苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试测试题

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易混易错练

易错点1　求值时因忽视分母致错

1.()已知tan α=2,则2sin2α-3cos2α=　　　　. 

2.()已知(tan α-3)(sin α+cos α+3)=0,求下列各式的值.

(1);

(2)2+cos2α.

易错点2　利用诱导公式时,忽视讨论参数致错

3.()化简(n∈Z)的结果为　　　　. 

4.()化简:tan.

易错点3　应用三角函数定义求值时,忽视参数的取值

范围致错

5.(2020上海金山中学高一上学期期末,)已知角α的终边上有一点P的坐标是(3a,-4a),其中a≠0,化简2sin α+cos α.

易错点4　忽视三角函数的定义域致错

6.()函数f(x)=cos,x∈的值域是　　　　. 

7.()判断函数f(x)=的奇偶性.

易错点5　图象变换中因忽视自变量的系数和平移方向致错

8.()为了得到y=sinx的图象,只需要将y=sin的图象(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.向左平移个单位 B.向右平移个单位

C.向左平移个单位 D.向右平移个单位

9.()函数y=sin的图象可由函数y=cos x 的图象(　　)

A.先把各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平移个单位

B.先把各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平移个单位

C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平移个单位

D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平移个单位

思想方法练

一、数形结合思想在三角函数中的应用

1.()y=|cos x|的一个单调递增区间是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A. B.[0,π]

C. D.

2.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的图象与直线y=a(0<a<A)的三个相邻交点的横坐标分别为2、4、8,则f(x)的单调递减区间是(　　)

A.[6kπ,6kπ+3],k∈Z B.[6kπ-3,6kπ],k∈Z

C.[6k,6k+3],k∈Z D.[6k-3,6k],k∈Z

3.(2019江苏扬州月考,)已知函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是　　　　　. 

4.()在[0,2π]内,使sin x>cos x成立的x的取值范围是　　　　. 

5.()已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的大致图象如图所示,则函数的解析式为　　　　　　　,方程f(x)-lg x=0的实根个数为　　　　. 

二、利用分类讨论思想解决三角函数的证明问题

6.()证明:=(-1)ncos α,n∈Z.

三、利用函数与方程思想解决求值问题

7.()函数f(x)=cos x-sin2x的最大值是　　　　. 

8.()已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sin α,cos α,tan α的值.

四、利用转化与化归思想解决比较大小问题

9.()比较tan与tan的大小.

答案全解全析

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易混易错练

1.答案　1

解析　2sin2α-3cos2α=,

因为cos2α≠0,所以分子、分母可同时除以cos2α,

得=1.

2.解析　∵(tan α-3)(sin α+cos α+3)=0,

∴tan α=3.

(1)=1.

(2)2+cos2α

=

=

=.

3.答案　(-1)n+1sin α(n∈Z)

解析　(1)当n=2k(k∈Z)时,

原式=

==-sin α.

(2)当n=2k+1(k∈Z)时,

原式=

==sin α.

所以原式化简的结果为(-1)n+1sin α(n∈Z).

4.解析　当k为奇数,即k=2n+1(n∈Z)时,

tan

=tan+α=;

当k为偶数,即k=2n(n∈Z)时,

tan=tan(nπ+α)=tan α.

综上,tan

5.解析　由三角函数的定义可知

sin α=,

cos α=,

当a>0时,sin α=-,cos α=,

则2sin α+cos α=-1;

当a<0时,sin α=,cos α=-,

则2sin α+cos α=1.

6.答案　

解析　因为0<x≤,所以≤,所以-≤cos,所以函数f(x)的值域是.

7.解析　∵1-sin x≠0,∴x≠2kπ+,k∈Z,∵定义域不关于原点对称,∴该函数是非奇非偶函数.

8.C　∵y=sin

=sin,

∴只需将y=sin的图象向左平移个单位,就能得到y=sinx的图象.

9.B　函数y=sin.

先将函数y=cos x的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到y=cos 2x的图象;

再向右平移个单位,得到y=cos2x-=cos的图象.故选B.

思想方法练

1.D　如图所示,作出y=|cos x|的图象,结合图象可得y=|cos x|的一个单调递增区间是.故选D.

2.D　f(x)的大致图象如图所示.

由图象知最小正周期T=8-2=6,当x=3时,y取最大值,当x=6时,y取最小值,因此, f(x)的单调递减区间为[6k+3,6k+6],k∈Z,即[6k-3,6k],k∈Z.故选D.

3.答案　x或+2kπ,k∈N

解析　在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y=的图象,如图所示.

所以f(x)>的解集为

.

4.答案　

解析　在同一平面直角坐标系中画出y=sin x,y=cos x,x∈[0,2π]的图象如图.

由图象知,x∈时,sin x>cos x.

5.答案　f(x)=2sin;63

解析　显然A=2,由图象过点(0,1),得f(0)=1,即2sin φ=,又因为|φ|<,所以φ=,

因为点在图象上,所以f=0,即2sin=0,

由图象可知,是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点,

所以=2π,解得ω=2,

所以函数的解析式为f(x)=2sin.

在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)=2·sin和函数y=lg x的图象,如图.

因为f(x)的最大值为2,令lg x=2得x=100.

令+kπ<100,k∈Z,得k≤30,k∈Z,

而+31π>100,所以在(0,100]内有31个形如,0≤k≤30,k∈Z的区间.

而在每一个区间上,函数f(x)=2·sin和函数y=lg x的图象都有2个交点,故这两个图象在内有62个交点,另外在内还有1个交点.

故方程f(x)-lg x=0共有63个实根.

6.证明　当n为偶数时,令n=2k,k∈Z,

左边=

= ==cos α,k∈Z,

右边=(-1)2kcos α=cos α,k∈Z,

则左边=右边,原等式成立.

当n为奇数时,令n=2k-1,k∈Z,

左边=

=

=

==-cos α,k∈Z,

右边=(-1)2k-1cos α=-cos α,k∈Z,

则左边=右边,原等式成立.

综上所述,=(-1)n·cos α,n∈Z.

7.答案　

解析　f(x)=cos x-sin2x=cos2x+cos x-1=.

设cos x=t,因为≤x≤,所以≤cos x≤,即≤t≤,又因为函数y=在上单调递增,所以ymax=,所以f(x)的最大值为.

8.解析　已知角α的终边在直线3x+4y=0上,

在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),则x=4t,y=-3t,

r==5|t|(其中r表示点P与坐标原点的距离).

当t>0时,r=5t,sin α=,

cos α=,

tan α=;

当t<0时,r=-5t,sin α=,

cos α=,

tan α=.

综上可知,sin α=-,cos α=,tan α=-或sin α=,cos α=-,tan α=-.

9.解析　tan,

tan.

因为0<,且y=tan x在上单调递增,

所以tan,

所以-tan,

即tan.