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初中数学第三章 勾股定理综合与测试单元测试课时作业
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这是一份初中数学第三章 勾股定理综合与测试单元测试课时作业，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．三个正方形按图示位置摆放，S表示面积，则S的大小为 ( )
A．10 B．500 C．300 D．30
2．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=9，．BC=12，则点C到AB的距离是 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=5，AD=3，则图中长为4的线段的条数为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列命题是假命题的是 ( )
A．在△ABC扣，若∠B=∠C=∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2= (b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形
5．若等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为 ( )
A．56 B．48 C．40 D．32
6．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE．若EF=3，则AB的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 ( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．如图，将一边长为a的正方形 (最中间的小正方形) 与四个边长为b的正方形 (其中b>a) 拼接在一起，则四边形ABCD的面积为 ( )
A．b2＋(b－a)2 B．b2＋a2 C．(b＋a)2 D．a2＋2ab
二、填空题
9．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，4，2，3，则最大正方形E的面积是 ．
10．若一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 ．
11．在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，若BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC= ．
12．如图，在四边形ABCD 中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1．若∠ABC=90°，则∠DAB=
13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
14．已知a，b，c为三个正整数，如果a＋b＋c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是 ．(填序号)
15．一座垂直于两岸的桥长12米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头9米，则小船实际行驶了 米．
16．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 .
17．在锐角三角形ABC中．BC= SKIPIF 1 < 0 ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是 ．
18．如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2 cm／s和1cm／s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，△PBQ为直角三角形．
三、解答题
19．(本题6分) 如图，每个小方格的边长都为1，求图中格点四边形ABCD的面积．
20．(本题6分) 如图，在△ABC中，已知∠A=90°，D是BC的中点，且DE⊥BC，垂足为点D，交AB于点E．求证：BE2－EA2=AC2．
21．(本题6分) 一块地如图所示∠ADC=90°，AD=12m，CD=9 m，AB=39m，BC=36 m，求这块地的面积．
22．(本题8分) 如图，在△ABC中，AB=AC=13，点D在边BC上，AD=12，BD=5，试问AD平分∠BAC吗? 为什么?
23．(本题8分) 如图，已知AB=12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，求AE的长．
24．(本题8分) 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．若AE=4，FC=3，求EF的长．
25．(本题10分) 小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问：竿长多少米?
26．(本题12分) 如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE，BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．
(1) 判断△ABE的形状，并证明你的结论；
(2) 用含b的代数式表示四边形ABFE的面积；
(3) 求证：a2＋b2=c2．
27．(本题12分) 如图，△ABC中，∠ABC= 45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
(1) 线段BH与AC相等吗? 若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
(2) 求证：BG2－GE2=EA2．
参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A [提示：中间最小正方形四周的直角三角形的面积均为 SKIPIF 1 < 0 b (b－a)，故所求四边形的面积为4× SKIPIF 1 < 0 b (b－a)＋a2=b2＋(b－ a)2]
二、填空题
9．38 10．10 11．90° 12．135° 13．120 14．①②③ 15．15 16．8 17．4 (提示：过点C作CE⊥AB，垂足为点E，线段CE的长即等于CM+MN的最小值) 18． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 [提示：AP=2tcm，BP = (6－2t)cm，BQ =tcn. 当∠BQP=90°时，t = SKIPIF 1 < 0 ；当 ∠BPQ = 90°时，t = SKIPIF 1 < 0 ]
三、解答题
19．连接AC. S四边形ABCD = S△ADC+S△ABC = 5×2× SKIPIF 1 < 0 ＋5×3× SKIPIF 1 < 0 = 12．5
20．连接CE．∵ D是BC的中点，DE⊥BC ，∴ BE=CE．∵∠A=90°，∴ CE2－EA2=AC2，∴ BE2－EA2=AC2
21．连接AC．∵ ∠ADC=90°，AD=12 m，CD=9 m，∴ AC=15 m．又∵AB=39 m，BC=36m，∴ AC2+BC2=AB2，∴ ∠ACB=90°，∴ S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ×15×36=270 (m2)，又S△ADC= SKIPIF 1 < 0 ×AD×DC= SKIPIF 1 < 0 ×12×9=54 (m2)，∴ 这块地的面积为S△ABC—S△ADC=270－54=216 (m2)
22．AD平分∠BAC．∵ AB=AC=13，AD=12，BD=5，∴ BD2+AD2=AB2，∴ △ABD是直角三角形，且∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC．又AB=AC，∴ AD平分∠BAC，即结论成立
23．延长AE交BC于点F．∵ AB⊥BC，AB⊥AD，∴ AD∥BC，∴ ∠D=∠C，∠DAE=∠CFE．又∵ 点E是CD的中点，∴ DE=CE．∵在△AED与△FEC中，∠D=∠C， ∠DAE=∠CFE，DE=CE，∴ △AED≌△FEC，∴ AE=FE，AD=FC．∵ AD=5，BC=10，∴ BF=5．在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2=169，∴ AF=13，∴ AE=6．5
24．连接BD．∵ △ABC是等腰直角三角形，D为边AC的中点，∴ BD=DC，∠ABD=∠C=45°，BD⊥AC，∴ ∠BDF+∠FDC=90°．又∵ DE⊥DF，∴ ∠BDF+∠BDE=
90°，∴ ∠FDC=∠BDE，∴ △BED≌△CFD，∴ BE=FC=3，BF=BC－FC=AB－BE=AE=4．∴ EF=5
25．设竿长x米，则城门高(x－1)米，根据题意得x2=(x－1)2＋32，解得x=5．即竿长5米
26．(1) △ABE是等腰直角三角形．证明：∵ △ABC≌△AED，∴ AB=AE，∠BAC=∠EAD，∴ ∠BAE=90°，即△ABE是等腰直角三角形 (2) S四边形ABFE=S四边形ACFE+S△ABC=
S四边形ACFE+S△AED=S四边形ACFD=b2 (3) S四边形ABFE=S△ABE+S△BEF= SKIPIF 1 < 0 c2＋ SKIPIF 1 < 0 (b－a)(b＋a)，由(2)知S四边形ABFE=b2，即 SKIPIF 1 < 0 c2＋ SKIPIF 1 < 0 (b－a)(b＋a)=b2，∴ a2＋b2－c2
27．(1) 相等 ∵ ∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，∴ ∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，∴ DB=DC，∠ABE=∠DCA．在△DBH和△DCA中，∵ ∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，∴ △DBH≌△DCA，∴ BH=AC (2)连接CG．∵ F为BC的中点，DB=DC，∴ DF垂直平分BC，∴ BG=GG．∵ ∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴ ∠AEB=∠CEB．在△ABE和△CBE中，∵ ∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，∴ △ABE≌△CBE，∴ EC=EA．在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2－GE2=CE2，∴ BG2－GE2=EA2
一、选择题
1．三个正方形按图示位置摆放，S表示面积，则S的大小为 ( )
A．10 B．500 C．300 D．30
2．在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=9，．BC=12，则点C到AB的距离是 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC=5，AD=3，则图中长为4的线段的条数为 ( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．下列命题是假命题的是 ( )
A．在△ABC扣，若∠B=∠C=∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2= (b＋c)(b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC 中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c=5：4：3，则△ABC是直角三角形
5．若等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为 ( )
A．56 B．48 C．40 D．32
6．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE．若EF=3，则AB的长为 ( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．如图，每个小正方形的边长为1，若A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为 ( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．如图，将一边长为a的正方形 (最中间的小正方形) 与四个边长为b的正方形 (其中b>a) 拼接在一起，则四边形ABCD的面积为 ( )
A．b2＋(b－a)2 B．b2＋a2 C．(b＋a)2 D．a2＋2ab
二、填空题
9．如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别是3，4，2，3，则最大正方形E的面积是 ．
10．若一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 ．
11．在△ABC中，AB=5 cm，BC=6 cm，若BC边上的中线AD=4 cm，则∠ADC= ．
12．如图，在四边形ABCD 中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1．若∠ABC=90°，则∠DAB=
13．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为 cm2．
14．已知a，b，c为三个正整数，如果a＋b＋c=12，那么以a，b，c为边能组成的三角形是：①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形．以上符合条件的正确结论是 ．(填序号)
15．一座垂直于两岸的桥长12米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头9米，则小船实际行驶了 米．
16．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于 .
17．在锐角三角形ABC中．BC= SKIPIF 1 < 0 ，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是 ．
18．如图，△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别在AB，BC边上匀速移动，它们的速度分别为2 cm／s和1cm／s，当点P到达点B时，P，Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t= s时，△PBQ为直角三角形．
三、解答题
19．(本题6分) 如图，每个小方格的边长都为1，求图中格点四边形ABCD的面积．
20．(本题6分) 如图，在△ABC中，已知∠A=90°，D是BC的中点，且DE⊥BC，垂足为点D，交AB于点E．求证：BE2－EA2=AC2．
21．(本题6分) 一块地如图所示∠ADC=90°，AD=12m，CD=9 m，AB=39m，BC=36 m，求这块地的面积．
22．(本题8分) 如图，在△ABC中，AB=AC=13，点D在边BC上，AD=12，BD=5，试问AD平分∠BAC吗? 为什么?
23．(本题8分) 如图，已知AB=12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD=5，BC=10，点E是CD的中点，求AE的长．
24．(本题8分) 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F．若AE=4，FC=3，求EF的长．
25．(本题10分) 小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问：竿长多少米?
26．(本题12分) 如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90°得到Rt△ADE，连接BE，延长DE，BC相交于点F，则有∠BFE=90°，且四边形ACFD是一个正方形．
(1) 判断△ABE的形状，并证明你的结论；
(2) 用含b的代数式表示四边形ABFE的面积；
(3) 求证：a2＋b2=c2．
27．(本题12分) 如图，△ABC中，∠ABC= 45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC的中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．
(1) 线段BH与AC相等吗? 若相等，请给予证明；若不相等，请说明理由．
(2) 求证：BG2－GE2=EA2．
参考答案
一、选择题
1．D 2．A 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A [提示：中间最小正方形四周的直角三角形的面积均为 SKIPIF 1 < 0 b (b－a)，故所求四边形的面积为4× SKIPIF 1 < 0 b (b－a)＋a2=b2＋(b－ a)2]
二、填空题
9．38 10．10 11．90° 12．135° 13．120 14．①②③ 15．15 16．8 17．4 (提示：过点C作CE⊥AB，垂足为点E，线段CE的长即等于CM+MN的最小值) 18． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 [提示：AP=2tcm，BP = (6－2t)cm，BQ =tcn. 当∠BQP=90°时，t = SKIPIF 1 < 0 ；当 ∠BPQ = 90°时，t = SKIPIF 1 < 0 ]
三、解答题
19．连接AC. S四边形ABCD = S△ADC+S△ABC = 5×2× SKIPIF 1 < 0 ＋5×3× SKIPIF 1 < 0 = 12．5
20．连接CE．∵ D是BC的中点，DE⊥BC ，∴ BE=CE．∵∠A=90°，∴ CE2－EA2=AC2，∴ BE2－EA2=AC2
21．连接AC．∵ ∠ADC=90°，AD=12 m，CD=9 m，∴ AC=15 m．又∵AB=39 m，BC=36m，∴ AC2+BC2=AB2，∴ ∠ACB=90°，∴ S△ABC= SKIPIF 1 < 0 ×15×36=270 (m2)，又S△ADC= SKIPIF 1 < 0 ×AD×DC= SKIPIF 1 < 0 ×12×9=54 (m2)，∴ 这块地的面积为S△ABC—S△ADC=270－54=216 (m2)
22．AD平分∠BAC．∵ AB=AC=13，AD=12，BD=5，∴ BD2+AD2=AB2，∴ △ABD是直角三角形，且∠ADB=∠ADC=90°，即AD⊥BC．又AB=AC，∴ AD平分∠BAC，即结论成立
23．延长AE交BC于点F．∵ AB⊥BC，AB⊥AD，∴ AD∥BC，∴ ∠D=∠C，∠DAE=∠CFE．又∵ 点E是CD的中点，∴ DE=CE．∵在△AED与△FEC中，∠D=∠C， ∠DAE=∠CFE，DE=CE，∴ △AED≌△FEC，∴ AE=FE，AD=FC．∵ AD=5，BC=10，∴ BF=5．在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2=169，∴ AF=13，∴ AE=6．5
24．连接BD．∵ △ABC是等腰直角三角形，D为边AC的中点，∴ BD=DC，∠ABD=∠C=45°，BD⊥AC，∴ ∠BDF+∠FDC=90°．又∵ DE⊥DF，∴ ∠BDF+∠BDE=
90°，∴ ∠FDC=∠BDE，∴ △BED≌△CFD，∴ BE=FC=3，BF=BC－FC=AB－BE=AE=4．∴ EF=5
25．设竿长x米，则城门高(x－1)米，根据题意得x2=(x－1)2＋32，解得x=5．即竿长5米
26．(1) △ABE是等腰直角三角形．证明：∵ △ABC≌△AED，∴ AB=AE，∠BAC=∠EAD，∴ ∠BAE=90°，即△ABE是等腰直角三角形 (2) S四边形ABFE=S四边形ACFE+S△ABC=
S四边形ACFE+S△AED=S四边形ACFD=b2 (3) S四边形ABFE=S△ABE+S△BEF= SKIPIF 1 < 0 c2＋ SKIPIF 1 < 0 (b－a)(b＋a)，由(2)知S四边形ABFE=b2，即 SKIPIF 1 < 0 c2＋ SKIPIF 1 < 0 (b－a)(b＋a)=b2，∴ a2＋b2－c2
27．(1) 相等 ∵ ∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，∴ ∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，∴ DB=DC，∠ABE=∠DCA．在△DBH和△DCA中，∵ ∠DBH=∠DCA，∠BDH=∠CDA，BD=CD，∴ △DBH≌△DCA，∴ BH=AC (2)连接CG．∵ F为BC的中点，DB=DC，∴ DF垂直平分BC，∴ BG=GG．∵ ∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，∴ ∠AEB=∠CEB．在△ABE和△CBE中，∵ ∠AEB=∠CEB，BE=BE，∠CBE=∠ABE，∴ △ABE≌△CBE，∴ EC=EA．在Rt△CGE中，由勾股定理得CG2－GE2=CE2，∴ BG2－GE2=EA2
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