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    (新)苏教版高中数学必修第一册学案:第7章 章末综合提升(含解析)
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    苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀学案

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    这是一份苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀学案,共10页。




    [巩固层·知识整合]





    [提升层·题型探究]


    【例1】 (1)已知角α的终边过点P(-4m,3m)(m≠0),则2sin α+cs α的值是________.


    (2)函数y=eq \r(sin x)+eq \r(2cs x-1)的定义域是________.


    [思路点拨] (1)根据三角函数的定义求解,注意讨论m的正负.


    (2)利用三角函数线求解.


    (1)eq \f(2,5)或-eq \f(2,5) (2)eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ+\f(π,3),k∈Z))))


    [(1)r=|OP|=eq \r(-4m2+3m2)=5|m|.


    当m>0时,sin α=eq \f(y,r)=eq \f(3m,5m)=eq \f(3,5),cs α=eq \f(x,r)=eq \f(-4m,5m)=-eq \f(4,5),∴2sin α+cs α=eq \f(2,5).


    当m<0时,sin α=eq \f(y,r)=eq \f(3m,-5m)=-eq \f(3,5),cs α=eq \f(x,r)=eq \f(-4m,-5m)=eq \f(4,5),∴2sin α+cs α=-eq \f(2,5).


    故2sin α+cs α的值是eq \f(2,5)或-eq \f(2,5).


    (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0,,2cs x-1≥0,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0,,cs x≥\f(1,2),))


    如图,结合三角函数线知:





    eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ+πk∈Z,,2kπ-\f(π,3)≤x≤2kπ+\f(π,3)k∈Z,))


    解得2kπ≤x≤2kπ+eq \f(π,3)(k∈Z),


    ∴函数的定义域为


    eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ+\f(π,3),k∈Z)))).]





    三角函数的概念所涉及的内容主要有以下两方面:


    1任意角和弧度制.理解任意角的概念、弧度的意义,能正确地进行弧度与角度的换算.


    2任意角的三角函数.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线,能够利用三角函数线判断三角函数的符号,借助三角函数线求三角函数的定义域.





    eq \([跟进训练])


    1.(1)已知角α的顶点在原点,始边为x轴的非负半轴.若角α的终边经过点P(-eq \r(3),y),且sin α=eq \f(\r(3),4)y(y≠0),判断角α所在的象限,并求cs α和tan α的值;


    (2)若角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+eq \f(3,cs α)的值.


    [解] (1)依题意,点P到原点O的距离为|PO|=eq \r(-\r(3)2+y2),∴sin α=eq \f(y,r)=eq \f(y,\r(3+y2))=eq \f(\r(3),4)y.


    ∵y≠0,∴9+3y2=16,∴y2=eq \f(7,3),


    ∴y=±eq \f(\r(21),3).


    ∴点P在第二或第三象限.


    当点P在第二象限时,y=eq \f(\r(21),3),cs α=eq \f(x,r)=-eq \f(3,4),tan α=-eq \f(\r(7),3).


    当点P在第三象限时,y=-eq \f(\r(21),3),cs α=eq \f(x,r)=-eq \f(3,4),


    tan α=eq \f(\r(7),3).


    (2)设角α终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),


    则r=eq \r(x2+y2)=eq \r(k2+-3k2)=eq \r(10)|k|.


    当k>0时,r=eq \r(10)k.


    ∴sin α=eq \f(-3k,\r(10)k)=-eq \f(3,\r(10)),eq \f(1,cs α)=eq \f(\r(10)k,k)=eq \r(10).


    ∴10sin α+eq \f(3,cs α)=-3eq \r(10)+3eq \r(10)=0.


    当k<0时,r=-eq \r(10)k.


    ∴sin α=eq \f(-3k,-\r(10)k)=eq \f(3,\r(10)),eq \f(1,cs α)=eq \f(-\r(10)k,k)=-eq \r(10).


    ∴10sin α+eq \f(3,cs α)=3eq \r(10)-3eq \r(10)=0.


    综上,10sin α+eq \f(3,cs α)=0.





    【例2】 已知关于x的方程2x2-(eq \r(3)+1)x+m=0的两根为sin θ,cs θ,θ∈(0,2π).求:


    (1)eq \f(cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)-θ)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)-θ))+cs-π-θ)+eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+θ)),1+tanπ-θ);


    (2)m的值;


    (3)方程的两根及此时θ的值.


    [思路点拨] 先利用根与系数的关系得到sin θ+cs θ与sin θcs θ,再利用诱导公式和三角函数的基本关系式求解.


    [解] 由根与系数的关系,得


    sin θ+cs θ=eq \f(\r(3)+1,2),sin θcs θ=eq \f(m,2).


    (1)原式=eq \f(sin2θ,sin θ-cs θ)+eq \f(cs θ,1-tan θ)=eq \f(sin2θ,sin θ-cs θ)+eq \f(cs θ,1-\f(sin θ,cs θ))=eq \f(sin2θ,sin θ-cs θ)-eq \f(cs2θ,sin θ-cs θ)=sin θ+cs θ=eq \f(\r(3)+1,2).


    (2)由sin θ+cs θ=eq \f(\r(3)+1,2),两边平方可得1+2sin θcs θ=eq \f(4+2\r(3),4),把sin θcs θ=eq \f(m,2)代入得1+2×eq \f(m,2)=1+eq \f(\r(3),2),∴m=eq \f(\r(3),2).


    (3)由m=eq \f(\r(3),2)可解方程2x2-(eq \r(3)+1)x+eq \f(\r(3),2)=0,


    得两根为eq \f(1,2)和eq \f(\r(3),2).∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ=\f(1,2),,cs θ=\f(\r(3),2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin θ=\f(\r(3),2),,cs θ=\f(1,2).))


    ∵θ∈(0,2π),


    ∴θ=eq \f(π,6)或eq \f(π,3).





    同角三角函数的基本关系和诱导公式是三角恒等变换的主要依据,主要应用方向是三角函数式的化简、求值和证明.常用以下方法技巧:1化弦:当三角函数式中三角函数名称较多时,往往把三角函数化为弦,再化简变形.2化切:当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,有时可将三角函数名称都化为正切,再化简变形.3“1”的代换:在三角函数式中,有些会含有常数1,常数1虽然非常简单,但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将1代换为三角函数式.








    eq \([跟进训练])


    2.已知f(α)=eq \f(sin2π-α·cs2π-α·tan-π+α,sin-π+α·tan-α+3π).


    (1)化简f(α);


    (2)若f(α)=eq \f(1,8),且eq \f(π,4)<α

    (3)若α=-eq \f(47π,4),求f(α)的值.


    [解] (1)f(α)=eq \f(sin2α·cs α·tan α,-sin α-tan α)=sin α·cs α.


    (2)由f(α)=sin α·cs α=eq \f(1,8)可知,(cs α-sin α)2=cs2α-2sin α·cs α+sin2α


    =1-2sin α·cs α=1-2×eq \f(1,8)=eq \f(3,4).


    又∵eq \f(π,4)<α

    即cs α-sin α<0,∴cs α-sin α=-eq \f(\r(3),2).


    (3)∵α=-eq \f(47π,4)=-6×2π+eq \f(π,4),


    ∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(47π,4)))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(47π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(47π,4)))


    =cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-6×2π+\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-6×2π+\f(π,4)))


    =cs eq \f(π,4)·sin eq \f(π,4)=eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)=eq \f(1,2).





    【例3】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0,A>0,0<φ<\f(π,2)))的周期为π,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \r(3)+1,且f(x)的最大值为3.


    (1)写出f(x)的表达式;


    (2)写出函数f(x)的对称中心、对称轴方程及单调区间;


    (3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))上的最大值和最小值.


    [思路点拨] (1)由T=eq \f(2π,ω)求ω,由f(x)的最大值为3求A,由feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \r(3)+1,求φ.


    (2)把ωx+φ看作一个整体,结合y=sin x的单调区间与对称性求解.


    (3)由x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))求出ωx+φ的范围,利用单调性求最值.


    [解] (1)∵T=π,∴ω=eq \f(2π,T)=2.


    ∵f(x)的最大值为3,∴A=2.


    ∴f(x)=2sin(2x+φ)+1.


    ∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \r(3)+1,


    ∴2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)+φ))+1=eq \r(3)+1,


    ∴cs φ=eq \f(\r(3),2).


    ∵0<φ

    ∴φ=eq \f(π,6).


    ∴f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))+1.


    (2)由f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))+1,


    令2x+eq \f(π,6)=kπ,得x=eq \f(kπ,2)-eq \f(π,12)(k∈Z),


    ∴对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)-\f(π,12),1))(k∈Z).


    由2x+eq \f(π,6)=kπ+eq \f(π,2),得x=eq \f(kπ,2)+eq \f(π,6)(k∈Z),


    ∴对称轴方程为x=eq \f(kπ,2)+eq \f(π,6)(k∈Z).


    由2kπ-eq \f(π,2)≤2x+eq \f(π,6)≤2kπ+eq \f(π,2),得kπ-eq \f(π,3)≤x≤kπ+eq \f(π,6)(k∈Z),


    ∴f(x)的单调增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ-\f(π,3),kπ+\f(π,6)))(k∈Z).


    由2kπ+eq \f(π,2)≤2x+eq \f(π,6)≤2kπ+eq \f(3π,2),得kπ+eq \f(π,6)≤x≤kπ+eq \f(2π,3)(k∈Z),


    ∴f(x)的单调减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ+\f(π,6),kπ+\f(2π,3)))(k∈Z).


    (3)当0≤x≤eq \f(π,2)时,eq \f(π,6)≤2x+eq \f(π,6)≤eq \f(7π,6),


    ∴-eq \f(1,2)≤sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))≤1,


    ∴f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2)))上的最大值为3,最小值为0.





    三角函数的图象是研究三角函数性质的基础,又是三角函数性质的具体体现.在平时的考查中,主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定,以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质.具体要求:


    1用“五点法”作y=Asinωx+φ的图象时,确定五个关键点的方法是分别令ωx+φ=0,eq \f(π,2),π,eq \f(3π,2),2π.


    2对于y=Asinωx+φ的图象变换,应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别.


    3已知函数图象求函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的解析式时,常用的解题方法是待定系数法.





    eq \([跟进训练])


    3.已知函数f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6)))


    (1)求函数f(x)的单调递增区间;


    (2)将y=f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度,再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到y=g(x)的图象.若函数y=g(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(13π,4)))上的图象与直线y=a有三个交点,求实数a的取值范围.


    [解] (1)f(x)=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x-\f(π,6))).令2kπ-eq \f(π,2)≤2x-eq \f(π,6)≤2kπ+eq \f(π,2),k∈Z,得kπ-eq \f(π,6)≤x≤kπ+eq \f(π,3),k∈Z.所以函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ-\f(π,6),kπ+\f(π,3))),k∈Z.


    (2)将f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度,得g1(x)=sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,3)))-\f(π,6)))=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,2)))=cs 2x的图象,再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得g(x)=cs x的图象.作函数g(x)=cs x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2),\f(13π,4)))上的图象,作直线y=a.根据图象知,实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2),0)).











    【例4】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈Req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A>0,ω>0,|φ|<\f(π,2)))在一个周期内的简图如图所示,求函数g(x)=f(x)-lg x根的个数.





    [思路点拨] eq \x(识图)→eq \x(求A,ω,φ)→


    eq \x(画出fx及y=lg x的图象)→eq \x(下结论)


    [解] 显然A=2.


    由图象过(0,1)点,则f(0)=1,即sin φ=eq \f(1,2),


    又|φ|<eq \f(π,2),则φ=eq \f(π,6).


    又eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12),0))是图象上的点,则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)))=0,


    即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12)ω+\f(π,6)))=0,由图象可知,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11π,12),0))是图象在y轴右侧部分与x轴的第二个交点.


    ∴eq \f(11π,12)ω+eq \f(π,6)=2π,∴ω=2,因此所求函数的解析式为f(x)=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6))).


    在同一坐标系中作函数y=2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x+\f(π,6)))和函数y=lg x的示意图如图所示:





    ∵f(x)的最大值为2,令lg x=2,得x=100,令eq \f(11,12)π+kπ<100(k∈Z),得k≤30(k∈Z),而eq \f(11,12)π+31π>100,∴在区间(0,100]内有31个形如eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11,12)π+kπ,\f(17,12)π+kπ))(k∈Z,0≤k≤30)的区间,在每个区间上y=f(x)与y=lg x的图象都有2个交点,故这两个函数图象在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(11π,12),100))上有2×31=62个交点,另外在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(11,12)π))上还有1个交点,


    ∴方程f(x)-lg x=0共有实根63个,


    ∴函数g(x)=f(x)-lg x共有63个实根.





    数形结合常用于解方程、解不等式、求函数的值域、判断图象交点的个数、求参数范围等题目中.


    本章中,常常利用单位圆中的三角函数线或三角函数的图象解答三角问题,是典型的“以形助数”的方法.





    eq \([跟进训练])


    4.在(0,2π)内使sin x>|cs x|成立的x的取值范围是( )


    A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(3π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4),\f(3π,2)))


    C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4),\f(7π,4)))


    A [sin x>|cs x|,∴sin x>0,∴x∈(0,π).在同一坐标系中画出y=sin x,x∈(0,π)与y=|cs x|,x∈(0,π)的图象,如图.





    观察图象易得使sin x>|cs x|成立的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4),\f(3π,4))),故选A.]


    任意角的三角函数概念
    同角三角函数的基本关系与诱导公式
    三角函数的图象与性质
    数形结合思想
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