苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷（标准困难）（含答案解析）

苏科版初中数学八年级上册第三章《勾股定理》单元测试卷

考试范围：第三章  考试时间 ：120分钟  总分 ：120分

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知等腰三角形的一条腰长是，底边长是，则它底边上的高为(    )

A.  B.  C.  D.

2.如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点已知，，则的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

3.如图，在中，，若是上的一个动点，则的最小值是
(    )
 

A.  B.  C.  D.

4.如图，三角形纸片中，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 
(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为，则的长等于(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是
(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

7.在中，，分别是、，的对边，下列条件中，不能判断是直角三角形的是(    )

A. ：：：： B. ：：：：
C. ：：：： D.

8.若三边分别是  、 、 ，且满足   ，则是
(    )

A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形或等腰直角三角形

9.如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点距树底端的距离为，这棵大树在折断前的高度为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.如图，王大伯家屋后有一块长，宽的长方形空地，他在以长边为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用
(    )

 

A.  B.  C.  D.

11.如图，长方体的长为，宽为，高为，点到点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是
(    )
 

A.  B.  C.  D.

12.如图，小明有一个圆柱形饮水杯，底面半径是，高是，上底面贴着杯壁有一个小圆孔，则一条长的直吸管露在杯外部分的长度杯壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计范围是(    )

 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13.如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为，小正方形的顶点为格点，点、、为格点，为与网格线的交点，则          ．

 

14.如图，在中，，，，动点从点出发，沿射线以的速度移动，设运动的时间为，当________时，为直角三角形．
 

15.如图，在中，已知，，垂足为，若是的中点，则______．

 

16.如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点出发，沿长方体的表面爬到对角顶点处，蚂蚁爬行的最短距离为          ．

 

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
如图，折叠长方形纸片的一边，使点落在边的处，是折痕．已知，，求的长．

 

18.本小题分
如图所示，在直角三角形中，，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为秒．

求边的长；当为直角三角形时，求的值．

19.本小题分

如图，已知，于，于，，点是的中点，求的长．

20.本小题分
如图，由边长为的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上．请用无刻度尺按要求作图：
作的高；
找一格点使且；
连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分．

 

21.本小题分

如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．

22.本小题分

如图，每个小正方形的边长都为，、、、均在网格格点上．
求四边形的面积；
是直角吗？为什么？

23.本小题分
如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．


城是否受到这次台风的影响？为什么？     

若城受到这次台风影响，那么城遭受这次台风影响有多长时间？

24.本小题分
如图为一个广告牌支架的示意图，其中，，，，求图中的周长和面积．
 

25.本小题分
九章算术中“勾股”一章有记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问葭长几何．其大意为：有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求芦苇的长度．丈尺
解决下列问题：
示意图中，线段的长为______尺，线段的长为______尺；
求芦苇的长度．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了勾股定理，用到的知识点是勾股定理、等腰三角形的性质，关键是作出辅助线，构造直角三角形．过点作，根据，求出，再根据勾股定理得出，最后代入计算即可．
【解答】
解：过点作，

，
，
，
它底边上的高为；
故选：．

2.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出的长是解题关键．
直接利用基本作图方法得出是的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出，再利用勾股定理得出的长．
【解答】
解：过点作于点，

由作图方法可得出是的平分线，
，，
，
在和中，
≌，
，
在中，，，
，
设，则，
故在中，
，
即，
解得：，
即的长为：．
故选C．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、三角形面积以及垂线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键由勾股定理求出的长，由题意得出，当时最短，求出的最小值即可．
【解答】
解：在中，，，，
，
是上的一个动点，
，
当时，最小，
此时，，
，
的最小值．

4.【答案】 

【解析】沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处，，折叠纸片，点与点重合，，，，，，  设，则，  解得，故选A．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，根据题意可得：，，然后利用等腰三角形的性质可得，再利用平行线的性质可得，，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答．
【解答】
解：如图：连接，

由题意得：
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
故选：．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
【解答】
解：，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选D．

7.【答案】 

【解析】解：设，，，
，
，故是直角三角形；
B.设，，，
，
，故不是直角三角形；
C.：：：：，
，
是直角三角形；
B.，，
，故是直角三角形；
故选：．
利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了因式分解的实际运用，勾股定理逆定理的运用，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．首先把，变为，进一步得出，进一步分析探讨得出答案即可．
【解答】
解：，
，
，
或，
或，
是等腰三角形或直角三角形．
故A，，选项错误，选项正确．
故选D．

9.【答案】 

【解析】【分析】
根据大树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，再根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，熟知直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解答此题的关键．
【解答】
解：树的折断部分与未断部分、地面恰好构成直角三角形，且，，
，
这棵树原来的高度．
故选C．

10.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查了勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．为了不让羊吃到菜，必须小于等于点到圆的最小距离．要确定最小距离，连接交半圆于点，即是最短距离．在直角三角形中，因为，，所以根据勾股定理得那么的长即可解答．

【解答】
解：连接，交半圆于点，

在中，，，
所以；
又，
所以．
因此选用的绳子应该小于，排除、、选项
故选A．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了轴对称最短路线问题，勾股定理的应用，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是关键．求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

【详解】

解：将长方体展开，连接、，

根据两点之间线段最短，，，

由勾股定理得：．

故选B．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．当吸管底部与水杯底面垂直时，吸管在杯内部分最短，此时就是圆柱形的高；当吸管底部在杯壁底与杯高构成直角三角形时，吸管在杯内部分最长，此时可以利用勾股定理即可求出．
【解答】
解：当吸管底部与水杯底面垂直时，吸管在杯内部分最短，此时就是圆柱形的高，即，
，
当吸管底部在杯壁底与杯高构成直角三角形时，吸管在杯内部分最长．
半径为，
直径是，
，
此时，
故选B．

13.【答案】 

【解析】略

14.【答案】或 

【解析】【分析】
本题主要考查了勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解，属于中档题．
首先根据勾股定理求出的长度，再分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的值即可．
【解答】
解：，，，
．
当为直角时，点与点重合，，
；
当为直角时，，， ，
在中，，
在中，，
，
解得
综上，当或时，为直角三角形．
故答案为或．

15.【答案】 

【解析】解：设，，
是的中点，
，，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
，
故答案为：
设，，根据勾股定理即可求出答案．
本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理．

16.【答案】 

【解析】分三种情况进行讨论：
将四边形与四边形展开放在同一平面内．
连接，如图所示，所走的最短路线显然为线段，
在中，由勾股定理得
将四边形与四边形展开放在同一平面内．
连接，如图所示，所走的最短路线显然为线段，
在中，由勾股定理得
将四边形与四边形展开放在同一平面内．
连接，如图所示，所走的最短路线显然为线段段
在中，由勾股定理得．
因为，
所以情况的路线最短，故蚂蚁需要爬行的最短路程是．
 

17.【答案】解：四边形为长方形，
，，
，
又是由折叠得到，
，，，
在中，由勾股定理得，
，
设，
则，
在中，，即，
解得，
即． 

【解析】本题考查了折叠的性质，长方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系．
由四边形为长方形，，，即可求得与的长，又由折叠的性质，即可得，然后在中，利用勾股定理求得的长，即可得的长，然后设，在中，由勾股定理即可得方程：，解此方程即可求得的长．

18.【答案】解：在直角三角形中，，
所以；

由题意知，

如图所示，当为直角时，点与点重合，，即

如图所示，当为直角时，，，，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

所以，解得．

综上，当为直角三角形时，的值为或．
 

【解析】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．
直接根据勾股定理求出的长度；
当为直角三角形时，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的值即可．

19.【答案】如图，延长交于．

，，，，，点是的中点，  在与中，≌，，，，  在中，，，．

【解析】略

20.【答案】解如图中，线段即为所求；
如图中，线段即为所求；
如图中，线段即为所求；
 

【解析】根据三角形的高的定义画出图形即可；
根据要求作出图形即可；
取格点连接，，，则，推出与的面积相等．作出的中线即可取，，连接交于点．
本题考查作图应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

21.【答案】解：连接，如图所示：
，
为直角三角形，
又，，
根据勾股定理得：，
又，，
，，
，
为直角三角形，，
则． 

【解析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理以及三角形面积公式，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．
连接，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积．

22.【答案】解：四边形的面积是

；

是直角，
理由是：连接，

由勾股定理得：，，，
所以，
即是直角． 

【解析】根据图形得出四边形的面积是，再求出即可；
求出、、的值，根据求出的结果得出，再根据勾股定理的逆定理得出即可．
本题考查了三角形的面积，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理和勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．

23.【答案】
解：过作，垂足为，
在中，
，
，
则，
因为，所以城要受台风影响
设上点，点，有千米，
因为，所以是等腰三角形，
因为，所以是的垂直平分线，
，
在中，千米，
千米，
由勾股定理得，
，
千米，
遭受台风影响的时间是：
小时． 

【解析】【分析】
此题主要考查勾股定理，点到直线的距离．
过作，垂足为，若则城不受影响，否则受影响
设上点，点，有千米，则是等腰三角形，由于，则是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．

24.【答案】解：在中，
，，，
，
即，
为直角三角形，
，
在中，
，，
，
，
的周长为：；
的面积为：． 

【解析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理以及三角形的面积，正确得出的长是解题关键．
直接利用勾股定理逆定理得出为直角三角形，再利用勾股定理得出的长，进而得出答案．

25.【答案】   

【解析】解：由题意可得：尺，尺，
故答案为：，；
设芦苇长尺，
则水深尺，
在中，
，
解得：，
则尺，
答：芦苇长尺．
直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺，且边长为尺的正方形，为中点，即可得出答案；
根据题意，可知的长为尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．