数学必修第一册第7章三角函数本章综合与测试精品课后测评

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这是一份数学必修第一册第7章三角函数本章综合与测试精品课后测评，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

课时分层作业(三十六) 正弦、余弦函数的图象

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．函数y＝cs x·|tan x|eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)

C [y＝cs x·|tan x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x∈\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，,－sin x，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0)).))]

2．若cs x＝1－2m，且x∈R，则m的取值范围是( )

A．[0,1] B．(0,1]

C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D．[－1,0]

A [∵cs x∈[－1,1]，∴－1≤1－2m≤1，

解得0≤m≤1．]

3．关于三角函数的图象，有下列说法：

①y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；

②y＝cs(－x)与y＝cs|x|的图象相同；

③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；

④y＝cs x与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称．

其中正确的序号是( )

A．①③ B．②④

C．②③ D．①④

B [对②，y＝cs(－x)＝cs x，y＝cs|x|＝cs x，故其图象相同；对④，y＝cs(－x)＝cs x，故其图象关于y轴对称，由作图可知①③均不正确．]

4．方程x2－cs x＝0的实数解的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

C [作函数y＝cs x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．]

5．下列函数中：①y＝sin x－1；②y＝|sin x|；③y＝－cs x；④y＝eq \r(cs2x)；⑤y＝eq \r(1－cs2x)．与函数y＝sin x形状完全相同的有( )

A．②④ B．①③ C．①④ D．②③

B [y＝sin x－1是将y＝sin x向下平移1个单位，没改变形状；y＝－cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))，故y＝－cs x是将y＝sin x向右平移eq \f(π,2)个单位，没有改变形状，与y＝sin x形状相同，∴①③完全相同，而②y＝|sin x|，④y＝eq \r(cs2x)＝|cs x|和⑤y＝eq \r(1－cs2x)＝|sin x|与y＝sin x的形状不相同．]

二、填空题

6．函数y＝eq \r(lg\f(1,2)sin x)的定义域是________．

{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z} [由题意可得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg\f(1,2)sin x≥0，,sin x＞0，))

即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≤1，,sin x＞0，))∴0＜sin x≤1，

由正弦函数图象可得{x|2kπ＜x＜(2k＋1)π，k∈Z}．]

7．函数y＝sin x的图象与函数y＝cs x的图象在[0,2π]内的交点坐标为________．

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，－\f(\r(2),2))) [在同一坐标系内画出两函数的图象(图略)，

易知，交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，－\f(\r(2),2)))．]

8．设0≤x≤2π，且|cs x－sin x|＝sin x－cs x，则x的取值范围为________．

eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4))) [由|cs x－sin x|＝sin x－cs x得

sin x－cs x≥0，即sin x≥cs x．

又x∈[0,2π]，结合图象(图略)可知，eq \f(π,4)≤x≤eq \f(5π,4)，

所以x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4)))．]

三、解答题

9．利用图象变换作出函数y＝sin|x|，x∈[－2π，2π]的简图．

[解] ∵y＝sin|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－sin x，－2π≤x＜0，,sin x，0≤x≤2π))为偶函数，∴首先用五点法作出函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象；再将x∈[0,2π]的图象关于y轴对称．如图所示．

10．作出函数y＝－sin x，x∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：

(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x的区间：

①sin x＞0；②sin x＜0；

(2)直线y＝eq \f(1,2)与y＝－sin x，x∈[－π，π]的图象有几个交点？

[解] 利用“五点法”作图，如图．

(1)根据图象可知在x轴上方的部分－sin x＞0，在x轴下方的部分－sin x＜0，所以当x∈(－π，0)时，sin x＜0；

当x∈(0，π)时，sin x＞0．

(2)画出直线y＝eq \f(1,2)，由图象知有两个交点．

1．函数y＝eq \f(|sin x|1－sin x,1－sin x)的奇偶性为( )

A．奇函数

B．既是奇函数也是偶函数

C．偶函数

D．非奇非偶函数

D [由题意知，当1－sin x≠0，即sin x≠1时，

y＝eq \f(|sin x|1－sin x,1－sin x)＝|sin x|，所以函数的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))，

由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．]

2．已知y＝cs x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是( )

A．π B．2π C．3π D．4π

B [由题意画出图形(图略)，由于余弦函数图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))成中心对称，可得y＝cs x(0≤x≤2π)的图象和直线y＝1围成的封闭图形的面积为2π×1＝2π．]

3．在[0,2π]内，不等式sin x<－eq \f(\r(3),2)的解集是________．

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3))) [画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．

因为sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π－\f(π,3)))＝－eq \f(\r(3),2)．即在[0,2π]内，满足sin x＝－eq \f(\r(3),2)的x＝eq \f(4π,3)或eq \f(5π,3)．可知不等式sin x<－eq \f(\r(3),2)的解集是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，\f(5π,3)))．]

4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x≥0，,x＋2，x＜0，))则不等式f(x)＞eq \f(1,2)的解集是________．

eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)＜x＜0或\f(π,6)＋2kπ＜x＜\f(5π,6)＋2kπ，k∈N)))) [在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和函数y＝eq \f(1,2)的图象，如图所示．

当f(x)＞eq \f(1,2)时，函数f(x)的图象位于函数y＝eq \f(1,2)的图象上方，此时有－eq \f(3,2)＜x＜0或eq \f(π,6)＋2kπ＜x＜eq \f(5π,6)＋2kπ(k∈N)．]

5．已知函数f(x)＝sin x，x∈R．现有如下两种图象变换方案：

方案1：将函数f(x)的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度；

方案2：将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变．

请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数g(x)的解析式，并解决如下问题：

(1)画出函数g(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(2)请你研究函数g(x)的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论．

[解] 方案1：将函数f(x)＝sin x的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sin 2x，再将y＝sin 2x图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度得到y＝sin 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，即g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．

方案2：将函数f(x)＝sin x的图象向左平移eq \f(π,3)个单位长度，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，再将y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，即g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．所以，无论在何种方案下所得的函数都是g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))．

(1)如图，是函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))在[0，π]这一周期上的图象：

(2)函数g(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))

定义域：R；值域：[－1,1]；周期：T＝eq \f(2π,2)＝π；

奇偶性：因为g(0)＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)≠0，±1，所以g(x)不具有奇偶性．

单调性：令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，

解得－eq \f(5π,12)＋kπ≤x≤eq \f(π,12)＋kπ，(k∈Z)，即函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(5π,12)＋kπ，\f(π,12)＋kπ))(k∈Z)上单调递增；同理可得函数的单调递减区间为：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,12)＋kπ，\f(7π,12)＋kπ))(k∈Z)．

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