新教材数学苏教版必修第一册第7章 7.3 7.3.2 第3课时　正切函数的图象与性质 课件

第3课时　正切函数的图象与性质

正切函数是以π为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出y＝tan x，x∈的图象．

知识点　正切函数的图象与性质

正切函数在定义域内是单调函数吗？

[提示]　不是．

1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正切函数在定义域上是增函数． (　　)

(2)正切函数的对称轴方程为x＝kπ＋，k∈Z． (　　)

(3)正切函数的对称中心为(kπ，0)，k∈Z． (　　)

[提示]　(1)正切函数在，k∈Z上是增函数．

(2)正切函数不是轴对称图形．

(3)正切函数的对称中心为，k∈Z．

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．函数y＝tan 的定义域为________．

　[因为2x－≠＋kπ，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z．]

类型1　正切函数的定义域

【例1】　求下列函数的定义域．

(1)y＝；

(2)y＝．

[解]　(1)要使y＝有意义，

则

∴

∴函数y＝的定义域为

．

(2)由题意得tan x－3≥0，

∴tan x≥，

∴kπ＋≤x＜kπ＋(k∈Z)，

∴y＝的定义域为

．

求正切函数定义域的方法

(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义．

(2)求正切型函数y＝Atan (ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x．

1．求下列函数的定义域．

(1)y＝3tan ；

(2)y＝＋lg(1－tan x)．

[解]　(1)要使函数有意义应满足－≠kπ＋，k∈Z，解得x≠－4kπ－，k∈Z．

所以函数的定义域为．

(2)由题意知，即－1≤tan x<1，

在上满足上述不等式的x的取值范围是，

又因为y＝tan x的周期为kπ，k∈Z，且k≠0，

所以函数的定义域为．

类型2　正切函数单调性的应用

【例2】　(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为________．

(2)求函数y＝3tan 的单调区间．

(1)tan 2<tan 3<tan 4<tan 1　[y＝tan x在区间上是增函数，且tan 1＝tan(π＋1)，

又<2<3<4<π＋1<，

所以tan 2<tan 3<tan 4<tan 1．]

(2)[解]　y＝3tan ＝－3tan，

由－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z得，

－＋π<x<＋π，k∈Z，

所以y＝3tan 的减区间为，k∈Z．

[母题探究]

1．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝3tan”，结果又如何？

[解]　由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－<x<2kπ＋π(k∈Z)，

∴函数y＝3tan的增区间是(k∈Z)．

2．(变条件)将本例(2)中的函数改为“y＝lg tan x”，结果又如何？

[解]　因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上为增函数，

所以函数y＝lg tan x的增区间就是函数y＝tan x(tan x>0)的增区间，即，k∈Z．

1．求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A>0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法

(1)若ω>0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－<ωx＋φ<kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．

(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．

2．运用正切函数单调性比较大小的步骤

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．

(2)运用单调性比较大小关系．

提醒：正切函数无减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．

2．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小．

(1)tan 与tan ；

(2)tan 与tan ．

[解]　(1)因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，

又0<<<，y＝tan x在内是增函数，

所以tan <tan ，

即tan <tan ．

(2)因为tan ＝－tan ，

tan ＝－tan ，又0<<<，

y＝tan x在内是增函数，

所以tan >tan ，

所以－tan <－tan ，

即tan <tan ．

类型3　正切函数的图象及应用

【例3】　根据函数y＝|tan x|的图象，判断其单调区间、奇偶性、周期性．

[解]　由y＝|tan x|得，

y＝

其图象如图．

由图象可知，函数y＝|tan x|是偶函数，

增区间为(k∈Z)，

减区间为(k∈Z)，周期为π．

[母题探究]

将本例中的函数y＝|tan x|改为y＝tan |x|，解答同样的问题．

[解]　由y＝tan |x|得

y＝

根据y＝tan x的图象，作出y＝tan |x|的图象如图，

由图象可知，函数y＝tan |x|是偶函数，增区间为，(k＝0,1,2，…)；

减区间为，(k＝0，－1，－2，…)，不具有周期性．

作由正切函数复合而成的简单函数图象的2种方法

1直接描点法，要注意定义域；

2图象变换法，即以y＝tan x的图象为基础，采用反转、对称、平移等变换，作出函数的图象.

3．函数f(x)＝tan x＋|tan x|的周期是________．

π　[作出f(x)＝tan x＋|tan x|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝tan x＋|tan x|的最小正周期T＝π．

]

类型4　正切函数奇偶性、周期性和

图象的对称性

【例4】　(1)函数f(x)＝tan的周期为________．

(2)已知函数y＝tan，则该函数图象的对称中心坐标为________．

(3)判断下列函数的奇偶性：

①y＝3xtan 2x－2x4；②y＝cos＋tan x．

(1)　(2)，k∈Z　[(1)法一(定义法)：

∵tan＝tan，

即tan＝tan，

∴f(x)＝tan的周期是．

法二(公式法)：

f(x)＝tan的周期T＝．

(2)由x－＝(k∈Z)得x＝＋(k∈Z)，所以图象的对称中心坐标为，k∈Z．]

(3)[解]　①定义域为，关于原点对称，

又f(－x)＝3(－x)tan 2(－x)－2(－x)4＝

3xtan 2x－2x4＝f(x)，所以它是偶函数．

②定义域为，关于原点对称，

y＝cos＋tan x＝sin x＋tan x，

又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x

＝－f(x)，所以它是奇函数．

1．函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)周期的求解方法

(1)定义法．

(2)公式法：对于函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝．

(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现．

2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法

先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(－x)与f(x)的关系．

提醒：y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z．

4．判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝tan＋tan．

[解]　(1)由

得f(x)的定义域为

，

不关于原点对称，

所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数．

(2)函数定义域为

，

关于原点对称，

又f(－x)＝tan＋tan

＝－tan－tan

＝－f(x)，

所以函数f(x)是奇函数．

1．函数y＝4tan的最小正周期为(　　)

A．　 　　B．π　 　　C．　 　　D．2π

D　[T＝＝2π．]

2． (多选题)下列函数中，周期为π，且在上为增函数的是(　　)

A． y＝tan     B．y＝tan

C．y＝cos     D．y＝sin

AC　[对于A选项，函数y＝tan的周期为π，且在上为增函数，符合题意，故A选项正确．

对于B选项，函数y＝tan的周期为，不合题意，故B选项错误．

对于C选项，函数y＝cos＝sin 2x的周期为π，且在上为增函数，符合题意，故C选项正确．

对于D选项，函数y＝sin＝cos 2x在上为减函数，不符合题意，故D选项错误．故选AC．]

3．函数y＝tan x在上的值域为________．

[－1，]　[∵－≤x≤，∴－1≤tan x≤．]

4．函数f(x)＝的最小正周期为________，函数的奇偶性为________．

2π　奇函数　[函数f(x)＝＝，

所以T＝＝＝2π，

又因为函数f(x)的定义域为，

关于原点对称且f(－x)＝－＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．]

5．函数y＝tan的定义域为________．

　[由－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z，

∴函数的定义域为．]

回顾本节知识，自我完成以下问题．

1．正切函数y＝tan x在其定义域内是否为增函数？

[提示]　不是．正切函数的图象被直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开，是不连续的．故增区间为(k∈Z)，无减区间．

2．若让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？

[提示]　根据函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．