430 根的判别式与方程根的个数间的关系（学生版）学案

根的判别式与方程的根的个数间的关系

知识定位

1．掌握一元二次方程的根的判别式与方程根的关系

2．一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。我们将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。

 知识梳理1一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，其一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数a≠0的情况下，Δ=b2－4ac>0时，方程有2个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac <0时，方程无实数根。反之，若方程有2个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。

因此，Δ=b2－4ac称为一元二次方程根的判别式

知识梳理2根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。

【题目】一元二次方程的根的情况是【    】

A．有两个相等的实数根        B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根            D．无实数根

【题目】下列四个结论中，正确的是【    】

 A．方程有两个不相等的实数根     

 B．方程有两个不相等的实数根

C．方程有两个不相等的实数根

D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根

【题目】如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是【    】

A．k＜      B．k＜且k≠0      C．﹣≤k＜      D．﹣≤k＜且k≠0

【题目】若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是【    】

   A.      B.       C.       D.

【题目】已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是【    】

　 A． 1 B． ﹣1 C．  D． ﹣

【题目】如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是    ▲    。         ．

【题目】已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0．

(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

(2)若x1、x2是原方程的两根，且|x1－x2|＝2，求m的值和此时方程的两根

【题目】 关于的方程的根的情况描述正确的是【    】.

A．为任何实数，方程都没有实数根

B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实

数根三种

习题演练

【题目】已知两个数的和等于8，积等于9，求这两个数

【题目】已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 ▲ 　。

【题目】已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足。aa

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由。

【题目】已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【    】

A．64          B．48          C．32          D．16

【题目】不解方程，判断一元二次方程的根的情况是         ．

【题目】若关于X的方程有实数根，则k的取值范围是        

【题目】二次三项式x2﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是　  ▲  　

【题目】关于X的一元二次方程  错误!未找到引用源。 有两个不相等的实数根，则k的取值

范围是(    )

          且

【题目】元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(    )

     且              且

【题目】若反比例函数与一次函数的图像没有交点，则的值可以是【    】

A. -2  B. -1  C. 1  D. 2

【题目】已知：一次函数y=3x－2的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为1。

（1）(3分)求该反比例函数的解析式；

（2）(3分)将一次函数y=3x－2的图象向上平移4个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；

（3）(2分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：

①函数的图象能由一次函数y=3x－2的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到；[中国教育*^出版网~%&]

②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。

【题目】不解方程，判别下列方程根的情况．

【题目】已知关于z的方程当k为何值时，

(1)方程有两个不相等的实数根?

(2)方程有两个相等的实数根?

(3)方程无实根?

【题目】求证：关于2的方程有两个不相等的实数根