苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数本章综合与测试优秀同步测试题

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课时分层作业(三十七) 正弦、余弦函数的图象与性质


(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．函数y＝cs x在区间[－π，a]上为增函数，则a的取值范围是( )


A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2))) B．(－π，0]


C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)) D．(－π，π)


B [y＝cs x在[－π，0]上为增函数，在[0，π]上为减函数，所以a∈(－π，0]．]


2．函数f(x)＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(15π,2)))的奇偶性为( )


A．偶函数 B．奇函数


C．非奇非偶 D．既奇又偶


A [f(x)＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(15π,2)))＝7sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)x＋\f(3π,2)))


＝－7cs eq \f(2,3)x，∴f(x)是偶函数．]


3．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称，则φ＝( )


A．2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) B．2kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)


C．kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z) D．kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)


D [由题意，当x＝eq \f(π,8)时，


f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)＋φ))＝±1，


故eq \f(π,4)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，解得φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)．]


4．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下面结论错误的是( )


A．函数f(x)的最小正周期为2π


B．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数


C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称


D．函数f(x)是奇函数


D [∵y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－cs x，∴T＝2π，即A正确．y＝cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，则y＝－cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，即B正确．由图象知y＝－cs x的图象关于x＝0对称，即C正确．y＝－cs x为偶函数，即D不正确．]


5．若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω＝( )


A．eq \f(3,4) B．eq \f(1,4)


C．eq \f(3,2) D．eq \f(1,2)


C [因为当0≤ωx≤eq \f(π,2)时，函数f(x)是增函数，


当eq \f(π,2)≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，


即当0≤x≤eq \f(π,2ω)时，函数f(x)为增函数，


当eq \f(π,2ω)≤x≤eq \f(π,ω)时，函数f(x)为减函数，


所以eq \f(π,2ω)＝eq \f(π,3)，所以ω＝eq \f(3,2)．]


二、填空题


6．(一题两空)函数y＝2cs x－1的最大值是________，最小值是_______．


1 －3 [∵cs x∈[－1,1]，∴y＝2cs x－1∈[－3,1]．


∴最大值为1，最小值为－3．]


7．(一题两空)y＝eq \r(sin x)的定义域为________，单调递增区间为________．


[2kπ，π＋2kπ](k∈Z) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z) [由题意知sin x≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．


∵当x∈[0，π]时，y＝eq \r(sin x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，


∴其递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．]


8．函数值sin eq \f(3π,5)，sin eq \f(4π,5)，sin eq \f(9π,10)从大到小的顺序为________(用“>”连接)．


sin eq \f(3π,5)>sin eq \f(4π,5)>sin eq \f(9π,10) [∵eq \f(π,2)

又函数y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，


∴sin eq \f(3π,5)>sin eq \f(4π,5)>sin eq \f(9π,10)．]


三、解答题


9．设函数f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))，x∈R．


(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；


(2)求函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值．


[解] (1)最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π，


由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，


得kπ－eq \f(π,8)≤x≤kπ＋eq \f(3π,8)(k∈Z)，


∴函数f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,8)，kπ＋\f(3π,8)))(k∈Z)．


(2)令t＝2x－eq \f(π,4)，则由eq \f(π,8)≤x≤eq \f(3π,4)可得0≤t≤eq \f(5π,4)，


∴当t＝eq \f(5π,4)，即x＝eq \f(3π,4)时，


ymin＝eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))＝－1，


当t＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(3π,8)时，ymax＝eq \r(2)×1＝eq \r(2)．


10．求下列函数的最值：


(1)y＝eq \f(3sin x－1,sin x＋2)；


(2)y＝3－4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))．


[解] (1)y＝eq \f(3sin x＋2－7,sin x＋2)＝3－eq \f(7,sin x＋2)．


∴当sin x＝1时，ymax＝3－eq \f(7,3)＝eq \f(2,3)；


当sin x＝－1时，ymin＝3－7＝－4．


(2)∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,6)))，


∴2x＋eq \f(π,3)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，从而－eq \f(1,2)≤cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))≤1．


∴当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝1，


即2x＋eq \f(π,3)＝0，


即x＝－eq \f(π,6)时，ymin＝3－4＝－1；


当cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)，即2x＋eq \f(π,3)＝eq \f(2π,3)，即x＝eq \f(π,6)时，ymax＝3－4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝5．





1．y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )


A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]


C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))


D [将y＝cs x的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方(或x轴上)的图象不变，即得y＝|cs x|的图象(图略)．故选D．]


2．(多选题)已知函数f(x)＝eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1，则( )


A．f(x)的最小正周期为π


B．f(x)的最小正周期为2π


C．f(x)的最大值为eq \f(3,2)


D．f(x)的最小值为eq \f(1,2)


ACD [f(x)＝eq \f(1,2)sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋1，则f(x)的最小正周期为π，最小值为－eq \f(1,2)＋1＝eq \f(1,2)，最大值为eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2)．]


3．已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上是增函数，则ω的取值范围是________．


eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2))) [由－eq \f(π,2)＋2kπ≤ωx≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)≤x≤eq \f(π,2ω)＋eq \f(2kπ,ω)，


∴f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))，k∈Z．


根据题意，得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))⊆eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)，\f(π,2ω)＋\f(2kπ,ω)))，从而有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(π,2ω)≤－\f(π,3)，,\f(π,2ω)≥\f(π,4)，,ω>0，))解得0＜ω≤eq \f(3,2)．


故ω的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))．]


4．若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，则函数f(x)＝2cs2x＋sin x－1的值域是________．


eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3)－1,2)，1)) [f(x)＝－2sin2x＋sin x＋1


＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(1,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,8)，因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，


所以sin x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，当sin x＝eq \f(1,2)时，f(x)有最大值1；当sin x＝eq \f(\r(3),2)时，f(x)有最小值eq \f(\r(3)－1,2)．]


5．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上是增函数，α，β是锐角三角形的两个内角，试判断f(sin α)与f(cs β)的大小关系．


[解] 由f(x＋1)＝－f(x)，


得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，


所以函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期．


因为函数f(x)是偶函数且在[－4，－3]上是增函数，


所以函数f(x)在[0,1]上是增函数．


又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞eq \f(π,2)，


即eq \f(π,2)＞α＞eq \f(π,2)－β＞0，


因为y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上为增函数，


所以sin α＞sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－β))＝cs β，


且sin α∈[0,1]，cs β∈[0,1]，所以f(sin α)＞f(cs β)．