新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.3 7.3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ) 课件

7.3.3　函数y＝Asin(ωx＋φ)

用五点法作函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的简图如何取点？函数y＝sin x与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？从图象上看，函数y＝sin x与函数y＝Asin(ωx＋φ)存在着怎样的关系？φ，ω，A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象又有什么影响？

知识点1　图象变换

(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响(相位变换)：

y＝sin x图象y＝sin(x＋φ)图象．

(2)A对函数y＝Asin x图象的影响(振幅变换)：

y＝sin x图象各点纵坐标变为原来的A倍(横坐标不变)得到y＝Asin x图象．

(3)ω对函数y＝sin ωx的图象的影响(周期变换)：

y＝sin x图象各点横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin ωx图象．

先平移后伸缩与先伸缩后平移相同吗？

[提示]　不相同．平移的单位长度不同．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)将y＝sin x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．                (　　)

(2)将y＝sin x图象上所有点的横坐标变为原来的，得到y＝sin x的图象．                            (　　)

(3)将y＝sin x图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2sin x的图象．                            (　　)

[提示]　(1)y＝sin xy＝sin．

(2)y＝sin xy＝sin 2x．

(3)y＝sin xy＝2sin x．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

知识点2　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

2．已知f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，则f(x)＝________．

2sin　[由题意可知，A＝2，

又＝－＝，∴T＝π，

∴ω＝＝2，

∴f(x)＝2sin．]

类型1　作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

【例1】　作出函数y＝2sin＋3的图象并指出它的最值及单调区间．

[解]　(1)列表如下：

(2)描点．

(3)作图，如图所示．

最大值为5，最小值为1，函数的减区间为，k∈Z，

增区间为，k∈Z．

用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤

第一步：列表

第二步：在同一坐标系中描出各点．

第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象．

1．用五点法作出函数y＝2sin的图象，并指出函数的单调区间．

[解]　(1)列表：

(2)描点．

(3)连线．用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示为该函数在一个周期内图象，然后将图象左右平移(每次π个单位长度)即可得到该函数在定义域R内的图象．可见在一个周期内，函数在上递减，又因为函数的周期为π，所以函数的减区间为(k∈Z)．

同理，增区间为(k∈Z)．

类型2　三角函数的图象变换

【例2】　如何由函数y＝sin x的图象得到函数y＝3sin(x∈R)的图象．

[母题探究]

1．(变结论)如何由y＝sin x的图象得到函数y＝3sin的图象？

[解]　先把y＝sin x的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y＝sin的图象；再把y＝sin的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；最后把y＝sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．

2．(变结论)如何由y＝3sin的图象得到y＝sin x的图象？

变换作图法的基本途径

对函数y＝Asinωx＋φ＋kA>0，ω>0，φ≠0，k≠0，其图象的基本变换有：

1纵向伸缩变换：是由A的变化引起的，A>1时伸长，A<1时缩短.

2横向伸缩变换：是由ω的变化引起的，ω>1时缩短，ω<1时伸长.

3横向平移变换：是由φ引起的，φ>0时左移，φ<0时右移.

4上下平移纵向平移变换：是由k引起的，k>0时上移，k<0时下移.

可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.

2．由函数y＝sin x的图象经过怎样的变换，可以得到函数y＝－2sin＋1的图象．

类型3　由图象求函数的解析式

【例3】　如图所示为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求函数的解析式．

[解]　由图象知A＝2，＝－＝，

∴T＝π＝，∴ω＝2，

∵图象过，∴2＝2sin，

∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，

∴φ＝＋2kπ，k∈Z，

又∵0<|φ|<，∴φ＝．

∴函数解析式f(x)＝2sin．

确定函数y＝Asinωx＋φ解析式的策略与步骤

若设所求解析式为y＝Asinωx＋φ，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.

1一般可由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.

2因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可以通过已知曲线与x轴的交点来确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点或最低点之间的距离为T.

3以“五点法”中与x轴的第一个交点作为突破口，要从图象的升降情况找准与x轴的第一个交点的位置来确定φ.

3．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．

[解]　法一(逐一定参法)：

由图象知振幅A＝3，又T＝－＝π，∴ω＝＝2．

由点，得－×2＋φ＝kπ，得φ＝kπ＋，k∈Z，

又∵|φ|<，∴φ＝．∴y＝3sin．

法二(待定系数法)：

由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得

∴y＝3sin．

类型4　y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质

【例4】　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为，求函数的解析式并指出增区间．

[解]　∵图象最高点的坐标为，

∴A＝5．

∵＝－＝，∴T＝π，

∴ω＝＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．

代入点，得sin＝1，

∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z．

∴φ＝－＋2kπ，k∈Z．

又∵|φ|<，∴k＝0，则φ＝－，

∴y＝5sin．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

∴函数的增区间为(k∈Z)．

与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧

(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．

(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．

4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ<π)是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．

[解]　由f(x)是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即函数f(x)的图象关于y轴对称，

∴f(x)在x＝0时取得最值，即sin φ＝1或－1．

依题设0≤φ<π，∴解得φ＝．

由f(x)的图象关于点M对称，可知

sin＝0，即ω＋＝kπ，解得ω＝－，k∈Z．

又f(x)在上是单调函数，

∴T≥π，即≥π．

∴ω≤2，又ω>0，

∴k＝1时，ω＝；k＝2时，ω＝2．

故φ＝，ω＝2或．

1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　)

A．　　　　 B．

C．     D．

A　[令4x－＝，得x＝，∴该点坐标为．]

2．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(x＋φ)的以下说法，正确的是(　　)

A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数

B．存在φ，使f(x)是偶函数

C．存在φ，使f(x)是奇函数

D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数

BC　[当φ＝0时，f(x)＝sin x，是奇函数；当φ＝时，f(x)＝cos x，是偶函数．故选BC．]

3．将y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)的图象，则f(x)＝________．

sin x　[将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f(x)＝2×sin x＝sin x的图象．]

4．函数y＝sin的图象的对称中心为________．

　[由2x＋＝kπ得：x＝－(k∈Z)，

所以函数的对称中心为．]

5．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的一部分，那么ω＝________，φ＝________．

　　[∵点在函数图象上，∴sin φ＝．

又∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝sin．

又∵点(π，0)在y＝sin上，且该点是“五点”中的第五个点，

∴sin＝0，∴πω＝2π－，∴ω＝．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．通过本节课的学习，你能经过怎样的变换由y＝sin x的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象？

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？

[提示]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．

3．你认为怎样由y＝Asin(ωx＋φ)的图象或部分图象确定函数的解析式？

[提示]　根据图象(或部分图象)确定A、ω，然后利用待定系数法求φ．