初中数学苏科版八年级上册第三章 勾股定理综合与测试精练

第三单元《勾股定理》测试卷

一、选择题

1．适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为（  ）

① ②，∠A=45°; ③∠A=32°, ∠B=58°；

④ ⑤ ⑥

⑦ ⑧

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

2．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（  ） 

A．6 B． C．2π D．12

3．某航空公司经营中有A、B、C、D这四个城市之间的客运业务．它的部分机票价格如下：A﹣B为2000元；A﹣C为1600元；A﹣D为2500元；B﹣C为1200元；C﹣D为900元．现在已知这家公司所规定的机票价格与往返城市间的直线距离成正比，则B﹣D的机票价格（　　）

A．1400元 B．1500元 C．1600元 D．1700元

4．△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC上异于B，C的一点，则AP2+BP⋅PC的值是（　　）

A．15 B．25 C．30 D．20

5．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何.”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又向东北方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时所用时间为多少？若设甲与乙相遇时间为，则可列方程为（   ）

A． B．

C． D．

6．棱长分别为的两个正方体如图放置，点A，B，E在同一直线上，顶点G在棱BC上，点P是棱的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P，它爬行的最短距离是(    )

A． B． C． D．

7．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）

A．9cm B．12cm C．15cm D．18cm

8．如图，在中，，，、分别是的高线与中线，点是线段的中点，连接．若，则（    ）

A．10 B．11 C．12 D．13

9．如图，已知1号、4号两个正方形的面积之和为7，2号、3号两个正方形的面积之和为4，则a、b、c三个正方形的面积之和为（    ）

A．11 B．15 C．10 D．22

10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．大正方形的面积为49，小正方形的面积为4，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．给出四个结论：①a2+b2=49；②a-b=2；③2ab=45；④a+b=9．其中正确的结论是（      ）

A．①②③ B．①②③④ C．①③ D．②④

11．在△ABC中，AB＝13 cm，AC＝20 cm，BC边上的高为12 cm，则△ABC的面积是

A．126 cm2 或66 cm2     B．66 cm2 C．120 cm2        D．126cm2

12．如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（　　）

A．6   B．8 C．10 D．12

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？设绳索长为x尺，可列方程为_____           ．

14．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S2018的值为__________．

15．有一块边长为24米的正方形绿地，如上右图所示，在绿地旁边C处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍？”请你计算后帮小明在标牌的▇填上适当的数字为：____.

16．如图，，，，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，则机器人行走的路程BC为__________．

17．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在处，则重叠部分△AFC的面积为___________

18．如图，在Rt△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10，D是AB的中点，P，Q分别是BC，DC上的动点，则AQ+QP的最小值是________．

三、解答题（本大题共6小题，共46分．）

19．大家见过形如x+y＝z，这样的三元一次方程，并且知道x＝3，y＝4，z＝7就是适合该方程的一个正整数解，法国数学家费尔马早在17世纪还研究过形如x2+y2＝z2的方程．（1）请写出方程x2+y2＝z2的两组正整数解：　   　．（2）研究直角三角形和勾股数时，我国古代数学专著（九章算术）给出了如下数：a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），（其中m＞n，m，n是奇数），那么，以a，b，c为三边的三角形为直角三角形，请你加以验证．

20．已知在中，是的中点，，垂足为，交于点，且．（1）求的度数；（2）若,，求的长．

21．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另-停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且

求修建的公路的长；若公路修通后，辆货车从处经过点到处的路程是多少?

22．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．

（1）请利用这个图形证明勾股定理；（2）请利用这个图形说明a2＋b2≥2ab，并说明等号成立的条件；

（3）请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？

23．在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若∠C=90°，如图1，则有；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：，理由如下：如图2，过点A作AD⊥CB于点D，设CD=x．在Rt△ADC中，，在Rt△ADB中，，∴．

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为锐角三角形时．

所以小明的猜想是正确的．（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系．

（2）温馨提示：在图3中，作BC边上的高．（3）证明你猜想的结论是否正确．

24．如图，中，，，，若点从点出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为秒.

（1）若点在上，且满足时，求出此时的值；（2）若点恰好在的角平分线上，求的值；（3）在运动过程中，直接写出当为何值时，为等腰三角形.

25．如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙．他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作，如果梯子的底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作.

（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角处，若米，米，则甲房间的宽______米；

（2）当盼盼在乙房间时，测得米，米，且，求乙房间的宽；

（3）当盼盼在丙房间时，测得米，且，.

①求的度数；②求丙房间的宽.

26．在中，，，点在直线上(除外)，分别经过点和点作和的垂线，两条垂线交于点，研究和的数量关系．

（1）某数学兴趣小组在探究的关系时，运用“从特殊到一般”的数学思想，他们发现当点是的中点时，只需要取边的中点(如图1)，通过推理证明就可以得到和的数量关系，请你按照这种思路直接写出和的数量关系；

（2）那么当点是直线上(除外)(其它条件不变)，上面得到的结论是否仍然成立呢？请你从“点在线段上”，“点在线段的延长线”，“点在线段的反向延长线上”三种情况中，任选一种情况，在图2中画出图形，并证明你的结论；

（3）当点在线段的延长线上时，若()，请直接写出的值．

答案

一、选择题

1．C.2．A．3．B.4．B．5．C．6．C.7．D．8．A．

9．B 10．A．11．A.12．B

二、填空题

13．（x﹣3）2+64＝x2

14．

15．6

16．5m

17．

18．4.8

三、解答题

19．解：（1）当，时，， 当，时，，

方程的两组正整数解为或，故答案为或；

（2）以已知的，，为三边的三角形为直角三角形，

理由：∵，，，，

， 

以，，为三边的三角形为直角三角形，其中，为直角边，为斜边．

20．（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．

∵BE2−AE2＝AC2，∴AE2＋AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；

（2）在Rt△BDE中，BE＝＝5．所以CE＝BE＝5．

设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2−AE2，所以AC2＝25−x2．

∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2＋AC2，

即64＝（5＋x）2＋25−x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．

21．（1）根据题意，AC=15，BC=20，AB=25，∴，

∴△ABC是直角三角形，即∠ACB=90°，

∵CD⊥AB，∴，

∴，∴（km）；

（2）在Rt△BCD中，由勾股定理得：，

∴货车从处经过点到处的路程是：（km）.

22．解：（1）因为边长为c的正方形面积为c2，

它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为（a– b）的小正方形组成的，

它的面积为4×ab＋(a– b)2＝a2＋b2， 所以c2＝a2＋b2．

（2）∵(a– b)2≥0，∴a2＋b2–2ab≥0，∴a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立．

（3）依题意得2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，长方形的面积为xy，

由（2）的结论知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy， ∴4xy≤(x＋y)2，∴xy≤4，

当且仅当x＝y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．

23．（1）当△ABC为钝角三角形时，与的大小关系为：；

（2）如图3，过点A作AD⊥BC于点D；

（3）证明：如图3，设CD=x．在Rt△ADC中，，

在Rt△ADB中，，∴．

∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴，∴当△ABC为钝角三角形时，．

24．解：（1）在中，

设存在点，使得，此时，，

在中，，即：，

解得：当时，；

（2）当点在的平分线上时，如图1，过点作于点，

图1   图2   图3

此时，，，

在中，，即：，

解得：，当时，在的角平分线上；

（3）根据题意得：，

①当在上时，为等腰三角形，，即，，

②当在上时，为等腰三角形，

（i）若，点在的垂直平分线上，如图2，过作于，

，，即，解得：，

（ii）若，即，解得：，

（iii），如图3，过作于，，

当，，或时，为等腰三角形.

25．（1）∵，，∴，

∴BP=MP∴米.

（2）∵，，∴.

∵，∴，

∵，∴.

在与中， ，∴，

∴，，∴米.

（3）①；

②过点作的垂线，垂足为点，连接.

∵梯子的倾斜角，，∴为等腰直角三角形，

∵，，

∴为等边三角形，.

∵，∴.

，∴，

∴米．

26．解：（1），连接GE

∵，点是的中点，点G为AC的中点∴AG=CG=CE=EB，

因为，所以，．所以．

因为，，所以，

所以．所以．

在与中，所以．所以

（2）仍然成立．在上截取，连接．

因为，所以．

因为，，所以，

所以．所以．

因为，所以，．所以．

在与中，所以．所以．

（3）如下图所示，在的延长线上截取，连接，AF

因为，所以．

因为，，所以，

所以．所以．

因为，所以，

∴∠EBF=180°－∠ABF－∠ABC=45°．所以．

在与中，所以．

所以．∴为等腰直角三角形

设CA=CB=a，则∴CE=a＋na

由勾股定理可得AE==

∴，

∴．