苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品课堂检测

这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试精品课堂检测，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十四) 三角函数的诱导公式(五～六)


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．如果cs α＝eq \f(1,5)，且α是第四象限角，那么cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝( )


A．eq \f(1,5) B．－eq \f(1,5)


C．eq \f(2\r(6),5) D．－eq \f(2\r(6),5)


C [由已知得，sin α＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5)))eq \s\up12(2))＝－eq \f(2\r(6),5)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＝－sin α＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(6),5)))＝eq \f(2\r(6),5)．]


2．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝( )


A．89 B．90


C．eq \f(89,2) D．45


C [∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cs21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cs22°＝1，…，∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cs244°＋cs243°＋…＋cs23°＋cs22°＋cs21°＝44＋eq \f(1,2)＝eq \f(89,2)．故选C．]


3．已知cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，且－180°<α<－90°，则cs(15°－α)＝( )


A．eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3)


C．eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)


D [因为cs(75°＋α)＝eq \f(1,3)，且－180°<α<－90°，


所以sin(75°＋α)＝－eq \f(2\r(2),3)，


故cs(15°－α)＝cs[90°－(75°＋α)]＝sin(75°＋α)＝－eq \f(2\r(2),3)．]


4．已知cs 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )


A．eq \f(1－m2,m) B．eq \r(1－m2)


C．－eq \f(1－m2,m) D．－eq \r(1－m2)


B [sin 239°tan 149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin 59°(－tan 31°)


＝－sin(90°－31°)·(－tan 31°)


＝－cs 31°·(－tan 31°)＝sin 31°


＝eq \r(1－cs231°)＝eq \r(1－m2)．]


5．若f(sin x)＝3－cs 2x，则f(cs 30°)＝( )


A．eq \f(5,2) B．eq \f(7,2)


C．eq \f(6＋\r(3),2) D．eq \f(6－\r(3),2)


B [f(cs 30°)＝f(sin 60°)＝3－cs 120°＝3＋cs 60°＝eq \f(7,2)或f(cs 30°)＝f(sin 120°)＝3－cs 240°＝3－cs 120°＝eq \f(7,2)．]


二、填空题


6．代数式sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)的化简结果是________．


1 [∵(A＋45°)＋(45°－A)＝90°，


∴sin(45°－A)＝cs(45°＋A)，


∴sin2(A－45°)＝sin2(45°－A)＝cs2(45°＋A)，


∴sin2(A＋45°)＋sin2(A－45°)＝1．]


7．已知tan θ＝2，则eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝________．


－2 [eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋θ))－csπ－θ,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－θ))－sinπ－θ)＝eq \f(cs θ＋cs θ,cs θ－sin θ)


＝eq \f(2cs θ,cs θ－sin θ)＝eq \f(2,1－tan θ)＝eq \f(2,1－2)＝－2．]


8．在△ABC中，eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－A))＝3sin(π－A)，且cs A＝－eq \r(3)cs(π－B)，则C＝________．


eq \f(π,2) [由已知得eq \r(3)cs A＝3sin A，∴tan A＝eq \f(\r(3),3)，


又∵A∈(0，π)，∴A＝eq \f(π,6)．


又cs A＝－eq \r(3)(－cs B)＝eq \r(3)cs B，


由cs A＝eq \f(\r(3),2)知cs B＝eq \f(1,2)，∴B＝eq \f(π,3)，


∴C＝π－(A＋B)＝eq \f(π,2)．]


三、解答题


9．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，


求eq \f(sin3π＋α＋csα＋π,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)))的值．


[解] ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))，


∴－sin α＝－2cs α，∴tan α＝2，


∴eq \f(sin3π＋α＋csα＋π,5cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)－α))＋3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,2)－α)))


＝eq \f(－sin3α－cs α,5sin α－3sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α)))


＝eq \f(－sin3α＋cs α,5sin α－3cs α)＝eq \f(sin3α＋cs α,3cs α－5sin α)


＝eq \f(sin2α·tan α＋1,3－5tan α)＝eq \f(\f(sin2α,sin2α＋cs2α)·tan α＋1,3－5tan α)


＝eq \f(\f(tan3α,1＋tan2α)＋1,3－5tan α)＝eq \f(\f(23,1＋22)＋1,3－5×2)＝－eq \f(13,35)．


10．是否存在这样的△ABC, 使等式sin (2π－A)－eq \r(2)cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋B))＝0，eq \r(2)cs (3π＋B)＋eq \r(3)sin (eq \f(π,2)＋A)＝0同时成立？若存在，求出A，B的值；若不存在，请说明理由．


[解] 假设存在这样的△ABC满足条件．


由已知条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin A＝\r(2)sin B，①,\r(3)cs A＝\r(2)cs B，②))


由①2＋②2，得sin2A＋3cs2A＝2．


所以sin2A＝eq \f(1,2)，因为A∈(0，π)，所以sin A＝eq \f(\r(2),2)．


由②知A，B只能为锐角，


所以A＝eq \f(π,4)．由②式知cs B＝eq \f(\r(3),2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,6)．


所以存在这样的△ABC，A＝eq \f(π,4)，B＝eq \f(π,6)满足条件．





1．已知锐角α终边上一点P的坐标是(2sin 2，－2cs 2)，则α等于( )


A．2 B．－2


C．2－eq \f(π,2) D．eq \f(π,2)－2


C [由条件可知点P到原点的距离为2，所以P(2cs α，2sin α)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2cs α＝2sin 2，,2sin α＝－2cs 2，))根据诱导公式及α为锐角可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＝cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))，,sin α＝sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))，))所以α＝2－eq \f(π,2)．故选C． ]


2．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－eq \f(3,5)，α是第二象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝( )


A．－eq \f(3,5) B．eq \f(3,5)


C．－eq \f(4,5) D．eq \f(4,5)


C [∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))＝－sin α＝－eq \f(3,5)，∴sin α＝eq \f(3,5)．


又α是第二象限角，∴cs α＝－eq \f(4,5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(3π,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)－2π))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))


＝cs α＝－eq \f(4,5)．]


3．已知sin α＋cs α＝－eq \r(2)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))的值为_______．


－2 [因为sin α＋cs α＝－eq \r(2)，所以(sin α＋cs α)2＝2，所以sin αcs α＝eq \f(1,2)．


所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2)))＋eq \f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,2))))＋eq \f(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2))))＝eq \f(cs α,－sin α)＋eq \f(sin α,－cs α)


＝－eq \f(sin α,cs α)－eq \f(cs α,sin α)＝－eq \f(1,sin αcs α)＝－2．]


4．是否存在角α，β，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，β∈(0，π)，使得等式sin(3π－α)＝－eq \r(2)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋β))与eq \r(3)cs(－α)＝－eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－β))同时成立？


[解] 存在．所需成立的两个等式可化为sin α＝eq \r(2)sin β，eq \r(3)cs α＝eq \r(2)cs β，


两式两边分别平方相加得：


sin2α＋3cs2α＝2，


得2cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(1,2)．


又因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以α＝eq \f(π,4)或－eq \f(π,4)．


当α＝eq \f(π,4)时，由eq \r(3)cs α＝eq \r(2)cs β，得cs β＝eq \f(\r(3),2)，


又β∈(0，π)，所以β＝eq \f(π,6)；


当α＝－eq \f(π,4)时，由sin α＝eq \r(2)sin β，得sin β＝－eq \f(1,2)，


而β∈(0，π)，所以无解．


综上得，存在α＝eq \f(π,4)，β＝eq \f(π,6)使两等式同时成立．