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人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系导学案及答案
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这是一份人教版九年级上册24.2.2 直线和圆的位置关系导学案及答案，文件包含九年级数学上册2422直线与圆位置关系讲义学生版docx、九年级数学上册2422直线与圆位置关系讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共40页， 欢迎下载使用。
24.2.2直线和圆的位置关系
知识点一：直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d=r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
例题：已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
变式1：半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【分析】分两种情况求解：OA⊥l；OA不垂直l．根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定．
【解答】解：若OA⊥l，则圆心O到直线l的距离就是OA的长，等于半径，所以直线l与⊙O相切；
若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于5，即小于半径，所以直线l与⊙O相交．
故选：D．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．
若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
变式2：直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系一定是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【分析】若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，
∴直线和圆相交或相切．
故选：D．
【点评】此题考查直线与圆的关系，注意：直线上一点到圆心的距离不一定是圆心到直线的距离．
知识点二：切线的判定定理
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
例题：如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C和点D分别是线段PA、PB上的动点，并且CD始终保持与圆O相切，若PA=8cm，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．不能确定
【分析】利用切线长定理得到PB=PA=8，CA=CE，DE=DB，然后根据三角形周长的定义和等量代换计算△PCD的周长．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB=PA=8，
∵CD切⊙O于E，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=8+8=16（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
变式1：如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠AOP=54°，
∴∠B=27°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．
变式2：如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
【解答】解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO=90°，
∵∠C=90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴===，
设PA=x，则=，
解得：x=4，
故PA=4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出△PDO∽△PCB是解题关键．
知识点三：切线的性质定理
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
例题：如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
【分析】以OM为直径作圆交⊙O于K，利用圆周角定理得到∠MKO=90°．从而得到KM⊥OK，进而利用勾股定理求解．
【解答】解：如图所示：
MK=，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
变式1：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（ ）时，PA与⊙O相切．
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】先利用切线的性质求出∠AOP=50°，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，
∵OB=OC，
∴∠AOP=2∠B，
∴∠B=∠AOP=25°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，求出∠AOP是解本题的关键．
变式2：已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
知识点四：切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
例题：如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
【分析】根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选：C．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB．
变式1：如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BC==10，
∴BE+CG=10（cm）．
故选：D．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
变式2：如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是 24cm ．
【分析】连接OA、OB，由切线长定理可得：PA=PB，DA=DC，EC=EB；由勾股定理可得PA的长，△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB，即可求得△PDE的周长．
【解答】解：连接OA、OB，如下图所示：
∵PA、PB为圆的两条切线，
∴由切线长定理可得：PA=PB，
同理可知：DA=DC，EC=EB；
∵OA⊥PA，OA=5，PO=13，
∴由勾股定理得：PA=12，
∴PA=PB=12；
∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；
∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24，
故此题应该填24cm．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
知识点五：三角形的内切圆
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
例题：如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果∠EPF=70°，那么∠B=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据圆心角与圆周角的关系得出∠EOF=140°，进而得出∠B的度数即可．
【解答】解：∵∠EPF=70°，
∴∠EOF=2∠EPF=140°，
∵BE、BF是切线，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∴∠B=360°﹣90°﹣90°﹣140°=40°，
故选：A．
【点评】此题考查三角形的内切圆与内心，关键是根据圆心角与圆周角的关系得出∠EOF=140°．
变式1：下列说法中，正确的个数共有（ ）
（1）一个三角形只有一个外接圆；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据外接圆的性质，圆的对称性，三角形的内心以及圆周角定理即可解出．
【解答】解：（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；
故选：C．
【点评】此题考查了外接圆的性质，三角形的内心及轴对称和中心对称的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．
变式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，△ABC内切圆与外接圆面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：4 C．4：25 D．9：61
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，分别求出内切圆与外接圆的半径，根据圆的面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB==10cm，
∴△ABC内切圆的半径==2cm，外接圆半径==5cm，
∴△ABC内切圆与外接圆面积之比为4：25，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，外接圆与外心，掌握直角三角形的内切圆与外接圆的半径的求法是解题的关键．
拓展点一：直线和圆的位置关系的应用
例题：点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
【分析】根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．
【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，
∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，
故选：D．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
变式1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【分析】过O作OD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出OD，把OD和比较即可得出答案．
【解答】解：
过O作OD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB==13，
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴5×12=13×CD，
∴CD=＞，
∴⊙O与AB的位置关系是相离，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识点的运用，注意：判断直线与圆的位置关系的思路是过圆心作直线的垂线，比较垂线段的长和半径的大小即可．
变式2：⊙O半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相离．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
拓展点二：切线判定的应用
例题：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（3，0），将⊙P沿x轴左平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1 或 5
【分析】分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为5；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为1．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
变式1：如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
变式2：如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
【分析】（1）连接DE，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
拓展点三：切线性质的应用
例题：如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，
∴光盘的直径为6，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．
变式1：如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE中，OE===3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC===4，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理．
变式2：如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
拓展点四：切线长定理的应用
例题：如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP=90°，
同理∠OBP=90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
∴∠ACB=∠AOB=70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．
变式1：如图，圆外切四边形ABCD，且AB=15，CD=9，则四边形的周长是 48 ．
【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得．
【解答】解：根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，
∴AB+BC+CD+AD=2×（15+9）=48．
故答案为：48．
【点评】此题主要考查了切线长定理以及圆外切四边形的性质，正确利用圆外切四边形对边和相等是解题关键．
变式2：如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是 12 ．
【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=6，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=6，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
易错点一：混淆点与点的距离及点到直线的距离的概念
例题：已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，
又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．
故选：C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
变式1：已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相离、相切、相交都有可能
【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出选项即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣2，3），
∴点P到x轴的距离是3，
∵2＜3，
∴以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
变式2：已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
易错点二：混淆三角形的外心和内心的实质
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（2）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，
例题：三角形的内心是三角形中（ ）
A．三条高的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点
【分析】利用三角形的内心的性质解答即可．
【解答】解：三角形的内心是三角形中3条角平分线的交点；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的内心的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
变式1：正三角形外接圆的半径为2，那么它内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到．
【解答】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍，
所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1．故选A．
【点评】熟练掌握等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比（1：2：3）．
变式2：如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，则下列等式：
①∠EDF=∠B；
②2∠EDF=∠A+∠C；
③2∠A=∠FED+∠EDF；
④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】不妨设∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．求出各个角，首先判定出①③错误，再证明②④正确．
【解答】解：不妨设∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．
∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，
∴BE=BF，AE=AD，CF=CD，
∴∠BEF=∠BFE=∠EDF=50°，∠CFD=∠CDF=∠FED=60°，∠AED=∠ADE=∠EFD=70°，
∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED+∠EDF，故①③不正确，
∵∠B+∠BEF+∠EFB=180°，∠B+∠A+∠C=180°，
∴∠BEF+∠BFE=∠A+∠C，
∴2∠EDF=∠A+∠C，故②正确，
∵∠AED=∠EFD，∠BFE=∠EDF，∠CDF=∠FED，
∴∠AED+∠BFE+∠CDF=∠EFD+∠EDF+∠FED=180°，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内接圆与内心，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊值法解决问题，属于中考常考题型．
24.2.2直线和圆的位置关系
知识点一：直线和圆的位置关系
（1）直线和圆的三种位置关系：
①相离：一条直线和圆没有公共点．
②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．
③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．
（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．
①直线l和⊙O相交⇔d＜r
②直线l和⊙O相切⇔d=r
③直线l和⊙O相离⇔d＞r．
例题：已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据圆心到直线的距离5等于圆的半径5，则直线和圆相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离5cm=5cm，
∴直线和圆相切．
故选：B．
【点评】此题考查直线与圆的关系，能够熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关系．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
变式1：半径为10的⊙O和直线l上一点A，且OA=10，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．相切或相交
【分析】分两种情况求解：OA⊥l；OA不垂直l．根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判定．
【解答】解：若OA⊥l，则圆心O到直线l的距离就是OA的长，等于半径，所以直线l与⊙O相切；
若OA与直线l不垂直，根据垂线段最短，圆心O到直线l的距离小于5，即小于半径，所以直线l与⊙O相交．
故选：D．
【点评】此题考查的是直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．
若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
变式2：直线l上的一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆的位置关系一定是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交
【分析】若直线上一点到圆心的距离等于圆的半径，则圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，此时直线和圆相交或相切．
【解答】解：∵圆心到直线的距离等于或小于圆的半径，
∴直线和圆相交或相切．
故选：D．
【点评】此题考查直线与圆的关系，注意：直线上一点到圆心的距离不一定是圆心到直线的距离．
知识点二：切线的判定定理
（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（2）在应用判定定理时注意：
①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．
③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．
例题：如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，点C和点D分别是线段PA、PB上的动点，并且CD始终保持与圆O相切，若PA=8cm，则△PCD的周长是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．不能确定
【分析】利用切线长定理得到PB=PA=8，CA=CE，DE=DB，然后根据三角形周长的定义和等量代换计算△PCD的周长．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PB=PA=8，
∵CD切⊙O于E，
∴CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长=PC+PD+CD=PC+PD+CE+DE=PA+PB=8+8=16（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
变式1：如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连结BC，若∠P=36°，则∠B等于（ ）
A．27° B．32° C．36° D．54°
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆周角定理得出答案．
【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠AOP=54°，
∴∠B=27°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP的度数是解题关键．
变式2：如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
【解答】解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO=90°，
∵∠C=90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴===，
设PA=x，则=，
解得：x=4，
故PA=4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了切线的性质以及相似三角形的判定与性质，正确得出△PDO∽△PCB是解题关键．
知识点三：切线的性质定理
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
例题：如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK=（ ）
A．3 B．2 C．5 D．
【分析】以OM为直径作圆交⊙O于K，利用圆周角定理得到∠MKO=90°．从而得到KM⊥OK，进而利用勾股定理求解．
【解答】解：如图所示：
MK=，
故选：B．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．
变式1：如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA．若∠P=40°，当∠B等于（ ）时，PA与⊙O相切．
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】先利用切线的性质求出∠AOP=50°，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠AOP=90°﹣∠P=50°，
∵OB=OC，
∴∠AOP=2∠B，
∴∠B=∠AOP=25°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，求出∠AOP是解本题的关键．
变式2：已知⊙O的半径为5，直线EF经过⊙O上一点P（点E，F在点P的两旁），下列条件能判定直线EF与⊙O相切的是（ ）
A．OP=5 B．OE=OF
C．O到直线EF的距离是4 D．OP⊥EF
【分析】根据切线的判定定理可求得需要满足和条件，即可求得答案．
【解答】解：
∵点P在⊙O上，
∴只需要OP⊥EF即可，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
知识点四：切线长定理
（1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
（4）切线长定理包含着一些隐含结论：
①垂直关系三处；
②全等关系三对；
③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．
例题：如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=10，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．10 B．18 C．20 D．22
【分析】根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．
【解答】解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选：C．
【点评】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB．
变式1：如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【分析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，BE=BF，CG=CF，
∴∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠BOC=90°，
∴BC==10，
∴BE+CG=10（cm）．
故选：D．
【点评】此题主要是考查了切线长定理．从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角．
变式2：如图，PA、PB切⊙O于A、B，点C在上，DE切⊙O于C，交PA、PB于D、E，已知PO=13cm，⊙O的半径为5cm，则△PDE的周长是 24cm ．
【分析】连接OA、OB，由切线长定理可得：PA=PB，DA=DC，EC=EB；由勾股定理可得PA的长，△PDE的周长=PD+DC+CE+PE=PD+DA+PE+EB=PA+PB，即可求得△PDE的周长．
【解答】解：连接OA、OB，如下图所示：
∵PA、PB为圆的两条切线，
∴由切线长定理可得：PA=PB，
同理可知：DA=DC，EC=EB；
∵OA⊥PA，OA=5，PO=13，
∴由勾股定理得：PA=12，
∴PA=PB=12；
∵△PDE的周长=PD+DC+CE+PE，DA=DC，EC=EB；
∴△PDE的周长=PD+DA+PE+EB=PA+PB=24，
故此题应该填24cm．
【点评】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．
知识点五：三角形的内切圆
（1）内切圆的有关概念：
与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
（3）三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
例题：如图，圆O是△ABC的内切圆，分别切BA、BC、AC于点E、F、D，点P在弧DE上，如果∠EPF=70°，那么∠B=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】根据圆心角与圆周角的关系得出∠EOF=140°，进而得出∠B的度数即可．
【解答】解：∵∠EPF=70°，
∴∠EOF=2∠EPF=140°，
∵BE、BF是切线，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
∴∠B=360°﹣90°﹣90°﹣140°=40°，
故选：A．
【点评】此题考查三角形的内切圆与内心，关键是根据圆心角与圆周角的关系得出∠EOF=140°．
变式1：下列说法中，正确的个数共有（ ）
（1）一个三角形只有一个外接圆；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等；
（4）三角形的内心到该三角形三个顶点距离相等；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据外接圆的性质，圆的对称性，三角形的内心以及圆周角定理即可解出．
【解答】解：（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；
故选：C．
【点评】此题考查了外接圆的性质，三角形的内心及轴对称和中心对称的概念，要求学生对这些概念熟练掌握．
变式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，△ABC内切圆与外接圆面积之比为（ ）
A．2：5 B．3：4 C．4：25 D．9：61
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，分别求出内切圆与外接圆的半径，根据圆的面积公式计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB==10cm，
∴△ABC内切圆的半径==2cm，外接圆半径==5cm，
∴△ABC内切圆与外接圆面积之比为4：25，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形的内切圆与内心，外接圆与外心，掌握直角三角形的内切圆与外接圆的半径的求法是解题的关键．
拓展点一：直线和圆的位置关系的应用
例题：点A在圆O上，已知圆O的半径是4，如果点A到直线a的距离是8，那么圆O与直线a的位置关系可能是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切或相交 D．相切或相离
【分析】根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．
【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是4，点A到直线a的距离是8，
∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离，
故选：D．
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．
变式1：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙C的半径为，则⊙C与AB的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【分析】过O作OD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出OD，把OD和比较即可得出答案．
【解答】解：
过O作OD⊥AB于D，
由勾股定理得：AB==13，
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴5×12=13×CD，
∴CD=＞，
∴⊙O与AB的位置关系是相离，
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积等知识点的运用，注意：判断直线与圆的位置关系的思路是过圆心作直线的垂线，比较垂线段的长和半径的大小即可．
变式2：⊙O半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【分析】根据直线和园的位置关系可知，圆的半径小于直线到圆距离，则直线l与O的位置关系是相离．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线的距离为3，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交．
故选：A．
【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
拓展点二：切线判定的应用
例题：如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（3，0），将⊙P沿x轴左平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．1 或 5
【分析】分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可．
【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为5；
当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为1．
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．
变式1：如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
变式2：如图，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）求线段BD的长；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
【分析】（1）连接DE，如图，利用圆内接四边形的性质得∠DEB=60°，再根据圆周角定理得到∠BDE=90°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长；
（2）连接EA，如图，根据圆周角定理得到∠BAE=90°，而A为的中点，则∠ABE=45°，再根据等腰三角形的判定方法，利用BA=AP得到△BEP为等腰直角三角形，所以∠PEB=90°，然后根据切线的判定定理得到结论．
【解答】（1）解：连接DE，如图，
∵∠BCD+∠DEB=180°，
∴∠DEB=180°﹣120°=60°，
∵BE为直径，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BE=×2=，
BD=DE=×=3；
（2）证明：连接EA，如图，
∵BE为直径，
∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，
∴∠ABE=45°，
∵BA=AP，
而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，
∴∠PEB=90°，
∴PE⊥BE，
∴直线PE是⊙O的切线．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．
拓展点三：切线性质的应用
例题：如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB=3，则光盘的直径是（ ）
A．3 B． C．6 D．
【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理得出AB=AC=3、∠OAB=60°，根据OB=ABtan∠OAB可得答案．
【解答】解：设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，
由切线长定理知AB=AC=3，OA平分∠BAC，
∴∠OAB=60°，
在Rt△ABO中，OB=ABtan∠OAB=3，
∴光盘的直径为6，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用．
变式1：如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为5，CD=8，则弦AC的长为（ ）
A．10 B．8 C．4 D．4
【分析】由AB是圆的切线知AO⊥AB，结合CD∥AB知AO⊥CD，从而得出CE=4，Rt△COE中求得OE=3及AE=8，在Rt△ACE中利用勾股定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB与⊙O相切于点A，
∴OA⊥AB，
又∵CD∥AB，
∴AO⊥CD，记垂足为E，
∵CD=8，
∴CE=DE=CD=4，
连接OC，则OC=OA=5，
在Rt△OCE中，OE===3，
∴AE=AO+OE=8，
则AC===4，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径及垂径定理．
变式2：如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【分析】由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
【解答】解：∵直线AB是⊙O的切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选：D．
【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
拓展点四：切线长定理的应用
例题：如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P=40°，则∠C的度数为（ ）
A．40° B．140° C．70° D．80°
【分析】连接OA，OB根据切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，即可求得∠OAP，∠OBP的度数，根据四边形的内角和定理即可求的∠AOB的度数，然后根据圆周角定理即可求解．
【解答】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP=90°，
同理∠OBP=90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB=360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P=360°﹣90°﹣90°﹣40°=140°，
∴∠ACB=∠AOB=70°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了切线的性质，以及圆周角定理，正确求得∠AOB的度数，是解决本题的关键．
变式1：如图，圆外切四边形ABCD，且AB=15，CD=9，则四边形的周长是 48 ．
【分析】利用圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，即可得．
【解答】解：根据圆外切四边形的性质定理可以得出，四边形的周长是对边和的2倍，
∴AB+BC+CD+AD=2×（15+9）=48．
故答案为：48．
【点评】此题主要考查了切线长定理以及圆外切四边形的性质，正确利用圆外切四边形对边和相等是解题关键．
变式2：如图，PA、PB切⊙O于点A、B，PA=6，CD切⊙O于点E，交PA、PB于C、D两点，则△PCD的周长是 12 ．
【分析】由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA=6，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．
【解答】解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
∴PB=PA=6，CA=CE，DB=DE，
∴△PCD的周长=PC+CE+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=12．
故答案为：12．
【点评】此题考查了切线长定理．此题难度不大，注意从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
易错点一：混淆点与点的距离及点到直线的距离的概念
例题：已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，
又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，
∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．
故选：C．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
变式1：已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切
C．相交 D．相离、相切、相交都有可能
【分析】先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出选项即可．
【解答】解：∵点P的坐标为（﹣2，3），
∴点P到x轴的距离是3，
∵2＜3，
∴以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离，
故选：A．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．
变式2：已知⊙O的半径为5，若PO=4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法判断
【分析】已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外，根据以上内容判断即可．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO=4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙0内，
故选：A．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系的应用，注意：已知圆O的半径为r，点P到圆心O的距离是d，①当r＞d时，点P在⊙O内，②当r=d时，点P在⊙O上，③当r＜d时，点P在⊙O外．
易错点二：混淆三角形的外心和内心的实质
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（2）内切圆：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，
例题：三角形的内心是三角形中（ ）
A．三条高的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条角平分线的交点
【分析】利用三角形的内心的性质解答即可．
【解答】解：三角形的内心是三角形中3条角平分线的交点；
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的内心的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
变式1：正三角形外接圆的半径为2，那么它内切圆的半径为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】由正三角形外接圆的半径和它的内切圆的数量关系直接得到．
【解答】解：等边三角形的外接圆半径是它的内切圆半径的2倍，
所以当正三角形外接圆的半径为2时，它的内切圆的半径为1．故选A．
【点评】熟练掌握等边三角形的有关性质．特别记住等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比（1：2：3）．
变式2：如图，△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，则下列等式：
①∠EDF=∠B；
②2∠EDF=∠A+∠C；
③2∠A=∠FED+∠EDF；
④∠AED+∠BFE+∠CDF=180°，其中成立的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】不妨设∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．求出各个角，首先判定出①③错误，再证明②④正确．
【解答】解：不妨设∠B=80°，∠A=40°，∠C=60°．
∵△ABC的内切圆与三边分别相切于点D、E、F，
∴BE=BF，AE=AD，CF=CD，
∴∠BEF=∠BFE=∠EDF=50°，∠CFD=∠CDF=∠FED=60°，∠AED=∠ADE=∠EFD=70°，
∴∠EDF≠∠B，2∠A≠∠FED+∠EDF，故①③不正确，
∵∠B+∠BEF+∠EFB=180°，∠B+∠A+∠C=180°，
∴∠BEF+∠BFE=∠A+∠C，
∴2∠EDF=∠A+∠C，故②正确，
∵∠AED=∠EFD，∠BFE=∠EDF，∠CDF=∠FED，
∴∠AED+∠BFE+∠CDF=∠EFD+∠EDF+∠FED=180°，故④正确．
故选：B．
【点评】本题考查三角形的内接圆与内心，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊值法解决问题，属于中考常考题型．
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