人教版九年级数学上册课件---21.2.5 一元二次方程的根的判别式

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一元二次方程根的判别式21.2.5 一元二次方程的根的判别式1.一元二次方程的一般形式是 ， 求根公式是 .知识回顾2.完成下表21.2.5 一元二次方程的根的判别式情境引入21.2.5 一元二次方程的根的判别式交流： 我们在运用公式法求解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）时，总是要求：b2-4ac≥0，这是为什么？自主预习21.2.5 一元二次方程的根的判别式将方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方后得到由于a≠0，所以4a2＞0，因此我们不难发现：21.2.5 一元二次方程的根的判别式由于正数有两个平方根，所以原方程的根为：此时，原方程有两个不相等的实数根。新知探究21.2.5 一元二次方程的根的判别式由于0的平方根为0，所以原方程的根为此时，原方程有两个相等的实数根。21.2.5 一元二次方程的根的判别式 由于负数在实数范围内没有平方根，因此原方程没有实数根。21.2.5 一元二次方程的根的判别式因此，我们不难发现： 一元二次方程是否有实数解，是由b2-4ac决定的。 我们把b2-4ac叫做一元二次方程 ax2+ba+c=0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示知识梳理21.2.5 一元二次方程的根的判别式两个不相等的实数根两个相等的实数根没有实数根两个实数根 Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥021.2.5 一元二次方程的根的判别式按要求完成下列表格：04有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根Δ21.2.5 一元二次方程的根的判别式练一练例1 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定解析：原方程即 x2 + x − 1 = 0，a = 1，b = 1，c = −1，∵ Δ = b2 − 4ac = 12 − 4×1×(−1) = 5＞0，∴ 该方程有两个不等的实数根，故选 B.B21.2.5 一元二次方程的根的判别式例题讲解例2 不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）3x2 + 4x − 3 = 0； （2）4x2 = 12x − 9； 解：（1）a = 3，b = 4，c = −3， ∴ Δ = b2 − 4ac = 42 − 4×3×(−3) = 52＞0. ∴ 方程有两个不相等的实数根．（2）方程化为 4x2 − 12x + 9 = 0，a = 4，b = −12，c = 9， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−12)2 − 4×4×9 = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根．21.2.5 一元二次方程的根的判别式例题讲解 （3）7y = 5( y2 + 1 ).解：方程化为 5y2 −7y + 5 = 0，a = 5，b = −7，c = 5， ∴ Δ = b2－4ac = (−7)2－4×5×5 = −51＜0. ∴ 方程没有实数根．Δ = b2 − 4ac > 0Δ = b2 − 4ac = 0Δ = b2 − 4ac < 0有两个不等的实数根有两个相等的实数根没有实数根21.2.5 一元二次方程的根的判别式例3 若关于 x 的一元二次方程 x2 + 8x + q = 0 有两个不等的实数根，则 q 的取值范围是 ( ) A. q≤4 B. q≥4 C. q＜16 D. q＞16C解析：方程有两个不等的实数根，根据根的判别式，则 Δ = b2 − 4ac＞0，即 82 − 4q＞0. 解得 q＜16，故选 C.21.2.5 一元二次方程的根的判别式例题讲解【拓展题】二次项系数含字母若关于 x 的一元二次方程 kx2 − 2x − 1 = 0 有两个不等的实数根，则 k 的取值范围是 ( ) A. k > −1 B. k > −1 且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0B(-2)2 + 4k > 0 当一元二次方程二次项系数是字母时，一定要注意二次项系数不为 0，再根据“Δ”求字母的取值范围.方程有两个不等的实数根分析：二次项系数不为 0k≠0k > −1 且 k≠021.2.5 一元二次方程的根的判别式【拓展题】删除限制条件“二次”若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0分析：分类讨论k = 0k≠0原方程变形为 −2x − 1 = 0，有实数根Δ = 4 + 4k≥0k≥−1A21.2.5 一元二次方程的根的判别式1. 不解方程，判断下列方程的根的情况：（1）2x2 + 3x − 4 = 0； （2）x2 − x + = 0； 解：（1）a = 2，b = 3，c = −4， ∴ Δ = b2 − 4ac = 32 − 4×2×(−4) = 41＞0. ∴ 方程有两个不等的实数根． （2）a = 1，b = −1，c = ， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1× = 0. ∴ 方程有两个相等的实数根．21.2.5 一元二次方程的根的判别式随堂练习解：x2 − x + 1 = 0，a = 1，b = −1，c = 1， ∴ Δ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4×1×1 = −3 < 0. ∴ 方程无实数根．（3） x2 − x + 1 = 0.21.2.5 一元二次方程的根的判别式2. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0．Δ = 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0.21.2.5 一元二次方程的根的判别式3. 不解方程，判断关于 x 的方程的根的情况.解：∴ 原方程有两个实数根．∵ k2≥0，∴ 4k2≥0，即 Δ≥0.21.2.5 一元二次方程的根的判别式能力提升：在等腰△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，其中 a = 5，若关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 - b = 0 有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.解：∵关于 x 的方程 x2 + (b + 2)x + 6 − b = 0 有两个相等的实数根，∴ Δ = (b + 2)2 − 4(6 − b) = b2 + 8b − 20 = 0.解得 b1= −10（舍去），b2 = 2.由三角形的三边关系，得 c = 5，∴△ABC 的三边长为 5，2，5，其周长为 5 + 2 + 5 = 12.21.2.5 一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)根情况的方法：Δ =b2 − 4ac > 0Δ =b2 − 4ac = 0Δ =b2 − 4ac＜ 0有两个不等的实数根有两个相等的实数根没有实数根21.2.5 一元二次方程的根的判别式课堂小结