数学第1章 集合本章综合与测试优秀课后作业题

这是一份数学第1章 集合本章综合与测试优秀课后作业题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(二) 集合的表示


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．不等式|8－3x|>0的解集是( )


A．∅ B．R


C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(8,3))))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))


C [由|8－3x|>0可知，8－3x≠0，即x≠eq \f(8,3)．故不等式解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(8,3)))))．]


2．已知A＝{－1，－2,0,1}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，则B为( )


A．{1,2} B．{0,1,2}


C．{－1，－2,0,1} D．∅


B [当y＝－1，－2,0,1时对应的x＝1,2,0,1，故B＝{0,1,2}．]


3．下列各组集合中，满足P＝Q的是( )


A．P＝{(1,2)}，Q＝{1,2}


B．P＝{(1,2)}，Q＝{(2,1)}


C．P＝{1,2,3}，Q＝{3,2,1}


D．P＝{(x，y)|y＝x－1，x∈R}，


Q＝{y|y＝x－1，x∈R}


C [A中P为坐标，Q为数．


B中P，Q都是坐标，但两坐标不同．


C中P＝Q．


D中P为直线y＝x－1上点的坐标，而Q表示直线y＝x－1上点的纵坐标．]


4．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )


A．2 B．3


C．4 D．5


D [列表如下：


可见B中元素有0,1,2，－1，－2．]


5．已知x，y为非零实数，则集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(x,|x|)))＋\f(y,|y|)＋\f(xy,|xy|)))可简化为( )


A．{0} B．{－1}


C．{3} D．{－1,3}


D [当x＞0，y＞0时，m＝3，


当x＜0，y＜0时，m＝－1－1＋1＝－1．


若x，y异号，不妨设x＞0，y＜0，


则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1．


因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．]


二、填空题


6．设集合A＝{4x，x－y}，B＝{4,7}，若A＝B，则x＋y＝ ．


－5或－eq \f(1,2) [∵A＝B，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＝4，,x－y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＝7，,x－y＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－6))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(7,4)，,y＝－\f(9,4)，))∴x＋y＝－5或－eq \f(1,2)．]


7．若集合A＝{－1,2}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为 ．


－3 [∵A＝B，∴－1,2是方程x2＋ax＋b＝0的根，


由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋2＝－a，,－1×2＝b，))∴a＝－1，b＝－2，


∴a＋b＝－3．]


8．(一题两空)已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，\f(y,x)，1))，B＝{x2，x＋y,0}，若A＝B，则x2 019＋y2 020＝ ，A＝B＝ ．


－1 {－1,0,1} [由题知x≠0，∴y＝0，则A＝{x,0,1}，B＝{x2，x,0}，∴x2＝1，∴x＝±1，y＝0．


当x＝1时，A中有两个1，与元素的互异性矛盾，


当x＝－1时，符合题意，此时A＝B＝{－1,0,1}，


x2 019＋y2 020＝－1．]


三、解答题


9．试分别用列举法和描述法表示下列集合．


(1)方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合；


(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合．


[解] (1)∵x2－9＝0，∴x＝±3，列举法表示为{－3,3}，


描述法表示为{x|x2－9＝0}．


(2)大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17,18,19．


列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}，


描述法表示为{x|10

10．设A表示集合{a2＋2a－3,2,3}，B表示集合{2，|a＋3|}，已知5∈A且5B，求a的值．


[解] ∵5∈A，∴a2＋2a－3＝5，解得a＝2或a＝－4．当a＝2时，|a＋3|＝5，不符合题意，应舍去．当a＝－4时，|a＋3|＝1，符合题意．综上所述，a＝－4．





1．设集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，则a2 020＋b2 020的值为( )


A．0 B．1


C．2 D．0或1


B [由题知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝1，,a2＝b，)) (1)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝b，,a2＝1，)) (2)


解(1)得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝1，))此时，A中的三个元素均为1，这与互异性矛盾．解(2)得a＝－1或1(舍)，此时b＝0，


∴a2 020＋b2 020＝1．]


2．设是R上的一个运算，A是某些实数组成的集合．若对任意a，b∈A，有ab∈A，则称A对运算封闭．下列数集对加法、减法、乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是( )


A．自然数集 B．整数集


C．有理数集 D．无理数集


C [自然数集中的减法运算的结果可能产生负数，如3－4＝－1N；整数集中的除法运算的结果可能产生小数，如2÷4＝0．5Z；无理数集中乘法运算的结果可以是有理数，如eq \r(2)×eq \r(2)＝2∈Q．故选C．]


3．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈ (填M，P，Q中的一个)．


Q [依据题意设a＝3k，b＝3t＋1，c＝3m－1(k，t，m∈Z)，则a＋b－c＝3(k＋t－m)＋2＝3(k＋t－m＋1)－1，所以该元素具有集合Q中元素的特征性质，应属于集合Q．]


4．(一题两空)已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，则x＝ ，y＝ ．


－1 －1 [∵0∈B，A＝B，∴0∈A．


若x＝0，则A＝{0,0，－y}不成立，∴x≠0．


又y∈B，∴y≠0，∴只能x－y＝0．∴x＝y．


从而A＝{0，x，x2}，B＝{0，|x|，x}．


∴x2＝|x|．∴x＝0或x＝1或x＝－1．


经验证x＝0，x＝1均不合题意，


∴x＝－1，即x＝－1，y＝－1适合．]


5．已知集合A＝{x|x＝m＋eq \r(2)n，m，n∈Z}．


(1)试分别判断x1＝－eq \r(2)，x2＝eq \f(1,2－\r(2))，x3＝(1－2eq \r(2))2与集合A的关系；


(2)设x1，x2∈A，证明：x1·x2∈A．


[解] (1)x1＝－eq \r(2)＝0＋(－1)×eq \r(2)，


∵0，－1∈Z，∴x1∈A；


x2＝eq \f(1,2－\r(2))＝eq \f(2＋\r(2),2)＝1＋eq \f(1,2)×eq \r(2)，


∵1∈Z，但eq \f(1,2)Z，∴x2A；


x3＝(1－2eq \r(2))2＝9－4eq \r(2)＝9＋(－4)×eq \r(2)，


∵9，－4∈Z，∴x3∈A．


(2)证明：∵x1，x2∈A，∴可设x1＝m1＋eq \r(2)n1，x2＝m2＋eq \r(2)n2，且m1，n1，m2，n2∈Z．


∴x1·x2＝(m1＋eq \r(2)n1)(m2＋eq \r(2)n2)＝m1m2＋eq \r(2)(m2n1＋m1n2)＋2n1n2＝(m1m2＋2n1n2)＋eq \r(2)(m2n1＋m1n2)．


又m1m2＋2n1n2∈Z，m2n1＋m1n2∈Z，∴x1·x2∈A．


6．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．


(1)若A中只有一个元素，求a的值；


(2)若A中最多有一个元素，求a的取值范围；


(3)若A中至少有一个元素，求a的取值范围；


(4)若A＝∅，求a的取值范围．


[解] (1)当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，


此时x＝－eq \f(1,2)，符合题意；


当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a＝0，即a＝1时，原方程的解为x＝－1，符合题意．故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．


(2)若A中最多有一个元素，则A中可能无任何元素，或者只有一个元素，由(1)知当a＝0时只有一个元素，当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0为一元二次方程，Δ＝4－4a<0，即a>1时，A为∅；Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的根，A中有一个元素．故当a＝0或a≥1时，A中最多有一个元素．


(3)A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．当A中有两个元素时，a≠0且Δ>0，得a<1且a≠0，结合(1)可知，a≤1．


(4)A＝∅时，由(2)知，a>1．


0
1
2
0
0
－1
－2
1
1
0
－1
2
2
1
0