430 根的判别式与方程根的个数间的关系（讲师版）学案

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根的判别式与方程的根的个数间的关系
知识定位
1. 掌握一元二次方程的根的判别式与方程根的关系
2. 一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。我们将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括①不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、③限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括④判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、⑤判断双曲线与直线的公共点个数、⑥判断抛物线与直线（含x 轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。
知识梳理 1 一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程，
其一般形式为 ax2+bx+c=0（a≠0）。在系数 a≠0 的情况下，Δ=b2－4ac>0 时，方程有
2 个不相等的实数根；Δ=b2－4ac =0 时，方程有两个相等的实数根；Δ=b2－4ac <0 时，
方程无实数根。反之，若方程有 2 个不相等的实数根，则Δ=b2－4ac>0；若方程有两个相等的实数根，则Δ=b2－4ac =0；若无实数根，则Δ=b2－4ac <0。
因此，Δ=b2－4ac 称为一元二次方程根的判别式
知识梳理 2 根的判别式b2-4ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件 a≠0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出 a、b、c 的值。



【题目】一元二次方程x2


2x 2 0 的根的情况是【 】


A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．无实数根


【答案】 D
【解析】∵ x2

2x 2 0中，a=1，b=2，c=2，


∴△ = b2 - 4ac=22 - 4´1´ 2= - 4 < 0 。


∴ x2
2x 2 0 无实数根。故选 D。

#对应知识梳理 1
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2



1
【题目】下列四个结论中，正确的是【 】
x+ = - 2

A. 方程
x
1
x+ =1
有两个不相等的实数根

B. 方程
1
x+ =2
x 有两个不相等的实数根

C. 方程 x 有两个不相等的实数根
1
D. 方程x+ x =a （其中 a 为常数，且 a > 2 ）有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：
A、整理得： x2 +2x+1=0 ，△＝0，∴原方程有 2 个相等的实数根， 选项错误；

B、整理得： x2 - x+1=0 ，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；

C、整理得： x2 - 2x+1=0，△＝0，∴原方程有 2 个相等的实数根，选项错误；


D、整理得： x2 - ax+1=0 ，当 a > 2 时， 项正确
故选 D。
#对应知识梳理 1
D=a2 - 4 > 0 ，∴原方程有 2 个不相等的实数根，选

【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2






【题目】如果关于 x 的一元二次方程kx2 -
的取值范围是【 】


2k + 1x + 1= 0 有两个不相等的实数根，那么 k

1 1 1 1 1 1
A．k＜ 2 B．k＜ 2 且 k≠0 C．﹣ 2 ≤k＜ 2 D．﹣ 2 ≤k＜ 2 且k≠0
【答案】D
【解析】 由题意，根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知： k≠0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+1≥0；根据方程有两个不相等的实数根，得△=2k+1﹣
1 1
4k＞0。三者联立，解得﹣ 2 ≤k＜ 2 且 k≠0。故选 D。
#对应知识梳理 1
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2



【题目】若一元二次方程x2 + 2x + m = 0 有实数解，则 m 的取值范围是【 】
m £ 1


A. m £ -1
【答案】B
B. m £1
C. m £ 4
D. 2

【解析】】由一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于 0，列出关于 m 的不等式，求出不等式的解集即可得到 m 的取值范围：
∵一元二次方程x2 + 2x + m = 0 有实数解，
∴△=b2－4ac=22－4m≥0，解得：m≤1。
∴m 的取值范围是 m≤1。故选 B。
#对应知识梳理 1
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2




【题目】已知关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是
【 】
A． 1 B． ﹣1 C． D． ﹣

【答案】B
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x﹣a=0 有两个相等的实数根，∴△=22+4a=0， 解得 a=﹣1。故选 B
#对应知识梳理 2
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2




【题目】如果关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根，那么 c 的取值范围是 ▲ 。 ．
【答案】 c＞9
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+c=0（c 是常数）没有实根，
∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即 36﹣4c＜0，c＞9。

#对应知识梳理 2
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2




【题目】已知关于 x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0． (1)求证：无论 m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

2
(2)若x1、x2 是原方程的两根，且|x1－x2|＝2 ，求 m 的值和此时方程的两根

2
2
【答案】（1）见解析（2）x1=－2+ ，x2=－2－

【解析】解：（1）证明：由关于x 的一元二次方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0 得
△=（m+3）2－4（m+1）=（m+1）2+4，
∵无论 m 取何值，（m+1）2＋4 恒大于 0，
∴原方程总有两个不相等的实数根。
（2）∵x1，x2 是原方程的两根，∴x1+x2=－（m+3），x1•x2=m+1。

2
∵|x1－x2|＝2 ， ∴（x1－x2）2=8，即（x1＋x2）2－4x1x2=8。

∴[－（m+3）]2－4（m+1）=8，即 m2＋2m－3=0。解得：m1=－3，m2=1。

2
2
2
当 m=－3 时，原方程化为：x2－2=0，解得：x1= ，x2=－ 。


2
当 m=1 时，原方程化为：x2＋4x＋2=0，解得：x1=－2+
#对应知识梳理 2
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
，x2=－2－ 。





【题目】 关于x 的方程x2 + 2kx + k -1= 0的根的情况描述正确的是【 】.
A. k 为任何实数，方程都没有实数根
B. k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根
C. k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根
D. 根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实
数根三种
【答案】B
【解析】 求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：
∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，
∴不论 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选 B
#对应知识梳理 2
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】2
习题演练

7
【题目】已知两个数的和等于 8，积等于 9，求这两个数

【答案】4 +
7和4 -


2
【解析】设这两个数为x1、x 2 ，以这两个数为根的一元二次方程为x + px + q = 0 ．

∵ x1 + x 2 = 8 = -p，x1 × x 2 = q ，

7
∴方程为x 2 - 8x + 9 = 0 ．


解这个方程得x1 = 4 +
7，x 2 = 4 - ，

∴这两个数为4 +
7和4 - ．

7
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2




【题目】已知关于 x 的方程 x2+（2k+1）x+k2﹣2=0 的两实根的平方和等于 11，则 k 的值为 ▲ 。
【答案】1
【解析】
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2




【题目】已知二次函数 y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m 的图象与 x 轴交于点 A（x1，0）和点
1 + 1 = 1
B（x2，0），x1＜x2，与 y 轴交于点 C，且满足x1 x2 2 。aa
（1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 探究：在直线 y=x+3 上是否存在一点 P，使四边形 PACB 为平行四边形？如果有，求出点 P 的坐标；如果没有，请说明理由。


【答案】(1)y=x2+x﹣2 (2)（﹣1，2）
【解析】解：（1）∵二次函数 y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m 的图象与 x 轴交于点 A（x1，0） 和点 B（x2，0），x1＜x2，
∴令 y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有：x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m。
1 1 x1 +x2 m2 -1 1
+ = = =

∴ x1 x2
x1x2
-2m 2 ，化简得到：m2+m﹣2=0，解得 m1=﹣2，m2=1。


当 m=﹣2 时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与
x 轴没有交点，不符合题意，舍去；
当 m=1 时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与 x 轴有两个不同的交点，符合题意。
∴m=1。∴抛物线的解析式为 y=x2+x﹣2。
（2）存在。理由如下：
假设在直线 y=x+3 上是否存在一点 P，使四边形 PACB 为平行四边形。如图所示，连接 PA．PB．AC．BC，过点 P 作 PD⊥x 轴于 D 点。
∵抛物线 y=x2+x﹣2 与x 轴交于 A．B 两点，与 y 轴交于 C 点，
∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0 ，2）。
∴OB=1，OC=2。
∵PACB 为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC。
∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB。在 Rt△PAD 与 Rt△CBO 中，
∵∠PAD=∠CBO ，PA=BC，∠APD=∠OCB ，
∴Rt△PAD≌Rt△CBO（AAS）。
∴PD=OC=2，即 yP=2。
∵直线解析式为 y=x+3，∴xP=﹣1。∴P（﹣1，2）。
∴在直线 y=x+3 上存在一点 P，使四边形 PACB 为平行四边形，P 点坐标为（﹣1，2）
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2


【题目】已知 x2＋16x＋k 是完全平方式，则常数 k 等于【 】
A．64 B．48 C．32 D．16

【答案】A
【解析】∵x2＋16x＋k 是完全平方式，
∴对应的一元二次方程 x2＋16x＋k=0 根的判别式△=0。
∴△=162－4×1×k=0，解得 k=64。故选 A。

【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2






【题目】不解方程，判断一元二次方程
6
【答案】有两个不相等的实数根


3x2 -


6x -

2x + 2 = 0 的根的情况是 ．

【解析】原方程化为
3x2 - (
+ 2)x + 2 = 0,



6
b2 - 4ac = [-(
+ 2)]2 - 4
´ 2 = 8 - 4 = -
> 0,


3
3
64
48
．‘．原方程有两个不相等的实数根．

【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2




【题目】若关于 X 的方程x2 + 5x + k = 0 有实数根，则 k 的取值范围是
k £ 25
【答案】 4
\b2 - 4ac = 52 - 4k ³ 0,\ k £ 25 ×
【解析】 方程有实根， 4
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】2




【题目】二次三项式 x2﹣kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是 ▲
【答案】±6
【解析】∵x2﹣kx+9 是完全平方式，
∴对应的一元二次方程 x2﹣kx+9=0 根的判别式△=0。
∴△=k2－4×1×9=0，解得 k=±6
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】2




【题目】关于 X 的一元二次方程 错误!未找到引用源。 有两个不相等的实数根，则 k
的取值
范围是( )

A.k > -1
B.k > 1
C.k =/ 0
D.k > -1且k =/ 0




【答案】D

ìk =/ 0,
í

【解析】由题意知î4 + 4k > 0. 解得k > -1且k =/ 0.
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2




【题目】元二次方程(1- k)x2 - 2x -1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是( )


A.k > 2
B.k < 2 且k =/ 1
C.k < 2
D.k > 2 且k =/ 1



【答案】B

【解析】‘方程有两个不相等的实根,\b2 - 4ac = (-2)2 - 4
(1 - k) ´(-1) = 8 - 4k > 0, \k < 2 且k =/ 1, 故 B 正确．
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2







【题目】若反比例函数

y = k
x 与一次函数y = x + 2 的图像没有交点，则k 的值可以是【 】

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】 把两函数的解析式组成方程组，再转化为求一元二次方程解答问题，求出k
的取值范围，找出符合条件的 k 的值即可：
y = k
∵反比例函数 x 与一次函数 y=x+2 的图象没有交点，
ì y = k ①
ï
x
í k =x + 2

∴ ïîy = x + 2② 无解，即x
无解，整理得 x2+2x-k=0，

∴△=4+4k＜0，解得k＜－1。
四个选项中只有-2＜-1，所以只有 A 符合条件。故选 A
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】随堂练练
【难度系数】3




【题目】已知：一次函数 y=3x－2 的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为 1。
（1）(3 分)求该反比例函数的解析式；
（2）(3 分)将一次函数 y=3x－2 的图象向上平移 4 个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标；
（3）(2 分)请直接写出一个同时满足如下条件的函数解析式：
①函数的图象能由一次函数 y=3x－2 的图象绕点（0，－2）旋转一定角度得到；[中国教育*^出版网~%&]
②函数的图象与反比例函数的图象没有公共点。

y= 1 1
【答案】(1) x (2)( 3 ,3)和(－1, －1) (3)y=－2x－2（答案不唯一）
【解析】解：（1）把x=1 代入 y=3x－2，得 y=1。
y= k

设反比例函数的解析式为
∴该反比例函数的解析式为
x ，把（1，1）代入得，k=1。
y= 1
x

（2） 平移后的图象对应的解析式为 y=3x－2+4，即 y=3x＋2，
y= 1
联立 y=3x＋2 和 x ，得，

3
í
ìy =
3 x +
ìx= 1



ï
íy= 1


ï ìx= -1
í

îï x
，解得ïîy=3 或îy= -1 。
1



∴平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为( 3 ,3)和(－1, －1) 。
（3） y=－2x－2（答案不唯一）。

【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】3




【题目】不解方程，判别下列方程根的情况．


(1)2x(x + 3) = 5
(2)x2 - 2
5x - 3 = 0;


(3)9x2 +12x + 4 = 0; (4)(2y -1)2 + y( y + 2) = 0.

【答案】（1）（2）有两个不等实根，（3）两个相等实根（4）无实根
【解析】(1)原方程可化为2x2 + 6x - 5 = 0, b2 - 4ac = 62 - 4 ´ 2 ´(-5) = 36 + 40 > 0,\
原方程有不相等两实根；

(2)b2 - 4ac = (-2
5)2 - 4 ´1´(-3) = 20 +12 > 0,\原方程有不相等两实根；


(3)b2 - 4ac = 122 - 4 ´ 9 ´ 4 = 144 -144 = 0,\原方程有相等两实根；
(4)原方程化为： 5y 2 - 2y +1 = 0, b2 - 4ac = (-2)2 - 4 ´ 5´1 = 4 - 20 < 0,\

原方程无实根．
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】课后一个月练习
【难度系数】3



【题目】已知关于 z 的方程 x2 + (2k +1)x + k 2 - 3 = 0, 当k 为何值时，
(1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程无实根?


k > - 13
【答案】（1) 4
(2)
k = - 13 ;
4
k < - 13
(3) 4
k > - 13



【解析】b2 - 4ac = (2k +1)2 - 4(k 2 - 3) = 4k +13. 当b2 - 4ac = 4k +13 > 0 时， 4
k = - 13 ;


当b2 - 4ac = 4k +13 = 0时，

当b2 - 4ac = 4k +13 < 0 时，
k > - 13
4
k < - 13 ;
4

当 4 时，原方程有两个不相等的实数根；
k = - 13
当 4 时，原方程有两个相等的实数根；
k < - 13
当 4 时，原方程无实根．

【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】2




【题目】求证：关于 2 的方程x2 + (2m + 3)x + 3m -1 = 0 有两个不相等的实数根
【答案】见解析

【解析】
b2 - 4ac = (2m + 3)2 - 4(3m -1) = 4m2 +12m + 9 -12m + 4 = 4m2 +13,Q4m2 ³ 0,

\b2 - 4ac = 4m2 +13 > 0,\原方程有两个不相等的实数根
【知识点】根的判别式与方程根的个数间的关系
【适用场合】阶段测验
【难度系数】2