第02讲 解一元二次方程—直接开方法与配方法-【同步精品】2024年九上数学同步精品讲义（人教版）

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第02讲 解一元二次方程——直接开方与配方法知识点01 直接开方法解一元二次方程直接开方法求的一元二次方程： 由平方根的定义可知：①时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根，分别是 或 。他们互为 相反数 。②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根，即 。③当时，一元二次方程 没有 实数根。直接开方法解的一元二次方程： 同样由平方根的定义可知：①当时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。③当时，一元二次方程 没有 实数根。题型考点：①利用直接开方法解方程。②根据根的情况求字母的值或取值范围。【即学即练1】方程x2＝1的根是（　　）A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝±1 D．x＝±2【解答】解：x2＝1，x＝±1，所以x1＝1，x2＝﹣1．故选：C．2．方程（x+6）2﹣9＝0的两个根是（　　）A．x1＝3，x2＝9 B．x1＝﹣3，x2＝9 C．x1＝3，x2＝﹣9 D．x1＝﹣3，x2＝﹣9【解答】解：∵（x+6）2﹣9＝0，∴（x+6）2＝9，则x+6＝±3，∴x1＝﹣3，x2＝﹣9，故选：D．3．解方程：（1）x2﹣81＝0； （2）4（x﹣1）2＝9．【解答】解：（1）x2﹣81＝0，x2＝81，∴x＝±9，∴x1＝9，x2＝﹣9；（2）4（x﹣1）2＝9，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x1＝，x2＝﹣．【即学即练2】4．关于x的一元二次方程x2＝a的两个根分别是2m﹣1与m﹣5，则m＝　 　．【解答】解：根据题意得2m﹣1+m﹣5＝0，解得m＝2，故答案为：2．【即学即练3】5．若关于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有实数根，则b的取值范围是（　　）A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，∴（x﹣a）2＝b+4，∵方程（x﹣a）2＝b+4有实数根，∴b+4≥0，∴b≥﹣4，故选：D．6．如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是 　 　．【解答】解：如果关于x的方程（x﹣1）2＝m没有实数根，那么实数m的取值范围是：m＜0，故答案为：m＜0．知识点02 配方法解一元二次方程配方法的定义： 将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程化成 一般式 。 ②将 二次项 系数化为 1 。方程的左右两边同时除以 二次项系数 或乘以二次项系数的 倒数 。且将 常数项 移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上 一次项系数的一半的平方 。 ④把方程的左边写成 完全平方式 ，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 题型考点：①判断完全平方式及根据完全平方式求值。②利用配方法解一元二次方程。【即学即练1】7．下列式子中是完全平方式的是（　　）A．a2+2ab+b2 B．a2+2a+2 C．a2﹣2b+b2 D．a2+2ab+1【解答】解：a2+2ab+b2＝（a+b）2．故选：A．8．若多项式x2+kx+16是一个完全平方式，则k的值应是（　　）A．4或﹣4 B．8 C．﹣8 D．8或﹣8【解答】解：∵x2+kx+16是完全平方式，∴kx＝±2•x•4，解得：k＝±8，故选：D．9．若多项式4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k的值是（　　）A．13 B．13或﹣11 C．﹣11 D．±11【解答】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x+9，又∵多项式4x2﹣（k﹣1）x+9是一个完全平方式，∴k﹣1＝±12，解得：k＝13或k＝﹣11，故B正确．故选：B．【即学即练2】10．用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方后得到方程是（　　）A．（x+3）2＝1 B．（x+3）2＝8 C．（x﹣3）2＝1 D．（x﹣3）2＝9【解答】解：用配方法解方程x2+6x+8＝0时，配方结果为（x+3）2＝1．故选：A．11．用配方法解一元二次方程x2﹣4x＝5时，此方程可变形为（x+a）2＝b的形式，则a+b的值为（　　）A．3 B．﹣1 C．11 D．7【解答】解：∵x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，则a＝﹣2，b＝9，∴a+b＝﹣2+9＝7，故选：D．12．以下是圆圆在用配方法解一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的过程：解：移项得：x2﹣2x＝4配方：x2﹣2x+1＝4（x﹣1）2＝4开平方得：x﹣1＝±2移项：x＝±2+1所以：x1＝3，x2＝3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：移项得：x2﹣2x＝4，配方：x2﹣2x+1＝4+1，（x﹣1）2＝5，开平方得：x﹣1＝±，移项：x＝±+1，所以：x1＝+1，x2＝﹣+1．13．用配方法解下列关于x的方程：（1）x2+12x+25＝0． （2）2x2+4x﹣1998＝0．【解答】解：（1）x2+12x+25＝0，x2+12x＝﹣25，x2+12x+36＝﹣25+36，（x+6）2＝11，x+6＝±，x+6＝或x+6＝﹣，，；（2）2x2+4x﹣1998＝0，x2+2x﹣999＝0，x2+2x＝999，x2+2x+1＝999+1，（x+1）2＝1000，x+1＝±10，x+1＝10或x+1＝﹣10，，．知识点03 配方法求二次三项式的最值配方法求二次三项式的最值： 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 最小值 ；若，则为二次三项式的 最大值 。具体步骤： ①提公因式，即提 二次项系数 。 ②配方，在一次项系数后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，在减去 一次项系数一半的平方 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 题型考点：①利用配方法求二次三项式的最值。 ②比较式子的大小关系。【即学即练1】14．已知x是实数，则多项式x2+4x+5的最小值为（　　）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1．∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，∴（x+2）2+1的最小值是1，即x2+4x+5的最小值为1．故选：D．15．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）A．﹣20 B．﹣10 C．﹣5 D．0【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，故选：A．【即学即练2】16．已知m＝2b+2022，n＝b2+2023，则m和n的大小关系中正确的是（　　）A．m＞n B．m≥n C．m＜n D．m≤n【解答】解：∵m＝2b+2022，n＝b2+2023，∴m﹣n＝2b﹣b2﹣1＝﹣（b﹣1）2≤0，∴m≤n．故选：D．题型01 直接开方法求一元二次方程【典例1】解方程（1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16．【解答】解：（1）∵x2﹣1＝80，∴x2＝81，∴x＝±9，即x1＝9，x2＝﹣9；（2）∵9x2+12＝16，∴x2＝，∵x＝±，即x1＝，x2＝﹣．【典例2】解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．【解答】解：直接开平方，得y+2＝±（3y﹣1）即y+2＝3y﹣1或y+2＝﹣（3y﹣1），解得：y1＝，y2＝﹣．题型02 根据完全平方式的特点求值【典例1】已知x2﹣mx+25是完全平方式，则常数m的值为（　　）A．10 B．±10 C．﹣20 D．±20【解答】解：∵x2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m＝±10，即m＝±10．故选：B．变式1：若多项式x2+（a﹣1）x+9是一个完全平方式，则a的值为（　　）A．3 B．7或﹣5 C．﹣5 D．﹣7或5【解答】解：∵x2±6x+9是完全平方式，∴若多项式x2+（a﹣1）x+9是一个完全平方式，则a﹣1＝±6．∴a＝7或﹣5．故选：B．题型03 配方法解一元二次方程【典例1】用配方法解方程x2+4x﹣3＝0，正确的是（　　）A．（x﹣1）2＝3 B．（x+1）2＝3 C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7【解答】解：x2+4x﹣3＝0，x2+4x＝3，x2+4x+4＝7，（x+2）2＝7．故选：C．【典例2】利用配方法解一元二次方程x2﹣6x+7＝0时，将方程配方为（x﹣m）2＝n，则m、n的值分别为（　　）A．m＝9，n＝2 B．m＝﹣3，n＝﹣2 C．m＝3，n＝0 D．m＝3，n＝2【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，∴x2﹣6x＝﹣7，∴x2﹣6x+（﹣3）2＝﹣7+（﹣3）2，∴（x﹣3）2＝2，∴m＝3，n＝2．故选：D．【典例3】用配方法解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0； （2）x2+8x﹣9＝0；（3）2t2﹣7t﹣4＝0； （4）2x2+3＝7x．【解答】解：（1）x2﹣4x＝5，∴x2﹣4x+4＝5+4，∴（x﹣2）2＝9，x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，∴x1＝5，x2＝﹣1；（2）x2+8x＝9，x2+8x+16＝9+16，∴（x+4）2＝25，∴x＝﹣4±5，∴x1＝1，x2＝﹣9；（3）2t2﹣7t＝4，t2﹣t＝2，t2﹣t+＝2+，∴（t﹣）2＝，∴t﹣＝±，∴t＝±，∴t1＝4，t2＝﹣；（4）x2+＝x，x2﹣x＝﹣，x2﹣x+＝，∴（x﹣）2＝，x﹣＝或x﹣＝﹣，∴x1＝3，x2＝．题型04 配方法的应用【典例1】不论x，y取什么实数，代数式x2+y2+2x﹣4y+7的值（　　）A．不小于2 B．不小于7 C．为任何实数 D．可能为负数【解答】解：原式＝x2+2x+1+y2﹣4y+4+2＝（x+1）2+（y﹣2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，故选：A．变式1：多项式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值为 　 　．【解答】解：x2+2y2﹣2xy﹣8y+10＝x2+y2﹣2xy+y2﹣8y+16﹣6＝（x﹣y）2+（y﹣4）2﹣6．∵（x﹣y）2+（y﹣4）2≥0，∴（x﹣y）2+（y﹣4）2﹣6≥﹣6．∴多项式x2+2y2﹣2xy﹣8y+10的最小值为﹣6．故答案为：﹣6．【典例2】m、n为正整数，m2+n2+1＝2m+2n，则m+n的值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵m2+n2+1＝2m+2n，∴m2﹣2m+1+n2﹣2n+1＝1，∴（m﹣1）2+（n﹣1）2＝1，∵（m﹣1）2≥0，（n﹣1）2≥0，m、n为正整数，∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，∴m+n＝3，故选：B．【典例3】若A＝x2+2x﹣6y，B＝﹣y2+4x﹣10，则A、B的大小关系为（　　）A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A≤B【解答】解：A﹣B＝x2+2x﹣6y﹣（﹣y2+4x﹣10）＝x2+2x﹣6y+y2﹣4x+10＝x2﹣2x+y2﹣6y+10＝x2﹣2x+1+y2﹣6y+9＝（x﹣1）2+（y﹣3）2，∵（x﹣1）2≥0，（y﹣3）2≥0，∴（x﹣1）2+（y﹣3）2≥0，即A﹣B≥0，∴A≥B．故选：C．1．一元二次方程x2﹣9＝0的解是（　　）A．x＝3 B．x1＝x2＝3 C． D．x1＝3，x2＝﹣3【解答】解：x2﹣9＝0，则x2＝9，∴x＝±3，∴x1＝3，x2＝﹣3，故选：D．2．如果x＝﹣3是方程x2﹣m＝0的一个根，那么m的值是（　　）A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3【解答】解：将x＝﹣3代入x2﹣m＝0，∴9﹣m＝0，∴m＝9，故选：A．3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，原方程应变形为（　　）A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝0 D．（x+1）2＝2【解答】解：移项得：x2+2x＝1，配方得：x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2．故选：D．4．一元二次方程x2+16＝8x可变形为（　　）A．（x+4）2＝4 B．（x+4）2＝0 C．（x﹣4）2＝0 D．（x﹣4）2＝4【解答】解：x2+16＝8x，移项，可得：x2﹣8x+16＝0，配方，可得：（x﹣4）2＝0．故选：C．5．把方程x2+6x﹣5＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n＝（　　）A．17 B．14 C．11 D．7【解答】解：x2+6x﹣5＝0，x2+6x＝5，x2+6x+9＝5+9，（x+3）2＝14，∴m＝3，n＝14，∴m+n＝3+14＝17，故选：A．6．将代数式x2+4x﹣1化成（x+h）2+k的形式为（　　）A．（x﹣2）2+3 B．（x+2）2+4 C．（x+2）2﹣1 D．（x+2）2﹣5【解答】解：x2+4x﹣1＝x2+4x+4﹣4﹣1＝（x+2）2﹣5．故选：D．7．设M＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，则M，N的大小关系是（　　）A．M＜N B．M≥N C．M＝N D．M≤N【解答】解：∵M＝2x2﹣7x+6，N＝x2﹣3x+2，∴M﹣N＝2x2﹣7x+6﹣（x2﹣3x+2）＝2x2﹣7x+6﹣x2+3x﹣2＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2≥0，∴M≥N，故选：B．8．将代数式x2﹣10x+5配方后，发现它的最小值为（　　）A．﹣20 B．﹣10 C．﹣5 D．0【解答】解：x2﹣10x+5＝x2﹣10x+25﹣20＝（x﹣5）2﹣20，当x＝5时，代数式的最小值为﹣20，故选：A．9．已知a、b满足等式，x＝a2﹣6ab+9b2．y＝4a﹣12b﹣4，则x，y的大小关系是（　　）A．x＝y B．x＞y C．x＜y D．x≥y【解答】解：∵x﹣y＝a2﹣6ab+9b2﹣（4a﹣12b﹣4）＝（a﹣3b）2﹣4（a﹣3b）+4＝[（a﹣3b）﹣2]2，∴[（a﹣3b）﹣2]2≥0，∴x≥y．故选：D．10．如果多项式A＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019，则A的最小值是 　 　．【解答】解：P＝x2+2xy+2y2﹣4y+2019＝x2+2xy+y2+y2﹣4y+4+2015＝（x+y）2+（y﹣2）2+2015，∵（x+y）2≥0，（y﹣2）2≥0，A的最小值是2015．故答案为：2015．11．小明用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，将它化成（x﹣p）2＝q的形式，则p+q的值为 　 　．【解答】解：把方程x2﹣6x+5＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣6x＝﹣5，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣6x+9＝﹣5+9，配方得 （x﹣3）2＝4，∴p＝3，q＝4，∴p+q＝3+4＝7，故答案为：7．12．解下列方程：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0； （2）2x2﹣4x﹣7＝0．【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣12＝0，（x﹣1）2＝4，x﹣1＝±2，所以x1＝3，x2＝﹣1；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝，（x﹣1）2＝，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．课程标准学习目标①直接开方法解一元二次方程②配方法解一元二次方程③利用配方法求最值掌握直接开方法，利用直接开方法解一元二次方程掌握配方法基本步骤，学会利用配方法解一元二次方程学会利用一元二次方程的配方法求二次三项式的最值