初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试单元测试精练

苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 已知等腰三角形的一条腰长是，底边长是，则它底边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，已知，，分别是的三条边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”的图象上，且的面积是，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，把两个边长为的小正方形分别沿它的对角线剪开，将所得的个等腰直角三角形拼在一起，得到一个大正方形，则这个大正方形的边长为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的边长分别是、、、，则最大正方形的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 在中，，，的对边分别为，，，下列说法中，错误的是(    )

A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果，那么
D. 如果，，那么

6. 下列五组数：、、、、、、、、、、，其中是勾股数的组数为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 下列各组数为勾股数的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

8. 如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了的路，却踩伤了花草．(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，一个直径为的杯子，在它的正中间竖直放一根筷子，筷子露出杯子外，当筷子倒向杯壁时筷子底端不动，筷子顶端刚好触到杯口，筷子长度为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，一根长米的竹竿斜靠在竖直的墙上，这时为米，若竹竿的顶端沿墙下滑米至处，则竹竿底端外移的距离(    )

A. 小于米
B. 等于米
C. 大于米
D. 以上都不对

11. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为(    )

A.  B.  C.  D.

12. 在算法统宗中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地尺，将它往前推送尺水平距离时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”绳索长为(    )

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 如图，，，，则阴影部分的面积是______．

14. 如图，在中，，点在上．，，则的长为______．

15. 已知一个三角形的三边长分别为，，，那么当______时，此三角形是直角三角形．
16. 九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，网格中每个小正方形的边长都为，点，点均为网格上的格点．
    ______；
    若格点上存在点，使，请在图中标出所有满足条件的格点．

18. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为，的顶点在格点网格线的交点上．
    在网格中，画出与关于直线对称的点与，与，与相对应．
    的面积为______．
    在直线上找一点，使得的周长最小，并标出点．

19. 如图，在四边形中，，，，，且，连接，试判断的形状．

20. 如图在中，，，，点是上一点，且．
    试判断的形状，并说明理由；
    求的长．

21. 如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，，，．
    求证：；
    求线段的长度．

22. 如图，四边形中，已知，，，．
    求的度数；
    于，求之长．

23. 如图是长、宽、高的长方体容器．
    求底面矩形的对角线的长；
    长方体容器内可完全放入的棍子最长是多少？

24. 如图，一架梯子长，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度为，求此时梯子底端离墙的距离．

25. 如图，某中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草坪，经测量，米，米，米，米，求种植草坪的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了勾股定理，关键是作出辅助线，构造直角三角形．过点作，根据，求出，再根据勾股定理得出即可．
【解答】
解：过点作，

，
，
，
，
它底边上的高为．  

2.【答案】 

【解析】解：点在“勾股一次函数”的图象上，
；
的面积是，
，
．
方程两边同时平方得：，
又，
，
解得：，，
经检验，，均为原方程的解，且符合题意，不符合题意，舍去．
故选：．
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，由的面积是，可得出，将方程两边同时平方可得出，结合，即可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及勾股定理，根据一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积计算公式及勾股定理，找出关于的方程是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：两个小正方形的边长为，
两个小正方形的面积和为，
大正方形的面积为，
大正方形的边长为，
故选：．
求出大正方形的面积，再根据正方形的性质计算即可．
本题考查的是、正方形的性质勾股定理，得出两个小正方形的面积和等于大正方形的面积是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：
根据勾股定理的几何意义，可得、的面积和为，、的面积和为，
，，
于是，
即可得．
故选：．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形，，，的面积和即为最大正方形的面积．
本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出是解答本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查勾股定理及其逆定理，根据勾股定理，在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，可以得到，是对的，然后根据三角形的内角和等于，可以得到也是对的根据勾股定理逆定理可知是错的．
【解答】
解：根据三角形的内角和等于，可以得到，所以是对的；
根据直角三角形的两直角边的平方的和等于斜边的平方，可以得到是对的；
C. 如果，那么是，所以是错的  ；    
  根据和的度数，可以得到，从而得到它们的边的关系，所以也是对的  
故选C．  

6.【答案】 

【解析】 中
中的数不全是正整数
中
中
中．
故有组勾股数．
 

7.【答案】 

【解析】解：，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
B.，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
C.，不能构成直角三角形，故不是勾股数；
D.，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数．
故选：．
根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数判定则可．
本题考查了勾股数的定义，注意：一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数；两个较小数的平方和等于最大数的平方．
 

8.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
则，
故选：．
在中，直接利用勾股定理得出的长，再利用进而得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设杯子的高度是，那么筷子的高度是，
杯子的直径为，
杯子半径为，
，
解得，
．
答：筷子长．
故选：．
设杯子的高度是，那么筷子的高度是，因为直径为的杯子，可根据勾股定理列方程求解．
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是看到构成的直角三角形，以及各边的长．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：在中，米，米，
米，
在中，米，米，
米，
米．
故选：．
要求下滑的距离，显然需要分别放到两个直角三角形中，运用勾股定理求得和的长即可．
本题考查了勾股定理的应用，注意此题中竹竿的长度是不变的．熟练运用勾股定理是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，，
少走的路长为，
故选：．
利用勾股定理求出的长，再根据少走的路长为，计算即可．
本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设绳索有尺长，则
，
解得：．
故绳索长尺．
故选：．
设绳索有尺长，此时绳索长，向前推出的尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．
本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，即，
故阴影部分的面积是．
故答案为：．
根据勾股定理可求的长，再根据圆的面积公式，即可得到阴影部分的面积．
考查了勾股定理和圆的面积计算，勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．同时涉及三角形外角的性质，二者结合，是一道好题．
根据，判断出，根据勾股定理求出的长，从而求出的长．
【解答】
解：，，
，
，
在中，，
则，
．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：因为三角形是直角三角形，所以根据勾股定理：
，
解得，故填．
根据勾股定理逆定理，若两小边的平方和等于最长边的平方，则三角形为直角三角形，进行解答．
本题考查勾股定理逆定理．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】
解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，

在中，，即．
故答案为：．  

17.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
如图所示，
．
根据勾股定理即可求解；
根据题意找到满足的格点即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图，即为所求；

的面积为，
故答案为：；
如图，连接，交于，此时，此时的周长最小．
利用轴对称的性质即可画出图形；
利用所在的矩形面积减去周围三个三角形面积即可；
连接，交于，此时，此时的周长最小．
本题主要考查了作图轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短路线问题，准确画出图形是解题的关键．
 

19.【答案】解：是直角三角形．理由是：
，，，
，
又，，
，
是直角三角形． 

【解析】本题考查了勾股定理及逆定理的综合应用．
先根据勾股定理求出的平方，在中，再由勾股定理的逆定理，判断三角形的形状．
 

20.【答案】解：是直角三角形，
理由：，，，
，
，
是直角三角形；
在中，，，，
． 

【解析】利用勾股定理逆定理即可求解；
利用勾股定理得出的长即可求解．
此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，正确运用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题关键．
 

21.【答案】证明：连接，

的垂直平分线分别交、于点、，
，
，，
，
；

解：，，
．
在中，，
． 

【解析】连接，根据线段垂直平分线的性质得出，求出，再根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
根据勾股定理求出答案即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质等知识点，能熟记知识点是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 

22.【答案】解：连接，

，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
，
的度数为；
，
的面积，
，
，
，
的长为． 

【解析】连接，根据已知可得，在中，根据勾股定理可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答；
利用面积法，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：、，
，
答：底面矩形的对角线的长为；
长方体容器内可完全放入的棍子最长是，
答：长方体容器内可完全放入的棍子最长是． 

【解析】根据勾股定理即可得到结论；
根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

24.【答案】解：是直角三角形，
．
答：梯子底端离墙的距离为． 

【解析】利用勾股定理解答即可．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形两直角边分别为，，斜边为，那么；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
 

25.【答案】解：连接．

在中，，米，米，
米．
在中，因为米，米，米，
．
是直角三角形，且．
平方米．
种植草坪的面积为平方米． 

【解析】利用勾股定理求出，进而利用勾股定理的逆定理证明，即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．