第1讲 一元二次方程及其解法-讲义 2021-2022学年九年级数学人教版数学上册学案

第21章  一元二次方程

第1讲  一元二次方程及其解法

知识导航

一元二次方程的基本概念；

一元二次方程的基本解法；

可化为一元二次方程的解法.

【板块一】一元二次方程的概念

方法技巧

判断一个方程是不是一元二次方程，先化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0),注意三点：含一个未知数，未知数的最高次数是2，并且为整式方程.

题型一  一元二次方程的概念

【例1】m为何值时，方程，

⑴是一元一次方程；⑵是一元二次方程.

【解析】⑴m＝3，，；

⑵m＝－3

题型二  一元二次方程的一般形式

【例2】将下列关于x的方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项.

①；②

【解析】：①；二次项系数1、一次项系数0和常数项1.

②；二次项系数1、一次项系数1和常数项－15.

题型三  一元二次方程的根

【例3】若正数a是一元二次方程的一个根，－a是一元二次方程的一个根，则a的值是         .

【解析】∵a是一元二次方程的一个根，－a是一元二次方程的一个根，∴①，②，①＋②，得，∴a1＝5，a2＝0，

又∵a＞0，∴a＝5，故答案为5.

【例4】已知a是方程的根，求代数式的值．

【解析】∵a是方程的根，那么，∴，，

原式＝.

【点评】利用方程根的定义，运用整体思想降次，分子可以转化为．

针对练习1

1．若方程是关于x的一元二次方程，则（ B  ）

A．m ＝ ±2 B．m ＝ 2 C．m ＝ －2 D． m≠±2

2.化方程一般式为：____________；

其二次项系数是     1     ， 一次项系数是______，常数项是    3   .

3.已知关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（  A  ）

A        B   C     D  

4.已知关于x的一元二次方程有一个非零实数根－b，则a－b的值为（ A ）

A． 1 B． －1 C． 0 D． －2

5.已知m是方程的一个根，求的值．

【解析】∵m是方程的一个根，所以，．又＝ ，

∴原式＝.

6.已知a，b是方程的两个实数根，求的值．

【解析】∵a，b是方程的两个实数根，∴，，，

∴＝.

【板块二】一元二次方程的基本解法

方法技巧

一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.因式分解法解一元二次方程除了提公因式法，公式法(完全平方公式，平方差公式），还有十字相乘法.

题型一  十字相乘法（二次项系数为1）

【例1】用因式分解法解方程：

（1）    x2＋6x－7＝0；  （2）x2＋7x＋10＝0；（3）y2－2y－8＝0；

【解析】 （1）(x＋7)( x－1)＝0，x1＝－7，x2＝1．

（2）    x1＝－2，x2＝－5；

（3）y1＝－2，y2＝4；

题型二   十字相乘法（二次项系数不为1）

【例2】解方程：（1）6x2－23x＋10＝0；（2）－3x2＋22x－24＝0；（3）4x2－31x－45＝0.

【解析】（1）(2x－1)(3x－10)＝0，2x－1＝0或3x－10＝0，解得x1＝，x2＝．

（2）(x－6)(3x－4)＝0，x1＝6，x2＝． 

（3）(x－9)(4x＋5)＝0，x1＝9，x2＝－；

【点评】因式分解法解一元二次方程的步骤可简记为：“右化零，左分解，两因式，各求解”.

题型三   灵活运用因式分解法解方程

【例3】解方程：（1）x2＋x＝3＋；  （2） (2－)x2－2(－1)x－6＝0．

【解析】（1）移项得，x2＋x－(＋1)＝0，十字相乘法得，(x－)(x＋＋1)＝0．

解得，x1＝，x2＝；

（2）方程两边同乘以2＋，得x2－2(1＋)x－6(2＋)＝0，

十字相乘法分解得，＝0．

所以x1＝，x2＝．

题型四    绝对值方程

【例4】 阅读下面的例题：解方程x2－|x|－2＝0

解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－ x－2＝0，解得：x1＝2，x2＝－ 1(不合题意，舍去).

(2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得：x1＝1，(不合题意，舍去)，x2＝－2，

∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2.

请参照例题解方程x2－|x－1|－1＝0

【解析】当x≥1时，同x2－x＝0，x1＝0(舍去)，x2＝1

当x＜1时，则x2＋x－2＝0，x1＝1(舍去)，x2＝－2， ∴x1＝1，x2＝－2.

题型五  含参数的一元二次方程

【例5】已知关于x的一元二次方程ax2＋(a2－1)x－a＝0的的一个根为m．若2＜m＜3，求a的取值范围.

【解析】分解得，（ax－1)(x＋a)＝0，解得x＝－a或.

当m＝－a时，－3＜a＜－2；

当m＝时，.

【点评】解含参数的一元二次方程首先尝试因式分解法，若不能，就用公式法.

针对练习2

1.给出一种运算：对于函数，规定.例如：若函数，则有.已知函数，则方程的解是  ， .

2.用适当的方法解方程

（1）    ；    ⑵x2－4x－3＝0；   ⑶x2＋5x＋3＝0； ⑷x2＋x＋2＝0；

（5）x2－8x＋15＝0；   （6）3y2＋10y－8＝0；  （7）＝0．

解：（1） 解：

（2）x1＝，x2＝；

（3）x1＝，x2＝；

（4）x1＝，x2＝；

（5）x1＝3，x2＝5；

（6）(y＋4)(3y－2)＝0，y1＝－4，y2＝；

（7）x1＝，x2＝

3.解方程：（1）x2－3－4＝0； (2)x2－6x－＋3＝0．

【解析】解法1：显然x≠0．当x＞0时，x2－3x－4＝0，所以x1＝4，x2＝－1(舍去)．

x＜0时，x2＋3x－4＝0，所以x1＝－4，x2＝1(舍去)．所以原方程的根为x＝4，x＝－4．

（2）将原方程化为2－－6＝0，因式分解得 (－3)(＋2)＝0，

所以－3＝0，解得x1＝0，x2＝6．

4.解下列关于x的方程：

（1）x2－(k＋2)x＋2k＝0；  (2)－x2－（2t＋1）x－t2－t＋2＝0；

【解析】（1）x1＝k,x2＝2；

（2）

5.（1）已知方程x2－ax＋(a－1)＝0的一根α，且3≤α＜4，则a的取值范围是           ；

（2）已知关于x的方程x2－(2m－1)x＋m2－m－2＝0的一根大于2，另一根小于1，求m的取值范围.

【解析】（1）4≤a＜5；

（2）解得x＝m＋1或m－2，∵m＋1＞m－2，∴m＋1＞2且m－2＜1,∴1＜m ＜3.

【板块三】可化为一元二次方程的解法

方法技巧

利用换元法，整体思想来解方程

题型一  某些特殊的高次方程

【例1】（1）解方程：；

（2）已知实数a，b满足，试求的值.

【解析】（1）设，则，整理，得，解得，.

当即时，解得：；

当即时，解得：.

（2）设，则，整理，得，

解得，（舍去），故.

【点评】利用换元法，可以将某些特殊的高次方程转化为一元二次方程.

题型二  某些特殊的分式方程

【例2】已知实数x满足＝0，求的值．

【解析】原方程化为－2＝0，令＝t，则t2＋t－2＝0，解得t1＝－2，t2＝1．

当t2＝1时，＝1，方程没有实数根，舍去．所以的值为－2．

【例3】解方程：；

【解析】设则原方程可化为，解得，

可求x1＝－1,x2＝－4,.

【点评】利用倒数型换元.

【针对练习3】

1.设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边长为         ．

2．若，则的值为             ．

【解析】 令， 则，解得，y1＝1,y2＝3，所以＝0或2.

3．解下列方程：

（1）(x2－3x)2－2(x2－3x)－8＝0；     (2)；

（3）.     

【解析】（1）设x2－3x＝y，则y 2－2y－8＝0，解得y1＝－2，y2＝4．由y＝－2，求出x值为2或1；由y＝4，求出x值为4或－1．

（2）x1＝－6，x2＝1

（3） x1＝，x2＝2

【板块四】配方法的应用

方法技巧

将一个式子或一个式子的某一部分通过改写化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种解题方法称为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，其作用在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的利器，其实质在于改变式子的原有结构，是变形求解的有力手段之一．应用配方法解题的关键在于配凑成完全平方式，拆项与添项是常用的技巧.

常用公式有：（1）；（2）；

（3）；

（4）；（5）当时，.

题型一  判定代数式的正负

【例1】（1）对于任何实数x，均有：2x2＋4x＋3＞0；

（2）求证：不论x为何值，代数式－4x2＋8x－9的值总小于0；

【解析】(1)2x2＋4x＋3＝2(x＋1)2＋1＞0；

（2）－4x2＋8x－9＝－4（x－1)2－5＜0.

题型二  求代数式的最值

【例2】已知实数x，y满足，求x＋y的最大值.

【解析】将代入x＋y，得x＋y，∴x＋y的最大值为4.

【例3】设a，b为实数，求代数式的最小值.

【解析】将原式配方为，当a＝4，b＝2时，原式有最小值．

题型三  求代数式的值

【例4】已知，求的值．

【解析】＝，由已知条件得a－b＝－3，b－c＝－1，c－a＝4，代入上式，得出该式子的值为13.

题型四  判定三角形的形状

【例5】已知a，b，c为△ABC的三边长，若a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca，试判断△ABC的形状，并证明．

【解析】a2＋b2＋c2＝ab＋bc＋ca＝＝0，故a＝b＝c,所以△ABC是等边三角形.

题型五  证明两数的关系

【例6】已知实数a，b，c满足a＝6－b，，求证：a＝b．

【解析】由条件知a＋b＝6，ab＝＋9，于是a，b是方程的两根，

由a，b是实数，所以△≥0，即，≤0，从而＝0，△＝0，所以a＝b．

针对练习4

1．一元二次方程配方后为，那么一元二次方程配方为（ D ）

A． B． C． D．或

2．已知，，则的值（ B ）

A.一定是负数 B.一定是正数 C.一定不是负数 D. 一定不是正数

3．已知实数，，则代数式的最小值等于___4____．

4．设，，求的值．

解：由配方，得，，因为，所以，，则．

5．若实数，满足，求满足条件的的最大整数值．

解：∵，

∴的最大整数值为1．

6．（1）如果成立，求的值；

（2）已知，求的值．

解：（1）配方得，∴，，∴，，所以；

（2）由得，再由非负性可得，，∴．

7.已知，，是整数，且，，求的值.

解：将a＝2b＋4代入ab＋c2一1＝0，配方得2（b＋1）2＋c2＝3.

∵，，是整数，∴且．∴或，而的值为3，，5，．

8.若实数，，满足，，求证：．

解：仿例6.