高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直精品ppt课件

空间直线、平面的垂直

第1课时 异面直线所成的角

（一）教学内容

    异面直线所成的角．

（二）教学目标

1.理解异面直线的定义及判定，能判断两条直线是不是异面直线．

2.理解异面直线所成的角的概念及范围，并会求两异面直线所成的角，体会转化的思想．

（三）教学重点与难点

教学重点：异面直线的判定与异面直线所成的角的概念．

教学难点：求两异面直线所成的角．

（四）教学过程设计

一、引入新课

回顾：空间中，两直线的位置关系有几种，分别是什么？

答：空间直线间的位置关系可分为共面直线和异面直线，其中共面直线又分为平行直线和相交直线．

相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：在同一平面内，没有公共点．

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．

在初中，我们已经研究了平行直线和相交直线，本节我们主要研究异面直线，如何刻画两条异面直线的位置关系呢？

设计意图：通过生活实例直观感知平面，引出本节课平面的概念．

二、课堂探究

问题1：在正方体中，为的中点，直线、、与直线的位置关系分别是什么？

答：观察图形，不难判断：直线、、与直线均异面．

追问1：直线、、相对于直线的位置相同吗?

答：虽然直线、、都与直线异面，但它们各自与直线的相对位置不同，这说明，仅用“异面”不足以描述异面直线的相对位置．

追问2：如果不同，如何表示这种差异呢？

答：我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系．

如图，已知两条异面直线，，经过空间任意一点分别作直线∥，∥，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）．

追问3：直线，所成角的大小与点的位置有关吗？

答：无关，因为平移不改变两条直线所成的角．因此，求异面直线，所成的角时，为了简便，点常取在两条异面直线中的一条上．例如：取在直线上，然后经过点作直线∥，那么直线与所成的角就是异面直线与所成的角．

总结：研究异面直线所成的角，就是通过平移，使得空间几何问题转化为平面几何问题．这种解决问题的思想方法在后面解决问题中很常用．

问题2：两条异面直线与所成角的范围是多少？

答：由异面直线的定义可得，异面直线，所成角的范围是，．

若两条异面直线，所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．记作：．

注意：当两条直线，相互平行时，我们规定它们所成的角为．

追问1：空间任意两条直线，所成的角的范围是多少？

答：空间任意两条直线，的位置关系有：平行，相交，异面．

当直线，平行时，我们规定它们所成的角为；当直线，相交或异面时，它们所成的角的范围均为，．

综上可得，空间任意两条直线，所成的角的范围是，．

追问2：空间两条直线垂直，一定相交吗？

答：空间中，两条直线垂直包括：相交垂直（共面），异面垂直，都记作a⊥b．

设计意图：以长方体为例，得出异面直线的判定定理，进一步探究异面直线所成的角，培养学生几何直观、数学抽象素养．

三、知识应用

例1 如图，已知正方体．

（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？

（2）求直线与所成的角的大小．

（3）求直线与所成的角的大小．

解：（1）棱，，，，，，，所在的直线分别与直线垂直．

（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角．又因为，所以直线与所成的角等于．

（3）如图，连接．因为是正方体，所以，，从而四边形是平行四边形，所以．于是为异面直线与所成的角．连接，易知是等边三角形，所以．从而异面直线与所成的角等于．

例2 如图（1），在正方体中，为底面的中心．求证．

分析：要证明，应先构造与所成的角，若能证明这个角是直角，即得．

证明：如图（2），连接．

∵是正方体，∴．∴四边形是平行四边形．

∴．所以直线与所成的角即为直线与所成的角．

连接，，易证．

又为底面的中心，∴为的中点，∴，∴．

总结：求两条异面直线所成的角的一般步骤：

（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角．

（2）证明：证明作出的角就是要求的角．

（3）计算：求角度，常放在三角形内求解．

（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．

设计意图：通过例题，熟悉异面直线的相关解题方法，并体会将空间问题转化为平面问题的思想．

四、课堂练习

1.如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论正确的是（     ）

A.GH和MN平行，GH和EF相交    B.GH和MN平行，MN和EF相交

C.GH和MN相交，GH和EF异面    D.GH和EF异面，MN和EF异面

2.如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，AA′=a，E，F分别是BC，DC的中点，求直线AD′与EF的夹角．

3.如图，在空间四边形ABCD中，已知AD=BC=2，E，F分别是AB，CD的中点，若EF=，求异面直线AD，BC所成角的大小．

参考答案：

1.∵GH∥A′B，A′B∥D′C，∴GH∥D′C．

又∵MN∥D′C，∴GH∥MN．

由异面直线定义可知，GH与EF异面．

延长EF，MN，易证二者相交．

故选B．

2.如图，连接BC′，BD，

在正方体ABCD-A′B′C′D′中，易得AD′∥BC′．

∵E，F分别是BC，DC的中点，∴EF∥BD．

连接C′D，

易得△BCD、△CDC′、△BCC′为全等的等腰直角三角形．

∴BD=BC′=C′D，∴△BC′D是等边三角形．

∴∠DBC′=60°．

∴直线AD′与EF的夹角为60°．

3.取BD中点G，连接EG、FG，

∵E，F分别是AB，CD的中点，

∴EG、FG分别是△ABD、△BCD的中位线．

∴EG= AD=1，FG=BC=1，EG∥AD，FG∥BC．

∴∠EGF即所求角或所求角的补角．

由余弦定理得：．

∴∠EGF=120°．

∴异面直线AD，BC所成角的大小为180°−120°=60°．

五、归纳总结

通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？

答：1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题，体会了转化与化归的思想．

2.类比平面内两条相交直线所成的角的定义，对空间中两条异面直线所成的角进行定义，进而得出空间两条直线所成的角，理解了知识之间的相互联系．

3.引入异面直线所成的角的概念后，空间中两条直线垂直又可分为相交垂直、异面垂直．