苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试单元测试同步测试题

苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 如图所示，在四边形中，，是对角线，是等边三角形，，，，则的长为．(    )

A.
B.
C.
D.

2. 如图，在中，，，用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

3. 传说，古埃及人常用“拉绳”的方法画直角，有一根长为的绳子，古埃及人用这根绳子拉出了一个斜边长为的直角三角形，那么这个直角三角形的面积用含和的式子可表示为．(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，在的正方形网格中，从在格点上的点，，，中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是，点，，，都在格点上，连接，相交于那么的大小是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 已知：在中，、、的对边分别是、、，满足试判断的形状．(    )

A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形

7. 已知、是线段上的两点，，，以点为圆心，长为半径画弧；再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，，则一定是(    )

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

8. 一根长牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

9. 为预防新冠疫情，学校大门入口的正上方处装有红外线激光测温仪如图所示，测温仪离地面的距离米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温．当身高为米的学生正对门缓慢走到离门米处时即米，测温仪自动显示体温，此时人头顶到测温仪的距离等于(    )

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

10. 如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸单位：，可以计算出两图孔中心和的距离为．(    )

A.  B.  C.  D.

12. 九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃读，门槛的意思一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图、图为图的平面示意图，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺尺寸，则的长是(    )

A. 寸 B. 寸 C. 寸 D. 寸

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 已知：如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．______时为直角三角形．
14. 已知中，有两边长分别为和，第三边上的高为，则第三边长为______．
15. 如图，用个边长为的小正方形构造的网格图，角，的顶点均在格点上，则______．

16. 如图，一架长米的梯子斜靠在墙上，到墙底端的距离为米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的端向墙的方向移动了米到处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的端向上移动了______米．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点落在点处，与相交于点．
    求证：≌；
    若，，求的长．
18. 如图，在长方形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，
    求的长．
    求的长．

19. 一块钢板形状如图所示，量得，，，，，请你计算一下这块钢板的面积．
     

20. 如图，已知，，，，，试求阴影部分的面积．

21. 如图，已知：中，于，，，．
    求的长；
    求的长；
    求的长；
    求证：是直角三角形．

22. 三个半圆的面积分别为，，，把三个半圆拼成如图所示的图形，则一定是直角三角形吗？请说明理由．

23. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”又到了放风筝的最佳时节．某校八年级班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：测得水平距离的长为米；根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米；牵线放风筝的小明的身高为米．
    求风筝的垂直高度；
    如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？

24. 如图所示，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部到墙的距离为米．
    如果梯子的顶端沿墙下滑米到，求梯子底部向外移动的距离？
    如果梯子底部向外移动的距离为米，那么顶部下滑的距离是否与相等？请给予说明．

25. 如图，某地方政府决定在相距的，两站之间的点修建一个土特产加工基地，使、两村到点的距离相等，已知于，于，，，那么基地应建在离站多少千米的地方？
    
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查勾股定理、全等三角形以及等边三角形的判定和性质，属中档题．
首先以为边作等边三角形，连接，利用全等三角形的判定证明≌，得到，再根据勾股定理求解即可．
【解答】
解：如图，以为边作等边，连接，
，
与为等边三角形，
，
在和中，
；；，
≌，
，
，
，
在中，，，
根据勾股定理得：，
．
故选B．  

2.【答案】 

【解析】略
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理、完全平方公式以及三角形面积公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键首先设拉出的直角三角形两直角边长分别为、，根据题意可得------，-------，然后把式变形，两边平方，再根据完全平方公式展开并将式代入即可得出的值，最后根据三角形面积公式可得这个直角三角形的面积为，进行计算即可得出答案．
【解答】
解：设拉出的直角三角形两直角边长分别为、，则
------，
-------，
由可得：，
等式两边平方得：，
，
，
，
这个直角三角形的面积为：．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
如图，连接、、、、、，先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【解答】
解：连接、、、、、，

设小正方形的边长为，
由勾股定理得：，，，，，，
，，，
、、是直角三角形，共个直角三角形，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形，平行线的性质等知识点，能构造直角三角形是是解此题的关键．
如图，过作，连接，根据勾股定理求出、、的平方，再根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出是等腰直角三角形，求出，再根据平行线的性质得出即可．
【解答】
解：如图，过作，连接，

由勾股定理得：，，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
原式可化为，
即，，都是正的，
而符合勾股定理的逆定理，
故该三角形是直角三角形．
故选：．
现对已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于的形式，求出、、，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
此题考查了勾股定理逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
依据作图即可得到，，，进而得到，即可得出是直角三角形．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
【解答】
解：如图所示，，，，
，
是直角三角形，且，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：当牙刷与杯底垂直时最大，最大．
当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时最小，
如图所示：此时，，
故．
故的取值范围是．
故选：．
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，

米，米，米，
米．
在中，由勾股定理得到：米，
故选：．
过点作于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可．
本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用勾股定理求得线段的长度．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是平面展开最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可．
【解答】
解：圆柱的侧面展开图如图所示，

圆柱的底面半径为，高为，
，，
由勾股定理得：．

从点爬到点的最短路程是．
故选C．  

11.【答案】 

【解析】解：如图，在中，，，
，
两圆孔中心和的距离为．
故选：．
如图，在中，，，然后利用勾股定理即可求出两圆孔中心和的距离．
此题主要考查勾股定理在实际中的应用，首先正确从图中找到所需要的数量关系，然后利用公式即可解决问题．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
构造直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：过作于，如图所示：

由题意得：，
设，
则，，，，
在中，
，即，
解得：，
，
寸，
故选：．  

13.【答案】或 

【解析】解：在中，，
，
由题意知，

当为直角时，点与点重合，，即，；
当为直角时，，，，
在中，
，
在中，，
即：，
解得：，
故当为直角三角形时，或，
故答案为：或
当为直角三角形时，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的值即可．
本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论，注意不要漏解．
 

14.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，解题的关键是分情况讨论．
此题考虑两种情况：第三边上的高在三角形内部；第三边上的高在三角形外部，分别利用勾股定理结合图形进行计算即可．
【解答】
解：第三边上的高在三角形内部；
如图所示，，，，

是高，
、是直角三角形，
，即，
同理可求，
；
第三边上的高在三角形外部；
如图所示，，，，

是高，
、是直角三角形，
，即，
同理可求，
．
综上所述，第三边的长度为或．
故答案是：或．  

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理及逆定理，勾股定理列式求出、、，然后利用勾股定理逆定理解答．
【解答】
解：如图，

由勾股定理得，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形，

易知
．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动前和滑动后的所构成的两直角三角形，分别得出，的长即可．
【解答】
解：如图，在中，

根据勾股定理知，，即米，
在中，由题意可得：米，
根据勾股定理知，，即米，
所以米．

故答案为．

17.【答案】证明：长方形沿对角线折叠，点落在点处，
，，
，
≌．
设，
≌，
，
四边形是长方形，
，，，
在中，则有，
解得，
．
 

【解析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理和全等三角形的判定与性质的知识点；熟练掌握翻折变换，并能进行推理计算是解决问题的关键．
根据折叠的性质，利用证明≌即可；
设，由≌得，在中，根据勾股定理得出方程，解方程即可．
 

18.【答案】解：由折叠性质可知：，，，
在中，，，
由勾股定理得：；
，
设，
，
在中，由勾股定理可知：，
即，
解得：，
即， 

【解析】本题考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于的方程是解此题的关键．
由折叠性质得出，，，在中，由勾股定理求出，
求出，设，根据勾股定理得出关于的方程，求出即可．
 

19.【答案】解：，，
即，故，
同理，，



． 

【解析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的面积计算方法，熟练掌握勾股定理逆定理的运用，证明和是直角三角形是关键．
由勾股定理逆定理可得与均为直角三角形，进而可求解其面积．
 

20.【答案】解：由勾股定理可知：
，
又，
是直角三角形，且．
故所求面积，
答：阴影部分的面积为． 

【解析】此题主要考查了直角三角形面积公式以及勾股定理以及逆定理的应用．关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
利用勾股定理求出，求出是直角三角形，的面积减去的面积就是所求的面积．
 

21.【答案】解：，
，
，，
由勾股定理得：，
．

在中，由勾股定理得：
．

在中，．

证明：，，，
，
，
即是直角三角形． 

【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
在中，根据勾股定理求出即可．
在中，根据勾股定理求出即可．
得出，求出即可．
根据勾股定理的逆定理求出即可．
 

22.【答案】解：一定是直角三角形，理由如下：
，
，
，
，，，
，
一定是直角三角形． 

【解析】见答案
 

23.【答案】解：在中，
由勾股定理得，，
所以，米，
所以，米，
答：风筝的高度为米．
如下图所示：

由题意得，米，
米，
，即米，
米，
他应该往回收线米． 

【解析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度；
根据勾股定理即可得到结论
 

24.【答案】解：在中，由勾股定理得
，
米
米，
在中，由勾股定理得
，
米，
米，
故梯子底部向外移动的距离为米；
顶部下滑的距离与相等．
梯子底部向外移动的距离为米，
米，
在中，由勾股定理得

米，
由知米，
此时米，
，
即顶部下滑的距离与相等． 

【解析】此题主要考查勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
由勾股定理先求的高度，即可求出的长度．从而可以求得，即可求；
由勾股定理可求得，即可知，即可判断是否与相等．
 

25.【答案】解：设基地应建在离站千米的地方．  则千米，
在中，根据勾股定理得：，
，
在中，根据勾股定理得： 
，
又、两村到点的距离相等．

，
，
解得，
基地应建在离站千米的地方． 

【解析】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出方程解答解答此题可设基地应建在离站千米的地方，则，由勾股定理可得关于的方程，解之即可．