429 解一元二次方程（讲师版）学案

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解一元二次方程知识定位掌握一元二次方程的四种解法；掌握和熟练运用因式分解的四种方法；学会用公式法分解二次三项式的方法步骤；知识梳理 1 一元二次方程的定义及 4 种解法：1、因式分解法 ①移项：使方程右边为 0适用能因式分解②因式分解：将方程左边因式分解；方法：一提，二套，三十字，四分组aa③由 A∙B=0，则 A=0 或 B=0，解两个一元一次方程2、直接开平方法x2  a(a  0)x1 x2  适用无一次项的x  b2  a(xab0) a解两个一元一次方程3、配方法 ①移项：左边只留二次项和一次项，右边为常数项 （移．项．要．变．号．）②同除：方程两边同除二次项系（每．项．都．要．除．）③配方：方程两边加上一次项系．数．一．半．的．平．方．④开平方：注意别忘根号和正负⑤解方程：解两个一元一次方程4、公式法① 将方程化为一般式② 写出 a、b、c③ 求出b 2  4ac ，④ 若 b2-4ac＜0，则原方程无实数解b  b2  4ac⑤ 若 b2-4ac＞0，则原方程有两个不相等的实数根，代入公式 x=⑥ 若 b2-4ac＝0，则原方程有两个相等的实数根，代入公式 x  b2a求解2a求解。知识梳理 2 一元二次方程的应用题步骤：审题：读懂题目,审清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系设元：就是设未知数,根据题意,选择适当的未知量 ,并用字母（X)表示出来,设元又分直接设元和间接设元列方程：根据题目中给出的等量关系,列出符合题意的一元二次方程解方程：求出所列方程的解验根：检验未知数的值是否符合题意写出答案 【题目】解下列方程．（1）2x2+x=0 （2）3x2+6x=01【答案】 （1）x1=0，x2=- 2 ．（2）x1=0，x2=-2．【解析】上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解: 2x2+x=x（2x+1），3x2+6x=3x（x+2）因此，上面两个方程都可以写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于 0，至少其中一个因式要等于 0，也就是：1（1）x=0 或 2x+1=0，所以 x1=0，x2=- 2 ．（2）3x=0 或 x+2=0，所以 x1=0，x2=-2．#对应知识梳理 1【知识点】解一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】2 【题目】当 a b c 是实数时，求证：方程 x2  (a  b)x  (ab  c2 )  0 必有两个实数根，并求两根相等的条件．【答案】见解析【解析】：   [(a  b)]2  4(ab  c2 )  a2  2ab  b2  4ab  4c2  a2  2ab  b2  4c2 (a  b)2  4c2 ,(a  b)2  0,4c2  0,  0,．‘．方程 x2  (a  b)x  (ab  c2 )  0 必有两个实数根，当方程两根相等时，   (a  b)2  4c2  0, (a  b)2  0 且4c2  0,a  b 且c  ．。．原方程两根相等的条件是 a  b 且c  0.#对应知识梳理 1【知识点】解一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】2 【题目】解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-411【答案】（1） x1=0，x2= 4 （2）x1=2，x2=4【解析】 （1）移项，得：4x2-11x=0 因式分解，得：x（4x-11）=0于是，得：x=0 或 4x-11=011x1=0，x2= 4（2）移项，得（x-2）2-2x+4=0（x-2）2-2（x-2）=0因式分解，得：（x-2）（x-2-2）=0 整理，得：（x-2）（x-4）=0于是，得 x-2=0 或 x-4=0 x1=2，x2=4#对应知识梳理 1【知识点】解一元二次方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】2 【题目】 我们知道 x2-（a+b）x+ab=（x-a）（x-b），那么 x2-（a+b）x+ab=0 就可转化为（x-a）（x-b）=0，请你用上面的方法解下列方程．（1）x2-3x-4=0 （2）x2-7x+6=0 （3）x2+4x-5=0【答案】（1）x1=4，x2=-1（2）x1=6，x2=1（3）x1=-5，x2=1【解析】解（1）∵x2-3x-4=（x-4）（x+1）∴（x-4）（x+1）=0∴x-4=0 或 x+1=0∴x1=4，x2=-1（2）∵x2-7x+6=（x-6）（x-1）∴（x-6）（x-1）=0∴x-6=0 或 x-1=0∴x1=6，x2=1（3）∵x2+4x-5=（x+5）（x-1）∴（x+5）（x-1）=0∴x+5=0 或 x-1=0∴x1=-5，x2=1#对应知识梳理 1【知识点】解一元二次方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】2 【题目】解方程x 2  3x  2  0【答案】1,2【解析】 解法一：x 2  3x  2  0 ，(x－2)(x－1)＝0， x－2＝0，x－1＝0，∴ x1 1，x 2  2 ．#对应知识梳理 2【知识点】解一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】2 【题目】解关于 x 的方程x 2  m(3x  2m  n)  n 2  0【答案】．x1  2m  n，x 2  m  n【解析】把原方程左边展开，整理，得x 2  3mx  (2m2  mn  n 2 )  0 ．∵a＝1，b＝－3m， c  2m2  mn  n 2 ，∴ b2  4ac  (3m)2  4 1 (2m2  mn  n 2 ) m2  4mn  4n 2 (m  2n)2  0 ．3m  (m  2n)2x ∴ 2 3m  (m  2n)2 ．∴ x1  2m  n，x 2  m  n ．#对应知识梳理 2【知识点】解一元二次方程【适用场合】当堂例题【难度系数】2 【题目】已知方程 2x 2  4x  m  0 的两根平方和是 34，求 m 的值【答案】-30m【解析】设方程的两根为x1、x 2 ，则x1  x 2 2，x1 x 2  2 ．x2  x2  (x  x )2  2x x∵ 1 2 1 2 1 2 ，∴ 2x1x 2  (x1  x 2 )2  (x 2  x 2 )1 2 (2)2  34＝－30．mx1x 2 ∵ 2 ，∴m＝－30．#对应知识梳理 2【知识点】解一元二次方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】2 【题目】 求一个一元二次方程，使它的两个根是 2、10【答案】 x 2 12x  20  0【解析】 设所求的方程为x 2  px  q  0 ．∵2＋10＝－p，2×10＝q，∴p＝－12，q＝20．∴所求的方程为x 2 12x  20  0#对应知识梳理 2【知识点】解一元二次方程【适用场合】当堂练习题【难度系数】2习题演练 7【题目】已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这两个数【答案】 4 7和4 【解析】设这两个数为x1、x2 ，以这两个数为根的一元二次方程为x 2  px  q  0 ．∵ x1  x 2  8  p，x1  x 2  q ，7∴方程为x 2  8x  9  0 ．7解这个方程得x1  4 7，x 2  4  ，∴这两个数为 4 7和4  ．【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】下列方程中是一元二次方程的序号是 ．①x2  4②2x2  y  5③ 33x  x2 1  0④5x2  0⑤3x 2  x  52⑥ 1  x  4x 2⑦3x3  4x2 1  0。。。。⑧x(x  5)  x2  2x【答案】 ①, ③, ④, ⑤【解析】判断一个方程是否是一元二次方程，要根据一元二次方程的定义，看是否同时符合条件①含有一个未知数；②未知数的最高次数是 2; ③ 整式方程．若同时符合这三个条件的就是一元次方程，否则缺一不可．其中方程②含两个未知数，不符合条件①；方程⑥不是整式方程，lil 不符合条件③；方程⑦中未知数的最高次数是 3 次，不符合条件②；方程⑧经过整理后；次项消掉，也不符合条件②．【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】已知，关于 2 的方程(a  5)x2  2ax  1是一元二次方程，则 a【答案】  5【解析】方程(a  5)x2  2ax  1既然是一元二次方程，必符合一元二次方程的定义，所以未知数的最高次数是 2，因此，二次项系数 a  5  0, 故a  5.【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】方程 x2  2x  3  0 的根是【答案】 1.31【解析】 x2  2x  3  0, x2  2x 1  4,(x 1)2  4. 所以 x 1, x2 3.【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】不解方程，判断一元二次方程3x2 6x 2x  2  0 的根的情况是 ．◆答案：有两个不相等的实数根6【答案】有两个不相等的实数根【解析】原方程化为3x2  ( 2)x  2  0,6b2  4ac  [( 2)]2  4 2  8  4   0,336448．‘．原方程有两个不相等的实数根．【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】若关于 X 的方程 x2  5x  k  0 有实数根，则 k 的取值范围是k  25【答案】 4【解析】 方程有实根，b2  4ac  52  4k  0, k  25 4【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】.若 a 的值使得 x2  4x  a  (x  2)2 1成立，则 a 的值为( ) A．5 8．4 C．3 D．2【答案】C【解析】(x  2)2 1  x2  4x  4 1  x2  4x  3,  a 的值使得x2  4x  a  (x  2)2 1  x2  4x  3,a  3, 故 C 正确．【知识点】解一元二次方程【适用场合】课后两周练习【难度系数】2 【题目】关于 X 的一元二次方程 错误!未找到引用源。 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )A.k  1B.k  1C.k  0D.k  1且k  0【答案】Dk  0,【解析】由题意知4  4k  0. 解得 k  1且 k  0.【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 【题目】元二次方程 (1 k)x2  2x 1  0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )A.k  2B.k  2 且 k  1C.k  2D.k  2 且 k  1【答案】B【解析】．‘方程有两个不相等的实根,b2  4ac  (2)2  4(1  k) (1)  8  4k  0, k  2 且 k  1, 故 B 正确．【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2 (1)3x 2  12x 15  0;(2)2x 2 11x  5  0;【题目】用因式分解法解方程： (3)8x(2x  1)  15.【答案】见解析【解析】 (1)原方程化为x2  4  x  5  0,(x  2)2  9, x 5, x2 1.1(2)(x  5)(2x 1)  0, x1 5, x2 1 216x2  8x 15  0, x2  1 x  15 , (x  1)2  1.x   5 , x 3 (3)原方程化为2 16 41 4 2 4【知识点】解一元二次方程【适用场合】随堂练练【难度系数】3 【题目】解关于 2 的方程： (1)mx(x  c)  (c  x)  0(m  0); (2)mx2  (m  n)x  n  0(m  0).【答案】见解析【解析】(1)原方程整理为 mx(x  C)  (x  c)  0,(x  c)(mx 1)  0, x  c  0或 mx 1  0, m  0, x1 c, x2 1 ;m(2)原方程化为(x 1)(mx  n)  0, x 1  0 或 mx  n  0, m  0, x1 1, x2  n m【知识点】解一元二次方程【适用场合】课后两周练习【难度系数】3 【题目】不解方程，判别下列方程根的情况．(1)2x(x  3)  5(2)x2  25x  3  0;(3)9x2 12x  4  0; (4)(2y 1)2  y( y  2)  0.【答案】（1）（2）有两个不等实根，（3）两个相等实根（4）无实根【解析】(1)原方程可化为 2x2  6x  5  0, b2  4ac  62  4  2 (5)  36  40  0,原方程有不相等两实根；(2)b2  4ac  (25)2  4 1(3)  20 12  0,原方程有不相等两实根；(3)b2  4ac  122  4  9  4  144 144  0,原方程有相等两实根；(4)原方程化为： 5y 2  2 y 1  0, b2  4ac  (2)2  4  51  4  20  0,原方程无实根．【知识点】解一元二次方程【适用场合】课后一个月练习【难度系数】3 【题目】已知关于 z 的方程 x2  (2k 1)x  k 2  3  0, 当 k 为何值时，(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程无实根?k   13【答案】（1) 4(2)k   13 ;4k   13(3) 4k   13【解析】b2  4ac  (2k 1)2  4(k 2  3)  4k 13. 当 b2  4ac  4k 13  0时， 4k   13 ;当 b2  4ac  4k 13  0时，当 b2  4ac  4k 13  0 时，k   134k   13 ;4当 4 时，原方程有两个不相等的实数根；k   13当 4 时，原方程有两个相等的实数根；k   13当 4 时，原方程无实根．【知识点】解一元二次方程【适用场合】课后两周练习【难度系数】2 【题目】求证：关于 2 的方程 x2  (2m  3)x  3m 1  0 有两个不相等的实数根【答案】见解析【解析】b2  4ac  (2m  3)2  4(3m 1)  4m2 12m  9 12m  4  4m2 13,4m2  0,b2  4ac  4m2 13  0,原方程有两个不相等的实数根【知识点】解一元二次方程【适用场合】阶段测验【难度系数】2