣8x2﹣x+4）．
=x3+x2﹣x﹣2x3+8x2+x﹣4
=﹣x3+9x2﹣4
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式乘除的运算公式，本题属于基础题型．
【变式2】已知代数式（ax﹣3）（2x+4）﹣x2﹣b化简后，不含x2项和常数项．求a，b的值
【分析】先算乘法，合并同类项，即可得出关于a、b的方程，求出即可
【解答】解：原式=2ax2+4ax﹣6x﹣12﹣x2﹣b
=（2a﹣1）x2+（4a﹣6）x+（﹣12﹣b），
∵不含x2项和常数项，
∴2a﹣1=0，﹣12﹣b=0，
∴a=，b=﹣12
【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键，难度适中．

易错点三：运算结果不是最简形式
【例题】计算：
（1）（﹣ab2）2﹣5ab•ab3
（2）（x+3）（3x﹣2）
【分析】（1）先计算乘方和乘法，再合并同类项即可得；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式=a2b4﹣5a2b4=﹣4a2b4；
（2）原式=3x2﹣2x+9x﹣6=3x2+7x﹣6．
【点评】本题考查的是多项式与多项式相乘的法则，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
【变式1】计算：
（1）（﹣x6）•（﹣x3）•（﹣x2）•（﹣x5）
（2）（xm﹣2yn）（3xm+yn）
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算可得；
（2）根据多项式乘多项式的法则计算可得．
【解答】解：（1）原式=x6•x3•x2•x5=x6+3+2+5=x16；
（2）原式=3x2m+xmyn﹣6xmyn﹣2y2n=3x2m﹣5xmyn﹣2y2n．
【点评】本题考查的是多项式与多项式相乘的法则，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加是解题的关键．
【变式2】已知x+5与x﹣k的乘积中不含x项，求k的值．
【分析】根据多项式的乘法，可得整式，根据整式不含x项，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由（x+5）（x﹣k）=x2+（5﹣k）x﹣5k，
得x的系数为5﹣k．
若不含x项，得5﹣k=0，
解得k=5．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，利用整式不含x项得出关于k的方程是解题关键．

易错点四：顺序混乱
【例题】解方程：
（1）（3x﹣2）（4x+3）=（2x+1）（6x﹣5）+9
（2）（2x+3）（2x﹣3）﹣x（4x+3）=0．
【分析】（1）根据解方程的步骤依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）根据解方程的步骤依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【解答】解：（1）12x2+9x﹣8x﹣6=12x2﹣10x+6x﹣5+9，
12x2+9x﹣8x﹣12x2+10x﹣6x=﹣5+9+6，
5x=10，
x=2；
（2）4x2﹣9﹣4x2﹣3x=0，
4x2﹣4x2﹣3x=9，
﹣3x=9，
x=﹣3
【点评】本题主要考查解方程，解题的关键是掌握解方程的基本步骤和多项式乘以多项式的运算法则．
【变式1】若y=kx使得代数式（x﹣y）（4x﹣y）+3x（4x﹣y）的值为0．请求出k的值．
【分析】由于代数式（x﹣y）（4x﹣y）+3x（4x﹣y）的值为0，可得（x﹣y）（4x﹣y）+3x（4x﹣y）=0，即（x﹣y+3x）（4x﹣y）=0，可得y=4x，从而求出k的值．
【解答】解：∵代数式（x﹣y）（4x﹣y）+3x（4x﹣y）的值为0，
∴（x﹣y）（4x﹣y）+3x（4x﹣y）=0，即（4x﹣y）2=0，
∴y=4x，
∴k的值为4．
【点评】考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，关键是由代数式（x﹣y）（4x﹣y）+3x（4x﹣y）的值为0得到y=4x．
【变式2】计算：（5x﹣y）（25x2+xy+y2）．
【分析】根据多项式乘多项式法则将原式展开，再合并同类项可得．
【解答】解：原式=125x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
=125x3﹣y³
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则及合并同类项法则．