数学八年级上册第三章 勾股定理综合与测试学案

这是一份数学八年级上册第三章 勾股定理综合与测试学案，共6页。学案主要包含了股四等内容，欢迎下载使用。


知识定位
掌握勾股定理的直接应用；
掌握构造勾股定理法。
掌握勾股定理的综合应用
知识梳理1：勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。
勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，也叫百牛定理。它是直角三角形的一条重要性质，揭示的是三边之间的数量关系。它的主要作用是已知直角三角形的两边求第三边。勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。
勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理.
该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点：
①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.
④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。
知识梳理2
勾股数
满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13
判断直角三角形：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）
其他方法：（1）有一个角为的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：
（1）确定最大边（不妨设为）；
（2）若，则是以为直角的三角形；
若，则此三角形为钝角三角形（其中为最大边）；
若，则此三角形为锐角三角形（其中为最大边）

【题目】 若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。


【题目】 如图，公路和公路在点处交汇，且，点处有一所中学，＝。假设拖拉机行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为，那么学校受影响的时间为多少秒？


【题目】 图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。

【题目】 如图所示，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且，若，．求线段的长。


【题目】已知中，，，，求、、的值。

【题目】等边三角形的边长为2，求它的面积

【题目】直角三角形周长为，斜边长为，求直角三角形的面积

【题目】若直角三角形的三边长分别是，，，求。
习题演练

【题目】 以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

【题目】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。
．

【题目】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形含有多少个单位正三角形？平行四边形的面积是多少？
（3）求出图中线段的长（可作辅助线）。



【题目】如图所示，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长。



【题目】如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点.
（1）求、两点之间的距离.
（2）确定目的地在营地的什么方向.


【题目】国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄、、、，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．


【题目】作长为、、的线段.

【题目】如果的三边分别为、、，且满足，判断的形状.

【题目】如图，, 则的长是多少?


【题目】如图，已知：，，于.
求证：。


【题目】已知：如图，，，.求：四边形的面积.


【题目】.如图正方形，为中点，为上一点，且。请问与是否垂直？请说明。